Chast_3_novyy

			1				1
		lim										.
		x 1	2 1	x			3 1	3
										x
19	6.364	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,											1
		1 и вычислить lim xsin x .
							x 0
20	6.366	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,											1
		1 и вычислить					lim		2x cos x .
							x / 2 0
21	6.369	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,											2
		1 и вычислить					lim x 2x 1/ x .
							x
22	6.371	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,											1
		1 и вычислить					lim tgx 2 x .
							x /2 0
23	6.374	Указать тип неопределенности 00 , 0 ,											e 6
		1 и вычислить lim cos2x 3/ x2 .
							x 0

ДЗ № 7. Формула Тейлора

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова,

А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.380

Для многочлена

7 11(x 1)

1

x4 4x2 x 3 написать

10(x 1)2

формулу Тейлора 2-го порядка в

4 1 (x 1) (x 1)3 ;

точке x0

1.

0 1

6.390

Написать первые n членов

5x

формулы Маклорена (без

2

остаточного члена) для функции

(5x)3

2

5x

..

3

y sin

2

3!

.

(5x)2n 1

2

.. ( 1)n

22n 1 (2n 1)!

164

	6.388	Написать первые n членов																				x2
		формулы Маклорена (без														1
																							2
		остаточного члена) для функции																				x4								x6
3																																..
		y e	x2																		22 2!								23 3!
			2		.																								x	2n
																.. ( 1)n
																											2n n!
	6.392	Написать первые n членов										1				x		2
		формулы Маклорена (без									1					8
												3
		остаточного члена) для функции										1								x		4
		y 3 8 x2 .
4											2		32 3! 82																						.
													1 3						x			6		..
													33 3!
																		83
																		n 1 1 3 5 8... (3n 4)																x2n
											..	( 1)
																												3n n!						8n
	6.397а	Вычислить число sin1 с																					0,842
5		точностью до 0,001.
	6.397б	Вычислить число								с													1,648
									e
6		точностью до 0,001.
	6.400б	Используя разложение по																					1/2
		формуле Маклорена, вычислите
7		предел lim				1 cos x		.
						x2 + x3
				x 0

165

ДЗ №8. Исследование функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.404

Найдите интервалы возрастания и

2

убывания и точки экстремума

,1 ;

3

функции y x 1 x

2

1

,

;

3

ymax

2

3

3

6.411

Найдите интервалы возрастания и

1

1

1

1 e

убывания и точки экстремума

; ymin

2

0,

;

,

функции y xx

e

e

e

6.415

Определите наибольшее М и

0,6; 1

3

наименьшее m значения функции

y

x 1

на отрезке 0,4

x 1

6.418

Определите наибольшее М и

;0

4

наименьшее m значения функции

4

y arctg

1 x

на отрезке

0,1

1 x

6.422

Докажите неравенство

5

x2

cos x 1

, x 0

2

6.425

Два тела движутся с постоянными

av1 bv2

cек

скоростями v1 м/с и v2 м/с.

v21 v2

2

Движение происходит по двум

6

прямым, образующим угол

, в

2

направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на

166

расстоянии а м, а второе – на

расстоянии b м. Через сколько

секунд после начала движения

расстояние между телами будет

наименьшим?

6.431

Цилиндр вписан в конус с высотой

4

r2 h

h и радиусом основания r. Найдите

7

27

наибольший объем вписанного

цилиндра.

8

6.435

На параболе y x2

найдите точку

1,1

N, наименее удаленную от прямой

y 2x 4.

6.443

Найдите интервалы выпуклости

;

1

и 1,

графика функции

1,1

,

M1 1, 3

,M1 1, 3

;k1 k2

9

y 3

3

,точки перегиба

x 1

x 1

2

2

и угловые коэффициенты k

касательных в точках перегиба.

6.446

Найдите интервалы выпуклости

,0 ; 0, ;

10

графика функции y xln

x

,точки

M 0,0 ;k

перегиба и угловые коэффициенты

k касательных в точках перегиба.

6.452

Найдите асимптоты графика

x 2, y 1

11

функции y

5

x

.

x 2

6.457

Найдите асимптоты графика

y 0

12

функции y

sin x

.

x

6.471

Постройте график функции

13

y

x

.

x2 4

14

6.495

Постройте график функции

y sin x cos x .

15

6.481

Постройте график функции

y 3 x 1 3 x 1 .

6.491

Постройте график функции

16

y

x2 3

.

x

6.498

Постройте график функции

17

y

x

arctgx .

2

18

6.507

Постройте график функции

167

		y x2			x2
				1 e 2 .
	6.511	Постройте график функции
19		y	ln x	.
			x
20	6.520	Постройте график функции
		y xx , x 0.
	6.524	Постройте кривую
21		x tet ,		y te t , t R , заданную
		параметрически.
	6.525	Постройте кривую					Парабола с вершиной в
22		x t2 2t, y t2 2t, t R ,					начале координат, ось
		заданную параметрически.					которой – прямая
							y x, x 0, y 0
	6.527	Постройте кривую						Астроида
23		x a cos3 t, y asin3 t, t 0,2 ,
		заданную параметрически.
24	6.529	Постройте кривую asin3 ,					Трехлепестковая роза
		заданную в полярной системе
		координат.
	6.530	Постройте кривую a 1 cos ,					Кардиоида, полюс – точка
25		заданную в полярной системе					возврата,
							max	0 2a ,
		координат.
							min	0

168

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 3 Часть 1

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: пределы последовательностей и функций, непрерывность функции

Часть 2

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: производная, дифференциал, формула Тейлора, исследование функций

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

2010

169

170

Расчетная работа № 3. Часть 1. Варианты

Вариант 1

1. Написать формулу общего члена последовательности

1 , 1 , 1 , 1 , 2 3 4 5

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

xn

n

;

xn sin n 1;

xn en .

n 2

n 1 4

3.

