книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

7 0	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	[Гл. ?
Левая часть каждого соотношения (12) представляет собой много­
член	степени к — 1 относительно t, коэффициенты которого	явля­

ются линейными однородными функциями коэффициентов многочле­ нов (10). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (12), мы получим систему линейных одно­

родных уравнений	относительно коэффициентов многочленов	( 10).
Эта система эквивалентна уравнению (11).		ре­
Таким образом,	изложенный метод сводит задачу отыскания

шений вида (9) к решению некоторой линейной однородной системы

алгебраических уравнений. Из сказанного

видно,

что решения

вида

(9) определены на всем бесконечном

интервале

— оо

t

-|- оо .

Вопрос о том, как

отыскивать

все

решения

уравнения

(8),

ре­

шается

нижеследующей

теоремой:

Т е о р е м а

9. Допустим, что детерминант

D(p)

системы

(6)

не обращается

тождественно

в нуль, и пусть

^1,

....

^т

■— совокупность всех различных

корней

многочлена

Dip).

Тогда

произвольное решение

х уравнения

(8)

может быть

записано

в виде:

■£: = X

i - f -

(13)

х т,

где х,

— некоторое решение уравнения (8), соответствующее кор­

ню \

(см. В)).

Отсюда, в частности,

следует, что каждое ре­

шение уравнения (8), определено для

всех

значений t.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что х =

(л;1.......лт") — некоторое

решение уравнения (8) определенное на интервале rv<^t<^ry, пока­

жем, что на этом интервале оно может быть	записано в	виде	(13).
В силу предложения Б), каждая функция x s,	s = l , . . . , n ,	на интер­
вале r i< ^ t<^г4 удовлетворяет уравнению
D (p)xs = 0,
и потому в силу предложения В) § 8 может быть записана на			этом
интервале в виде:
т
* = 1 .... , п.			(Н )
»=i

Здесь g* (0 есть многочлен степени kt — 1, где kt — кратность корня Хг.

Таким образом, каждое решение х уравнения (8) на интервале своего определения ry< ^t< V a записывается в виде:

* = * .(9 е М + . . .

+ «г* ( 0 в Ч

(15)

где gi (t) — вектор, компоненты которого являются многочленами степени kt — 1. Для доказательства теоремы 9 нам достаточно пока­

зать теперь, что каждое слагаемое gi(t)elit в правой части равен­

§ И] МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ 71

ства (15) есть решение уравнения (8). Для доказательства этого под­ ставим решение (15) в уравнение (8). Мы получим:

О -	L (р) (ff, (0		... + g m (t) ех"') =
		= еМ Ц р + X,) g x (t) + . . . +					ех" ‘ L (р +		Xm) g m (t).	(16)
Так	как	числа	Xt .......Xm попарно			различны, то, в силу предложения
В) §	10,	из равенства		(16) следует:
			ех‘‘ L (p - \- l,)g l (t) = 0,					1 = 1 , . ...т ,
или,	иначе,
			L(p)gi(.t)eXi‘ =			0,	1 = 1 .......т.
Но это и значит, что				лг; = g t (t) e>l ‘ есть				решение	уравнения	(8).
Итак,		теорема 9 доказана.
				П р и м е р ы
1. Решим			методом исключения систему уравнений
				X х-f- X1		х* = 0,		1
				Jc1 — x l +		Jca- f л-а= :0 . )
Перепишем ее в символической						форме:
			(/>+ !)■*' +рлга =				°,	1
			(р2— 1 ) х Ч - ( р а+ 1 )х а = 0. }
Детерминант системы, как легко видеть,								равен p4-j-2 p -j-l; он име­
ет двукратный			корень	Х= — 1. Согласно				теореме	9 решение	систе­
мы следует искать в				виде:
				лл =	(at 4 - b) е~*,			1
				х 4,=	(ct 4- d) е~(.			J

Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокра­ щения на е~‘):

а -\-с — ct — d = 0,

откуда

с = 0, )

a = d. )

Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подста­ новке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение

72	ЛИНЕПНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ								[Гл. 2
рассматриваемой системы записывается							в виде:
			х 1=		(at -}- b) е~{,			)
			х 4=		а	ё		)
где а	и	b — произвольные		постоянные.			к	нормальной системе	линейных
2.		Применим метод		исключения
однородных уравнений			с постоянными коэффициентами:
		x J =	Y i	a [ x s,		7 = 1 ,		...» л	(17)
			5= 1
(более полно такая система будет изучена в § 14). Перепишем									систе­
му (17),		пользуясь символическими				обозначениями
			П
		p x ’ — ^ a ' s Xs,				/ =		1, ... , п,
			5= 1
или,	иначе
		- £ ( a i - p b js ) x s =				Q,	7 = 1 ........ п,		(18)
		5 = 1

где g' — символ Кронекера. Система (18) является частным случаем

общей системы (6), причем

U(Р) = aJs — phi

идетерминант D(p) в данном случае оказывается характеристическим детерминантом матрицы (а{) системы (17). Решение системы (18) следует теперь искать методом неопределенных коэффициентов, изло­

женным в предложении			В)	и теореме 9.
	Систему (17) можно		записать в векторной форме:
				х = А х ,			(19)
где	A= ( a j ) . jc= (jc1, ... ,			х п).	В частном	случае, когда все корни
А,,	..., Ая характеристического				многочлена	D(p) попарно	различны
и потому просты, решение уравнения (19),						соответствующее собствен­
ному значению		Аг, имеет вид:
				Xl =	V		(20)
					gle .
где	компоненты	вектора		являются многочленами нулевой			степени,
т. е. числами.		решение	(20) в уравнение (19), получаем:
	Подставляя

§ И]			МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ	73
После	сокращения	на	е находим:
а это	значит, что	g t	есть собственный вектор	матрицы А с соб­

ственным значением Х;. Так как в случае различных собственных значений все собственные векторы с заданным собственным значением коллинеарны между собой, то, выбирая для собственного значения Хг

некоторый фиксированный собственный вектор ft,-,					мы получим g t =
= c‘hi,	где	с‘ — произвольная	константа. Таким		образом,	если все
собственные		значения матрицы	А различны, то произвольное решение
х уравнения		(19) записывается в виде:
		х — c'hye	-j- ... -)- cnhne'r>t,			(21)
где с1,	..., сп — произвольные		константы.
3.	Рассмотрим линейную систему
		^ и г (р)х*=/>(0,		/ = 1........ п,		(22)
		5=1

с постоянными коэффициентами (см. ( 1)), и пусть qt — ее порядок относительно неизвестной функции jc‘, а

Я — Я\ + Яч + • • • Н~ Яп t

— порядок системы (22). Пусть, далее,

'£ > ) ••• Ln(p)

(23)

— матрица системы (22), a D(p) — ее детерминант. Мы покажем, что степень многочлена D(p) не превосходит числа q. Если эта степень равна q, то систему (22) мы будем называть нормализуемой. В этом случае ее можно разрешить относительно высших производных

(х'У<‘\

(хпучп),

(24)

и потому она может быть сведена к нормальной системе (см. § 4, Б)). По предположению, степень многочлена LJs(p) не превосходит

числа qs, так что мы можем написать

^ 00 =

’

(25)

где многоточием обозначены члены меньшей, чем qs, степени. Вычис­ ляя детерминант D(p) матрицы (23) с учетом формулы (25), легко убеждаемся, что

Я(Р)= Д-Р?+ ...,

74	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

где Д есть детерминант матрицы (а'). В этой формуле опущены члены

меньшей, чем q, степени. Таким образом, установлено, что максималь­ ная возможная степень многочлена D(p) есть д, и если эта степень равна q, то Д ф 0. Выделяя в системе (22) члены со старшими про­ изводными (24), мы приходим к системе

	2 <	+	• ■• = f ‘ (')-		/ = 1. ...,	л.	(26)
	S— \
Таким образом, если система (22) нормализуема, то							Д 9* 0, и си­
стема (26) разрешима относительно высших производных (24).
Так как	нормализуемая		система	(22)	сводится	к	нормальной,
то согласно	сказанному	в примере 2		§ 3	каждое решение нормали­

зуемой системы (22) имеет любое наперед заданное число производ­

ных, если только правые части f 1(t) системы		(22)	достаточное число
раз дифференцируемы.
4.	Рассмотрим теперь случай, когда детерминант			D(p) системы (22)
не равен	тождественно нулю, но степень многочлена			D(p)	меньше
порядка	q системы (22). Мы покажем, что и	в этом		случае	всякое
решение	системы (22) имеет любое заданное число			производных,
если только правые части f (£) достаточное		число	раз	дифференци­

руемы.

