Chast_3_novyy

Первый замечательный предел

0

:

lim

sin x

1.

0

x 0

x

x

: lim

1

e ;

lim 1 t

1/ t

e .

1

Второй замечательный предел 1

x

x

t 0

lim f (x)

lim f (x)

lim ( x)

.

( x)

x x0

x x

0

0

x x

Сравнение бесконечно малых функций

Для бесконечно малых выполняется:

1 (x)

1) 1(x) и 2(x)- одного порядка, если lim

A , A < ;

x

x0

2 (x)

2) 1(x) 2(x) - эквивалентные, если lim

1(x)

1;

x x0

2

(x)

3) 1(x) = о( 2(x)) -

1(x) является

малой более высокого

бесконечно

порядка малости по сравнению с 2(x), если lim 1 (x) 0 ;

x x0 2 (x)

4) если 1(x) 2(x), 3(x) 4(x), то lim	1	(x)	lim	2	(x)	.
		(x)
x x0	3		x x0	4	(x)

Эквивалентные бесконечно малые при x 0:

1 cos x		x2	,				1		x	, ax 1 x ln a ,
				1 x
	2
					x		2
loga	1 x							, 1 x 1 x .
					ln a

Ряд эквивалентных бесконечно малых при x 0:

x sin x arcsin x tg x arctg x sh x ex – 1 ln(1 + x).

Некоторые пределы:

lim

log

a

(1 x)

1

,

a 0,a 1, lim

ax 1

ln a,

a 0,

x 0

x

ln a

x 0

x

1 x a

1

1

1

.

lim

a , lim

1 x

x 0

x

x 0

x

2

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Три эквивалентных определения непрерывности функции в точке:

1. Пусть

функция

y f (x)

определена

на множестве D и пусть

точка

x0 D .

Функция y f (x) называется

непрерывной в точке x0 ,

если

выполнены условия:

230

1) f (x0 ) , 2)	lim f (x), 3)	lim f (x) f (x0 ) .
	x x0	x x0

2.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция

определена в точке x0	и при этом lim y 0 , то есть бесконечно малым
	x 0

приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.

3.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если функция

определена	в	точке	x0 ,	существуют		односторонние пределы
lim f (x),	lim	f (x) и при этом		lim	f (x)	lim f (x) f (x0 ) .
x x0 0	x x0 0			x x0 0	x x0 0

Два определения односторонней непрерывности:

1.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 слева, если

функция определена	в точке x0 и существует односторонний предел
lim f (x) и при этом	lim f (x) f (x0 ) .
x x0 0	x x0 0

2.Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 справа, если

функция определена		в точке x0		и существует односторонний предел
lim	f (x) и при этом	lim	f (x) f (x0 ) .
x x0 0		x x0 0
Функция,	непрерывная	в	любой	точке множества D , называется

непрерывной на множестве D .

Свойства непрерывных функций

1.Если функции y f x и y x определены на множестве D и

	непрерывны в точке x0 D , то функции f x x , k f x , f x x ,
		f x	непрерывны в точке x	, причем частное требует условия x 0.
		x
			0	0
2.	Если f (x) непрерывна на a,b , то она ограничена на этом отрезке.
3.	Если		f (x) непрерывна на a,b , то она достигает на нем своих точной

верхней и точной нижней граней

( x1 a,b : f (x1 ) M , x2 a,b : f (x2 ) m ).

4. О прохождении непрерывной функции через ноль. Если функция

y = f (x) непрерывна на a,b и имеет на концах отрезка значения f (a) и

f(b) разных знаков, то найдется точка (a,b) такая, что f ( ) 0.

5.О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Если функция y= f (x) - непрерывна на a,b , имеет на концах

отрезка значения f (a) A, f (b) B и число С расположено между числами

Аи В : A C B , то найдется точка (a,b) такая, что f ( ) C .

231

Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида F(x) 0 методом половинного деления отрезка.

