Chast_3_novyy

Выясните происхождение приближенных равенств

а) 1 x 1 1 x 1 x2 , x 1; 2 8

б) 31 x 1 1 x 1 x2 , x 1. 3 9

РЕШЕНИЕ:

Равенства получаются из разложения функции (1 x) по формуле Маклорена с точностью до слагаемых второго порядка:

	45				( 1)
	(1 x) 1			x		x2 ..
		1!			2!

.. ( 1) ... ( n 1 ) xn n!

( 1) ... ( n)(1 x) n 1 xn 1, (n 1)!

(1 x)	1		x	( 1)	x2 o x2 .
	1!		2!

Многочлен 2x3 3x2 5x 1 разложите по степеням (x 1) . РЕШЕНИЕ:

f (x) 2x3 3x2 5x 1; x0 1; f ( 1) 9 .

Найдем коэффициенты многочлена Тейлора:

f		(x) 6x	2	6x 5 f			17;
						( 1)
f					f		18;
		(x) 12x 6				( 1)
f					f		12;
		(x) 12				( 1)

46f IV (x) 0

f (n) (x) 0;

f (x) 9 17 (x 1) 18 (x 1)2 12 (x 1)3 . 1! 2! 3!

Учитывая, что 1! 1; 2! 1 2 ; 3! 1 2 3, получим

2x3 3x2 5x 1 9 17(x 1) 9(x 1)2 2(x 1)3 .

Запишите формулу Маклорена n–го порядка для функ-

47	ции f (x) 1 x .
	РЕШЕНИЕ:
		f (0) 1; x 1.
	f (x) 1 x ;

124

f		1	;				f
	(x) (1 x)							(0) ;
f			2	;			f
	(x) ( 1)(1 x)							(0) ( -1);
f					3	; f
	(x) ( 1)( 2)(1 x)						(0) ( 1)( 2);

f (n) (x) ( 1) ... ( n 1)(1 x) n ; f (n) (0) ( 1)( 2) ... ( n 1 ),

тогда

(1 x) 1 x ( 1) x2 .. 1! 2!

.. ( 1) ... ( n 1 ) xn n!

( 1) ... ( n)(1 x) n 1 xn 1. (n 1)!

Используя формулы Маклорена для элементарных функций, напишите первые n членов формулы Маклорена для функции y ln 4 x2 .

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем исходную функцию:

								x2																																x2
		ln 4(1										) ln 4 ln(1																																		)
48									4																															4
																	2																				3																4
					x	2							2										1										x	2								1						x			2					1
	ln 4									x																																															.....
																																																4
				4							4									2													4									3												4
							n 1					x2									n						1						.
	....... ( 1)
																	4											n
	Окончательно:
	ln(4 x 2 ) ln 4																				x2												x4													x6					... ( 1)n 1									x2n	.
																																											43 3
																						4 42 2																																						4n n
	Вычислите число e с точностью до 0,001.
	РЕШЕНИЕ:
	Запишем формулу Маклорена для ex:
		ex		1 x											x2									x3						...									xn									xn 1							e x .
	При x 1:																2!			3!																				n!							(n 1)!
49																																																								e			2,718
											1							1									1										1												1
		e 1 1																																							...																		;0 1.
											2																24							120																				(n 1)!
																	6																																n!
		Наименьшее значение n , удовлетворяющее условию
		e		0,001 , равно 6,
		(n 1)!

125

тогда e 1 1	1		1		1			1	2,718.
					24		120
2		6

Вычислите с точностью до 10 – 3 приближенное значение

329 .

РЕШЕНИЕ:

Представим заданный корень так:

					2		1
							3		. Воспользуемся формулой Макло-
3	29 3		27 2 3 1

27

	рена:																				( 1)												( 1)( n 1)
	(1 x) 1														x												x2 ...							xn
										1!										2!													n!
		( 1) ... ( n)(1 x) n 1																											xn 1 ,
														(n 1)!
	где последнее слагаемое представляет собой погрешность
	вычисления.
50		Полагая																				x		2						1		3,072
																										,						,
		получим																		27									3
																2						2 2				2 2 2 5
		3							3(1																							.... Rn ) .
					29
																81											813
																				812
		Оценивая величины последовательных ошибок в вы-
	числении 3													Rn				, находим:
		3		R						3 2 2									0,002;
				1						812
		3		R2							3 2 2 2 5												0,0003.
										813

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку R2, т.е.