Согласно предположению степень многочлена D(p) меньше q, и потому детерминант Д равен нулю. Таким образом, между столбцами

матрицы (a]s) имеется линейная зависимость;					пусть Ьх, ...,			Ьп—коэф­
фициенты, осуществляющие эту зависимость.					Среди		чисел Ьх, ..., Ьп
могут оказаться	равные	нулю.	Мы	изменим		нумерацию		функций
дг1........ х п таким	образом,	чтобы	имели место соотношения
9*0, b* 9* 0,	..., Ьт Ф 0, bm+x=			. . . =	bn =	0;	1 < / и < я . (27)
Я \^ Я ь		<?i 5= <7з>		•••■	Я\ 5^ Ят-

Так как в силу (27) имеем Ьх Ф- 0, то мы можем считать, что b1 = 1. Введем теперь вместо неизвестных функций дг1, ..., х п новые

неизвестные функции у х, ..., у п, положив:

х х = у х;	х 1=	у ‘	b‘pqi~4iy x,	1 =	2, ...,	т;
	х ' = у 1,		1 = т - \-\, ...,		п.		(28)
Соотношения (28) могут быть разрешены относительно новых
неизвестных функций у х,		... ,	уп; именно	мы имеем:
у1— х х\	у 1 =	х 1— blp4'~4ix x,		1 = 2 , ...,		т\
	у ‘ = х \		l = m - f- 1,	...,	п.		(29)
Подставляя вместо	неизвестных функций			х 1, ... , х п новые			неизвест­
ные функции у х, ,	у п в систему (22), мы получим новую						систему

§ 12]	МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД					7 5
уравнений
	Ё и (p)ys = f (0,		' У =	1,	Я. '	(30)
	5=1
Непосредственно видно, что порядок 9* системы					(30) относительно
функции у/1	меньше <?,, а порядки ее		относительно остальных			неиз­
вестных у 2,	у п равны	соответственно <7*, ....			д„. Таким образом,
порядок q*	системы (30)	меньше порядка		q системы (22).

Если рассматривать преобразования (28) и (29) как линейные преобразования переменных у х......... у'г в переменные х 1, ... , х" и обратно с коэффициентами, являющимися многочленами относительно р,

то видно, что детерминант каждого

из линейных преобразований (28)

и (29) равен

- |- 1. Из этого

следует, что детерминант D* (р)

си­

стемы (30) равен

детерминанту

D(p) системы (22). Таким

образом,

разность

между

порядком

и

степенью детерминанта

в системе

(30)

меньше,

чем

в системе (22);

применяя описанное преобразование

ко­

нечное число

раз,

мы придем

к нормализуемой

системе.

Пусть теперь

*' =

<р'(0.

Л,

(31)

— некоторое

решение

системы

(22). Так как порядок системы

(22)

относительно

неизвестной

функции

х 1 равен

qt, то

функция

ср* (t)

предполагается

qt раз дифференцируемой.

В силу преобразования (29)

решению

(31)

системы

(22)

соответствует

решение

У =

<!»'(0 >

1 = 1

(32)

системы (30).

Из соотношения (32)

видно,

что функция У(()

диффе­

ренцируема qt раз. Из сказанного следует,					что из каждого решения (31)
системы	(22)	мы получаем		некоторое	решение			(32) системы	(30),
так что	при	переходе	от	системы (22)	к	системе (30) ни одно ре­
шение не теряется. Так			как	в результате		ряда		преобразований	мы
приходим	к нормализуемой			системе, решения которой имеют любое
заданное	число производных, то из преобразования (28) видно,								что
и решение (31)		системы (22) имеет любое заданное число производных.
		§ 12. Метод комплексных амплитуд
В различных разделах техники и физики,							в которых имеют		дело
с колебательными процессами, важную роль							играют гармонические

колебания. Математически гармоническое колебание задается функцией

■ГCOS (mt ~f- а),

0.