6.Непрерывность обратной функции. Если:

1)y f (x) - строго монотонная, непрерывная на a,b ,

2)f (a), f (b), то x f 1(y) - строго монотонная, непрерывная на , .

7.Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель 0 ), взятия сложной функции получаются непрерывные функции.

8.Для непрерывной в точке x0 функции f (x) справедливо:

lim f (x) f (x0 ) f (lim x) .
x x0	x x0

9.Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций:

а) limex	2	lim x2	e25 ,
		ex 5

x 5

б) limln(1 sin x) ln(lim(1 sin x)) ln(1 0) 0 .

x 0

x 0

Классификация точек разрыва

1.Если односторонние пределы существуют и равны,

lim f (x)	lim f (x),
x x0 0	x x0 0

а функция y = f(x) не определена в точке x0, или lim f (x) f (x0 ), то

x x0

точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

f (x),			x x ,
			0
f1 (x) lim		f (x), x x		.
x x	0		0

2.Если: односторонние пределы существуют, конечны, но не равны,

lim f (x)	lim f (x),
x x0 0	x x0 0

то точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода (неустранимый конечный скачок).

3.Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Производной функции f (x) в точке x называется lim y при условии, что он

					x 0 x
существует. Обозначение: y	dy	lim	y	lim	f (x x) f (x)	.
	dx x 0 x			x 0	x

232

Геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к кривой y y x в точке x0 :

y y0 y x0 x x0 .

Уравнение нормали имеет вид:

1

y f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) , f x0 0 .

Правила и формулы дифференцирования

1)(c) 0 , c const ;

2)( f (x) g(x)) f (x) g (x) ;

3)(c f (x)) c f (x) ;

4)( f (x) g(x)) f (x) g(x) g (x) f (x) ;

f (x)

f

5)

(x)g(x) g

(x) f (x)

, g x 0.

g(x)

g

2

(x)

1

1

Производная обратной функции: f

( y)

y y0

f (x0 )

Производная сложной функции: y f (u),

u (x) , тогда

yx yu ux

ln y x

1

Логарифмическая производная: ln y ln f

(x),

y ,

y y

ln y .

y

Производная функции, заданной параметрически:

y y x

x x(t)

yx

y

t

.

y y(t)

x

t

233

Таблица производных (с учетом u (x))

1.

x 1 u .

u

2.

au

eu u .

au

ln a u a 0, a 1 eu

1

1

3.

loga u loga e

u a 0,a 1 ln u

u .

u

u

4.

cosu u .

sin u

5.

sinu u .

cosu

1

6.

tgu

u .

cos2 u

1

7.

ctgu

u .

sin2 u

1

8.

arcsinu

u .

1 u2

1

9.

arccosu

u .

1 u2

1

10.arctgu 1 u2 u .

1

11.arcctgu 1 u2 u .

ex

e x

12.

shu

chu u .

Гиперболический синус shx

.

2

ex e x

13.

chu

shu u .

Гиперболический косинус chx

.

2

1

shx

thu

14.

ch2u u

Гиперболический тангенс thx chx .

1

chx

cthu

15.

sh2u u

Гиперболический котангенс

cthx shx .

234

Производные высших порядков

Производная второго порядка: f (x) f (x) .

Производная n -го порядка: f (n) (x) f (n 1) (x) или y(n) (x) d n y . dxn

Производные функции, заданной параметрически:

y y x

x x(t)

y

y

t

x

t

yx

- первая, yxx

yx

x

вторая.

y y(t)

x

xt

t

Правила вычисления производной n-го порядка

1.f (x) g(x) (n) f (n) (x) g(n) (x).

2.Формула Лейбница (производная произведения):

		n	n!
	f (x) g(x) (n)	Cnk f (n k ) (x) g(k ) (x), где Cnk			– число сочетаний
			k!(n k)!
		k 0

из n по k , n! n n 1 n 2 .....3 2 1, 0! 1! 1.

