Chast_3_novyy

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, функции			y x3	и	y 2x		являются нечетными, их графики имеют
вид:
			y					y
					y x3			y0		y 2x
						x		–x0			x
				0					0 x0
									–y0
Функция	y x2 x		не	является			ни четной,			ни	нечетной, так как
x 2 x x2 x y .
Функция y f x называется периодической, если существует такое чис-
ло T 0 , что для любого x X выполнены условия:										1) x T X , x T X .
2) f x T f x . Число T				называется периодом функции y f x .
Функция	f x называется ограниченной сверху (снизу) на множестве x ,
если найдется такое действительное число М (число m), что для всех x x
выполняется неравенство f x M							( f x m ).
Например, y x2			ограничена снизу на всей области определения x .

Функция f x называется ограниченной на множестве x , если найдутся такие действительные числа m и М, что для всех x x выполняются неравен-

ства m f x M .

Например, функция y sin x ограничена на всей числовой оси; y x3 ог-

раничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x .

Пусть y f x определена на множестве D f и множество G D f .

Если для любых x1, x2 G ,	удовлетворяющих условию x1 x2 , выполня-
ются неравенства f x1 f x2 ,	f x1 f x2 , f x1 f x2 , f x1 f x2 ,

функция f x называется соответственно возрастающей, неубывающей, убы-

вающей и невозрастающей на G.

Все четыре типа в совокупности называются монотонными на G, а возрастающие и убывающие - строго монотонными на G.

24

2.3. Обратная функция. Сложная функция

Функция y f x , x X , y Y обратима, если ка-

ждое свое значение она принимает один раз, то есть

для каждого	y Y существует только одно значение
x X такое,	что y f x .

y

y f x

y

x x

Если функция x g y осуществляет отображение

множества Y в множество X , то y f 1 x , которая получается, если в функ-

ции x g y аргумент обозначить через x , а зависимую переменную через y ,

называется обратной к f x .

Множество значений обратной функции y f 1 x

совпадает с областью определения функции y f x ,

а область определения обратной функции y f 1 x

совпадает с множеством значений функции y f x .

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой y x .

Если y f x и z g y , причем область определе-

ния g содержит область значений f , то z g f x

называется сложной функцией.

2.4.Основные элементарные функции

1.Степенные функции

1.1. y xn ,

n N .

y

y f 1 x

x

1 x

x

25

1

1.2. y xn , x 0.

1.3. y nx .

1.4. y x , .

		2. Трансцендентные функции
2.1. Показательная			2.2. Логарифмическая
y ax ,	a 0,	a 1.

26

3. Тригонометрические функции

3.1. y sin x

3.2. y cos x

3.3. y tgx,	x
		2

n .

3.4. y ctgx,

x k .

4. Обратные тригонометрические функции

4.1. y arcsin x, | x | 1. arcsin( x) arcsin x .

4.2. y arccos x, | x | 1. arccos( x) arccos x .

27

4.3. y arctg x ,	4.4. y arcctg x ,
arctg( x) arctg x .	arcctg( x) arcctg x .

arcsin x arccos x , arctg x arcctg x , arctg x arctg 1 .

		2		2	2	x
			5. Гиперболические функции
	5.1. Гиперболический синус			5.2. Гиперболический косинус
	y sh x	ex e x		y ch x	ex e x
			.			.
		2			2

5.3. Гиперболический тангенс

y th x	ex e x		sh x
				.
	ex e x
			ch x

ch2 x sh2 x 1, th x cth x 1, sh(x y) sh xch y sh y ch x ,

5.4. Гиперболический котангенс

y cth x	ex e x		ch x
				.
	ex e x
			sh x

ch(x y) ch x ch y sh xsh y .

3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

3.1.Предел функции в точке

Определение по Коши

Число A называется пределом функции y f x в точке a , если для лю-

бого сколь угодно малого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое, что для любого x , входящего в область опре-

28

деления функции и отличного от

a , из условия 0

x a

следует

f x A

.

0

x 0

x a

f x A

.

lim f x A 0

x a

Неравенства порождают окрестности точек. Таким образом, для любой-окрестности точки A можно найти -окрестность точки a , такую, что все

значения функции для x из -окрестности точки a

попадут в -окрестность

точки A .

Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x рас-

положена к точке a , тем ближе значение

f x

к числу A .

f x1 A

Для функции, график которой представлен на рисунке, если

и

f x2 A ,

в качестве

следует

взять

наименьшее из значений

х1 а

и

х2

а

.

Определение по Гейне

пределом

функции

y f x

в точке a

Число

A

называется

, если для любой

сходящейся к числу a последовательности

lim f x

A

x a

x

значений аргумента x

lim x

a

, входящих в область определения и от-

n

n n

личных от a , соответствующая последовательность f xn значений функции

y f x сходится к числу A , т.е. выполняется равенство lim f xn A .

n

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

3.2. Предел функции в бесконечности

Число A называется пределом f x при x ( x ), если

0 M x M : f x A 0 M x M : f x A .

29

ПРИМЕР. Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что

lim x2 16 .

x 4

Чтобы доказать существование предела f x при x a , следует для любого

найти формулу для нахождения

.

По определению из неравенства

x 4

должно следовать

f x 16

.

Решим неравенство

x2 16

:

x2 16 , 16 x2 16 ,

16 x 16 . Так как нас интересуют значения x , близкие к 4, то

x x , и 16 x 16 , 16 4 x 4 16 4. Из двух расстоя-

ний, 4 16 и 16 4, нужно выбрать наименьшее. Покажем, что

4 16 16 4. Действительно, 8 16 16 и получаем оче-

видное неравенство 64 32 2256 2 . Таким образом,

16 4 .