3 29 3(1 0,024 0,0006) 3,072 .

Используя разложение по формуле Маклорена, вычислите
предел lim		1 cos3		x	.
		5x2 +7x3
	x 0
РЕШЕНИЕ:
51 1 cos3 x 1 cos x 1 cos x cos2 x ;								0,3
C точностью до бесконечно малых о x2								получаем:
3		x		3 1 cos x
	1 cos
lim			lim				.
					5x2
x 0 5x2 +7x3			x 0
Заменим cos x его разложением по формуле Маклорена:

126

cos x 1

x2

о x2 , тогда

3

2!

3 1 cos x

1 cos

x

lim

lim

5x2

x 0 5x2 +7x3

x 0

3

x2

o x2

3

x2

lim

2

lim

2

,

x2

5 x 0

5 x 0 x2

Поскольку

x2

o x2

~

x2

при x 0 .

2

2

Окончательно

lim

1 cos3 x

3

.

+7x3

10

x 0 5x2

4.9.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

4.9.1.Возрастание и убывание функций

№					Задание
По данному графику функции y y x
постройте вид графиков y , y .
РЕШЕНИЕ:					y x убывает,
1) На интервале 3;0
y 0 ,	lim				0 0 .
		y ,	y
	x 3 0
2) На интервале 0;2				y x возрас-
тает, y 0 ,
lim y .
x 2 0				y x убывает,
3) На интервале 2;5
1 y 0 ,	lim
		y .
	x 5 0

4)y 7 0 .

5)На интервале 5;7 y x возраста-

ет, y

0 , на интервале 7;9

y x

убывает, y 0.

Эти соображения позволяют построить примерный график y x .

6) y 3, 5

y 7 0

Та же последовательность действий, примененная к графику функции

y x , дает примерный график второй

127

		производной y x .
		По данному графику
		производной y постройте вид
		графика функции y y x .
		РЕШЕНИЕ:
		1) На интервале 3;1	y 0 ,
		y x возрастает, lim	y , т.е., скорость возрастания	y x
		x 1 0
		также неограниченно возрастает, а следовательно, и сама функция
		y x неограниченно возрастает, таким образом, x 1 – вертикальная
		асимптота графика.
		2) На интервале 1;3 y 0 , y x возрастает, причем
		lim y , (чем ближе точка к x 1 – справа от нее, тем больше
	2	x 1 0		x 1 –
		скорость возрастания), что указывает, что lim y , т.е.,
			x 1 0
		точка разрыва второго рода.
		3) В точке x 3 производная
		меняет знак с «+» на «–», x 3 –
		точка локального максимума.
		4) На интервале 3;7 y 0 ,
		y x убывает.

5)В точке x 7 производная меняет знак с «–» на «+», x 7 – точка локального минимума.

6)При x 7 функция возрастает.

Эти

соображения

позволяют

построить примерный график

y x :

Функция

f x e x возрастает

в своей

области определения,

так

как

3

f x e

x

0 при любых

x R .

f x

Функция

f x x sin x возрастает на

интервале

0, 2 ,

так

как

для

x 0, 2

f x 1 cos x 0 .

4

f 0 0 , то

f x 0 ,

значит

x sin x

для

Полезный вывод: поскольку

x 0 .

128

x x0 .

x x0

4.9.2. Экстремумы функции

Необходимым условием существования экстремума функции является равенство нулю ее производной в точке экстремума: f x0 0 (если в этой точке производная существует).

Геометрически это означает, что касательная к графику функции f x в точ-

ке экстремума параллельна оси x .

Достаточным условием существования экстремума функции в точке x0

является изменение знака ее первой производной в этой точке:

в точке x0 максимума функции знак производной изменяется с положительного на отрицательный, что соответствует возрастанию функции до точки

максимума при и убыванию после нее при Существуют точки, в которых необходимое условие экстремума не выпол-

няется, но тем не менее функция в них может иметь экстремум. Критическими называются точки, в которых производная функции равняется нулю, не существует или обращается в бесконечность. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.

№

Задание

5

Для функции

f x x 2

на отрезке

1,1 значение

f 0 0 является

минимальным, т.к. производная

равна нулю в точке x 0 .

f x 2x

Функция

f x

ln x

не дифференцируе-

ма в точке

x 1 , так как касательные к

графику функции слева и справа от точки

x 1 различны, однако функция имеет

6

минимум

в

этой

точке.