Классификация функций

			Функции
Элементарные функции								Специальные
									функции
Алгебраические				Трансцендентные
функции					функции
Рациональные			Иррациональные
функции				функции

235

							Графики элементарных функций
	1. Линейная функция: y kx b .
k	tg	1	, k	2	tg	2	, tg tg(	2		)		k2 k1		,
1									1		1 k1 k2

k1 k2 1 - условие перпендикулярности прямых.

2.Квадратичная функция: y ax2 bx c, a 0.

x

b b2 4ac

, D b2 4ac ,

x

b

,

1,2

2

0

2a

y

4ac b2

.

0

4a

ax

2

2mx c 0 x

m

m2 ac

1,2

a

x2 px q 0 x

p

p 2

q

1,2

2

2

ax2 bx c a(x x )(x x ) .

1

2

x x

b

,

2

1

a

Теорема Виета:

c

x

x

.

1

2

a

3. Степенные функции.

3.1. y xn , n N .

3.2. y

1

, x 0.

xn

1

3.3. Иррациональные

y

x

n

n

x

.

Трансцендентные функции

4.Показательная y ax , a 0, a 1.

5.Логарифмическая

y loga x, a 0, a 1, x (0, ).

236

6. Тригонометрические функции

6.1.y sin x .

6.2.y cos x .

6.3. y tg x,	x		n .
		2

6.4. y ctgx, x k .

7. Обратные тригонометрические функции

7.1.y arcsin x, | x | 1. arcsin( x) arcsin x .

7.2.y arccosx, | x| 1. arccos( x) arccos x .

7.3.y arctg x , arctg( x) arctg x .

7.4.y arcctg x .

arcctg( x) arcctg x .

arcsin x arccos x , 2

arctg x arcctg x , arctg x arctg 1 .

2

2

x

237

8.Гиперболические функции

8.1.Гиперболический синус

y sh x ex e x .

2

8.2. Гиперболический косинус

y ch x ex e x . 2

8.3. Гиперболический тангенс

y th x	ex e x		sh x
				.
	ex e x
			ch x

8.4. Гиперболический котангенс

y cth x	ex e x		ch x
				.
	ex e x
			sh x

sh2 x ch2 x 1, th x cth x 1,

sh(x y) sh xch y sh y ch x , ch(x y) ch x ch y sh xsh y .

Формулы исследования функций с помощью производной.

							Асимптоты
	1)	x x0	- вертикальная асимптота y f x , если							lim f x .
										x x0 0
	2) y b		- правая (левая) горизонтальная						асимптота y f x , если
	lim f x b .
	x				f x
	3)	y kx b ,		k lim		,	b lim	f x	kx	- наклонная асимптота
				x	x		x

y f x при x .

238

Монотонность функции

Функция f x , дифференцируемая на отрезке a,b , возрастает (убывает)

тогда и только тогда, когда f ' x 0 ( f ' x 0), x a,b .

		Правило отыскания экстремумов функции
Чтобы найти точки максимума и минимума функции f x , надо:
1). Найти производную				f ' x , приравнять ее к нулю и решить полученное
уравнение f ' x 0.
2). Найти точки, в которых производная f ' x												не существует.
3). Исследовать знак				производной						f ' x слева и справа от каждой
критической точки.
	f x0 x			f x0						f x0 x			Экстремум
	0			0, ,						0			нет
	0			0, ,						0			max
	0			0, ,						0			min
	0			0, ,						0			нет
С помощью второй производной:
		f x0						f x0			Экстремум
		0						0				max
		0						0				min
		0			0

Точки перегиба

Функция f x , дифференцируемая на отрезке a,b , выпукла вниз (вверх) тогда

и только тогда, когда f '' x 0				( f '' x 0 ),				x a,b .
	f x0 x	f x		f x0			f x0	x	f x	Перегиб
	0	вып. вниз		0,			0		вып. вниз	нет
	0	вып. вниз		0,			0		вып. вверх	есть
	0	вып. вверх		0,			0		вып. вниз	есть
	0	вып. вверх		0,			0		вып. вверх	нет
							239