Вычислить предел

lim

n 3

.

n

1

4

n

4

n

n5 3

4.

Вычислить предел

lim

n 3

.

5 n5 3

n

n 3

sin n2

.

5.

Вычислить предел lim

n

n

n 1

6.Вычислить предел

7.Вычислить предел

	lim		2n 7n
	n 2n 7n 1 .
	lim		n 2 ! n!							.
			n 2		!
	n
								n 1 !

3n 1 n2

8. Вычислить предел lim . n 3n 1

9. Вычислить предел lim x 1 2 x 1 3 .

x x 1 3 x 1 3

10.

Вычислить предел

lim

x 1 2

.

x 3

x 3

11.

Вычислить предел

lim

.

x 2 1

x 2 1

x

3x 4 x 1

12.

Вычислить предел

lim

.

x

3x 2

13.

Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить

предел lim

1 sin x cos x

.

x 0 1 sin x cos x

14.

Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел

lim

esin 2 x etg2 x

.

2x

x

2

ln

15. Вычислить lim g f x , если			f x 7			1	, а g x				.
					2 x					1 x
x 2 0
16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае
устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
а) f x		1		б)		f x		1	.
1		sin x						ln x
		1 cos x
		Вариант 2
1. Написать формулу общего члена последовательности										0, 2, 0, 2, .

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

xn

n2

;

xn

cos2 n ;

xn e n .

n 1

3.

Вычислить предел

lim

n 1 3 n 1 3

.

n

n 1 2 n 1 2

4.

Вычислить предел

lim

3

n2 2 5n

2

.

n n

n4

n 1

1

sin

5.

Вычислить предел lim

n

.

n

n2

2

6.

Вычислить предел lim

3n 2n

.

2n

n 3n

7.

Вычислить предел lim

3n 1 ! 3n 1 !

.

n

3n ! n 1

3

n

1

n2

8.

Вычислить предел lim

n

.

3

n

n

2

x2

9.

Вычислить предел

lim

x2 1

.

x

3

x6 1 x

x2

10. Вычислить предел

lim

x

.

x 1

x 1

lim

.

11. Вычислить предел

x 2 2x 1 x 2

7x 3

x

2x

2

5x 7

x2

12. Вычислить предел

lim

.

2

x

2x 5x 3

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

171

lim ln 1 sin x . x 0 arcsin 4x

14.Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

	lim		x2 3x 3		1
							.
			sin x
	x 1
	15.Вычислить lim f g x , если		1			, а g x			x
			f x 7							.
				2 x
									x
	x 0 0

16.Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f x	1	1
			б) f x 1 arctgx		.
				x
	1 ex
		Вариант 3
1. Написать формулу общего члена последовательности 2,						4	,	6	,	8	,
								5		7
		3

2. Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

x

n 1

;

x tg

n

;

x

en2 .

n

n

3

1

n

n

n 1

3.

Вычислить предел

lim 2n 1 3 3n 2

3 .

n 2n 3 3 n 7 3

4.

Вычислить предел

lim

n2

n3 1

.

n 3

n6 2 n

n

sin

2

5.

Вычислить предел lim

.

n

n 1

6.

Вычислить предел lim

2n 5n 1

.

5n 2

n 2n 1

7.

Вычислить предел lim 2n 1 ! 2n 2 ! .

n

2n 3 !

2n

2

2n

3

3n2 7

8.

Вычислить предел

.

lim

2

2n

2n

1

n

9.

Вычислить пределn

lim

2x 5x

.

x 2x 1 6 5x 1

10. Вычислить предел

lim

4

x

2

.

x 16

x 4

172

11.

Вычислить предел

lim

.

x

x 2

x 3

x

x 5

12x

3x2 1

12.

Вычислить предел

lim

.

x x 7

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

	lim	1 x 1		.
		sin x 2
	x 0

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел	lim			1 2cos x			.
	x
			arctg x
		3
					3			tgx		1
15. Вычислить lim g f x , если f					x				, а g x		.
x 0 0								x2 sin x	1 x

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

	1			f x	x2
а) f x arctg			; б)			.
x 5					cos x 1

Вариант 4

1.Написать формулу общего члена последовательности

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0,

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

xn 3n2 10n ;

xn

n

;

xn

n2

.

2n

n2 1

3.

Вычислить предел

lim n 2 3 n 2 3 .

n

n4

2n2 1

3

9n2

4.

Вычислить предел

lim

n

.

n 3n 4 9n8 1

5.

Вычислить предел lim

sin ncos n

.

n

n 1

6.

Вычислить предел lim

2n 1

3n 1

.

n

2n

3n

7.

Вычислить предел lim n 1 ! n 2 ! .

n

n 3 !

3

1

2n n2

8.

n

.

3

Вычислить предел lim

1

n

n

173