Функция

f x

ln x

является строго убывающей

при

0 x 1

и строго возрастающей при

x 1. В точке

x 1 график имеет острый

минимум (так называемую угловую точ-

ку).

Функция

f x

1

и ее производная имеют

x

7

бесконечный разрыв при

x 0 . Функция воз-

растает

при

x , 0

и

убывает

при

x 0, ,

но

экстремума в

точке

x 0

не

имеет.

129

Функция

f x 3 x2

не

дифференцируема в точке

x 0 ,

так

как

2

1/ 3

2

f x

3

x

33

при

8

x

x 0 ,

график

функции

имеет в точке 0 вер-

тикальную касательную,

функция является убывающей при x , 0 ,

возрастающей при

x 0, ,

в точке

x 0 функция имеет минимум

(такая точка графика называется точкой возврата).

Для функции

f x x3

в точке

x 0 выполняет-

y

ся

необходимое

условие

экстремума

f

f x x 3

0 0 .

Однако точка

0, 0

не является точкой экстре-

9

мума этой функции,

в

ней

не

выполняется

0

x

достаточное

условие

экстремума,

т.к.

f x

3x

2

0

для

любых

x R

и

функция

f x x3

возрастает на всей числовой оси.

1

Для функции

xsin

, x 0,

в точке

f (x)

x

0, x 0

x 0 производная не существует, однако экс-

10

тремум

отсутствует.

130

4.9.3. Асимптоты графика функции

№

Задание

У графика

f x

ex

существует левая горизонтальная

11

асимптота y 0

( lim f x 0) и не существует правой го-

x

ризонтальной асимптоты.

У графика

f x e x

существует правая горизонтальная

12

асимптота y 0

( lim f x 0) и не существует левой го-

x

ризонтальной асимптоты.

У графика

f x arctg x существуют обе горизон-

тальные асимптоты:

y 2 - левая горизонтальная

13

асимптота ( lim f x

),

x

2

y 2 - правая горизонтальная асимптота

( lim f x 2 ).

x

У графика f x

1

обе

x

горизонтальных асимптоты y 0

существуют и совпадают

14

( lim f x lim

f x 0 ).

x

x

1

Кроме того, график функции y

имеет

x

вертикальную асимптоту x 0, поскольку lim

1

,

lim

1

.

x 0 0 x

x 0 0 x

1

Кривая y

имеет верти-

x2 1

кальные асимптоты x 1 и x 1.

15

131

	Построим график функции y	x2	2x 3		без
		x2	x 2
	использования производной.
	Преобразуем выражение:

y

x

2

2x 3

(x 1)(x 3)

x 3

1

x 2

1

1, x 1.

16

x 2

x 2

(x 1)(x 2)

x2 x 2

x 2

График этой функции получается смещением графика y

1

на две еди-

x

ницы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с

абсциссой x 1.

Прямые x 2 и y 1 являются вертикальной и горизонтальной асим-

птотами.

Для гиперболы с центром симметрии в точке (x0 , y0 )

y y0

k

x x0

уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: у у0

и x x0 .

								1
	Исследуйте поведение функции							f x e		в точке	x	0.
									x
											0
		1		1
	lim		,	lim e			0 ,
					x
17	x 0 x			x 0
		1		1
	lim		,	lim e			.
					x
	x 0 x			x 0

Прямая x 0 является вертикальной асимптотой.

132

Найдите

асимптоты

графика

функции

y x arctg x.

18

lim

x arctg x

k lim

x arctg x

k 1,b lim arctg x

,

x

x

x

x

x

2

b lim arctg x

.

x

2

График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую

y x

и правую y x

.

2

2

4.9.4.

Построение графиков функций

№

Задание

19 Исследуйте функцию y 3

2x2 x3

и постройте её график.

1). Функция определена при всех x . Для нахождения точек пересече-

ния с осями записываем уравнения y 0

и 3 2x2 x3 0 ; получаем, что

ось Oy пересекается в точке с y 0 , а ось Ox - в точках x 0

и x 2 .

2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, верти-

кальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асим-

f ( x )

3 2x2

x3

2

птот. k lim

lim

lim 3

1 1,

x

x

x

x

x

x

2

1 )

b lim( 3

2x2 x3

x ) lim x(1 3

x

x

x

1

2

2

2

2

x

2

1 3

1

3

3

1

0

x

2

lim

x

lim

.

1

x

1

0

x

3

x

x

2

При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для

0

раскрытия неопределённости типа .

0

Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение y x 2 .

3

133