Так как при 9	для имеет место оценка
	16 4
											,
						16 4			9
то можно положить			.
	9										найти , что и оз-
Итак, построена формула, позволяющая по заданному

начает, что lim x2 16 .

x 4

ПРИМЕР. Докажем, что предел lim sin x не существует.

x

В определении Гейне предполагается, что {xn} – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последователь-

ности: xn = n и x n = /2 + 2 n, где n N, для которых lim xn

и lim xn .

lim sin n lim 0 0,

n

n

Поскольку lim sin xn

а

n

n

n

lim sin xn lim sin( / 2 2 n) lim 1 1 , то lim sin x не существует.

n

n

n

n

3.3. Односторонние пределы

Число A называется правым пределом функции y f x в точке a :

lim

f x A 0

0 x 0 x a

f х A

.

x a 0

Число A называется левым пределом функции y f x в точке a :

lim

f x A 0 0 x 0 a x

f x A

.

x a 0

30

ПРИМЕР. Вычислите односторонние пределы функции y x 3 . x 3

По определению модуля

x 3		x 3,	x 3,
	x 3,		x 3,

lim		x 3			lim	x 3				lim ( 1) 1,
		x 3
x 3 0					x 3 0 (x 3)					x 3 0
lim		x 3			lim	x 3				lim 1 1.
		x 3
x 3 0					x 3 0 (x 3)				x 3 0

3.4. Бесконечно малые функции и их свойства

Функция x называется бесконечно малой в точке a , если lim x 0.

x a

Аналогично определяется функция, бесконечно малая при x

( x ).

Свойства бесконечно малых функций:

1. Если lim x lim x 0 , то lim x x 0 .

x a

x a

x a

Свойство может быть расширено: сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

	2		1			2
Например, lim x		sin			0, т.к. x		- бесконечно малая функция в точке
x 0			x

x 0, а sin 1 - ограниченная функция. x

3. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

3.5. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции 1 x и 2 x являются бесконечно малыми при x x0 .

Если lim 1 (x) A, то возможно несколько ситуаций:

x x0 2 (x)

1) если A и	A 0 , то 1 x	и 2 x называются бесконечно малыми
одного порядка;

31

2) если A 1, то 1 x и 2 x называются эквивалентными. Обозначе-

ние: 1 x 2 x ;

3)если A 0, то функция 1 x называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с 2 x . Обозначение: 1 x o 2 x .

4)если x 1 x и x 1 x являются эквивалентными бесконеч-

но-малыми при x x , то lim				x	lim		1 x			.
0		x x0 x				x x0 1 x
Доказательство: lim	x		x 1			x 1		x
		lim
						x
x x0 x		x x0 x						x
					1	1

	x
lim
x x0	1 x

1 x

1 x

x

1 x

1 x

1 x

lim

lim

lim

lim

.

x

1 x

x x0 1 x

x x0 x

x x0 1 x

x x0 1 x

Аналогично: если 1 x 2				x при x x0 , то
1).	lim f (x) 1 (x) lim f (x) 2 (x) ;
	x x0				x x0
2). lim		1(x)		lim	2 (x)	;
	x x0 f (x)			x x0 f (x)
3).	lim f 1(x) lim f 2 (x) .
	x x0			x x0

ПРИМЕР. Функции 1 x х2 и 2 x 2х2 х3 являются бесконечно малыми одного порядка малости при х 0 так как

lim

х2

lim

х2

lim

1

1

.

x 0 2x2 х3

x 0 x2 2 х

x 0 2 х 2

В то же время функции 1 x х2

и 2 x 2х2 х

не являются бесконечно

малыми одного порядка при x 0 , так как

lim

х2

lim

х2

lim

х

0.

x 0 2х2 х

x 0 x 2х 1

x 0 2х 1

Таким образом,

1 x х2 имеет более высокий порядок малости при х 0

чем 2 x 2х2

х .

ПРИМЕР. Функция 1 x е х

является бесконечно малой более высокого по-

рядка малости при х чем

2 x 2 х . Действительно,

lim

е х

lim

е х

lim е

х ln 2 x

lim е

х ln 2 1

0.

x 2 х

x е ln 2 х

x

x

32

3.6. Бесконечно большие функции и их свойства

Функция	f x называется бесконечно большой в точке a , если
lim f x M M 0 x 0			x a				f x		M .
x a	определяются функции, бесконечно большие при x
Аналогично
x .

Функция, бесконечно большая при x a , является неограниченной в окрестности точки a , но обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой.

Функция f	x	1	является бесконечно большой при x 0 , так как для
1		x

любого числа M можно указать окрестность точки x 0, в каждой точке которой f x M .

	1
	sin
Функция f2 x	x			является неограниченной при	x 0 ,				но беско-
	x
нечно большой не является. Для этой функции для любого числа M в каждой
окрестности точки x 0 можно указать точку, в которой						f x			M , но в

этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, f x 0.

Свойства бесконечно больших функций:

1.Произведение функции, бесконечно большой в точке a , на ограниченную и отличную от нуля функцию есть функция бесконечно большая в точке а.

2.	Произведение функций, бесконечно больших в точке a , есть функция
	бесконечно большая в точке а.
3.	Сумма функций, бесконечно больших в точке a , может не быть беско-
	нечно большой функцией.

ПРИМЕР. Пусть f x , g x - бесконечно большие при x .

1). Если f x x , g x 1 x2 , то f x g x 1 x x2 является бесконечно

большой функцией.

33