(1)

Здесь г — амплитуда колебания, а — его начальная фаза, а число со определяет частоту колебания и обычно называется частотой. Мы

76	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	[Гл. 2
уже видели (см. пример 1 § 4), что уравнение
	х -(- (Лс = 0	(2)

имеет в качестве своего общего решения гармоническую функцию (1) частоты ш с произвольными амплитудой и фазой. Уравнение (2) назы­ вается уравнением гармонического осциллятора.

При изучении гармонических колебаний нередко приходится иметь дело с уравнением

L(p)x = r cos (u>t -(- а),

(3)

где в правой части стоит гармоническая функция. Уравнение (3) легко решить, пользуясь способом, изложенным в теореме 8, так как гар­ моническая функция является квазимногочленом. В случае, когда коэффициенты многочлена L (р) действительны, можно использовать теорему 8 несколько иным способом. Способ этот называется в электро­ технике методом комплексных амплитуд и заключается в сле­ дующем.

А) Наряду с действительной гармонической функцией (1) рас­ смотрим соответствующую ей комплексную гармоническую функцию

Реш ,	(4)
где
fp = ге‘\	(5)

Функция (4) обладает тем свойством, что ее действительная часть совпадает с функцией ( 1):

ре‘ш = ге1 = г cos (wt -j- а) -{- ir sin (шt -j- а).

Комплексное число (5) называется комплексной амплитудой ком­ плексной гармонической функции (4); оно объединяет в себе дейст­ вительную амплитуду г и начальную фазу а. Отметим, что

г= |р|-

В случае, если коэффициенты многочлена L (р) действительны, для решения уравнения (3) решают предварительно уравнение

Цр) г =	Реш .	(6)
Непосредственно видно, что если	г — х-\-1у	есть решение уравне­

ния (6), то х есть решение уравнения (3). Предполагая,	что ш не есть
корень многочлена L (р):
L (Ь) ф 0,	(7)

ищем (см. теорему 8) решение уравнения (6) в виде комплексной гармонической функции г = яеш‘ с комплексной амплитудой o = se'*i.

§ 12]

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

77

Подставляя функцию z = аеш‘ в уравнение (6), получаем:

					L (/«>)		(S)
(см. § 7, Б)).		Таким образом,		решение уравнения (3)			находится в виде
функции
		х =		s cos (wt -j- р);			(9)
амплитуда	s	и начальная	фаза р этого			решения	определяются из
формулы					re"1
				se&
					L (tu)
(см. (8)).	В частности, s =		| о ] == |-ц,-м-у| •			Если многочлен L (р) устой­

чив, то соотношение (7), очевидно, выполнено. В этом случае любое

решение уравнения (3) имеет вид:
х = и -J- s cos {y>t —J—р),	(10)
где и есть решение однородного уравнения	L (р) и — 0. Решение и

этого однородного уравнения стремится к нулю при t —* оо, и потому любое решение уравнения (3) стремится к решению (9). Решение (9)

называется установившимся', оно соответствует установившемуся

процессу, в то время как решение ( 10) описывает переходный про­ цесс. Установившееся решение (9) является единственным периодиче­ ским решением среди всех решений ( 10).

При применении метода комплексных амплитуд обычно не рас­ сматривают решений действительного уравнения (3), а сразу исходят из комплексного уравнения (6).

Изложим теперь метод комплексных амплитуд в применении к системе уравнений. Речь идет об отыскании частного решения системы уравнений

П

Y i L [ ( P ) x S = Г, c°s (u>f+ аО,	] = \ .... П	(И)
S= 1
с действительными коэффициентами, в правых частях		которой стоят
гармонические колебания одной и той	же частоты и>.	(см. § 11, А))
Б) Предположим, что детерминант D(p) системы (11)

не обращается в нуль при p — im. Для отыскания решения системы (11) будем искать сначала решение системы уравнений

^ 7/А(р)2* = р еш ,	] = \ ,	п,	( 12)
А = 1

где

73	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2
Так	как коэффициенты		всех	многочленов	LJk (p)	действительны, то
из всякого решения z1,			zn	системы (12) мы		получаем решение
		x k — Rezk,		k = \
системы (11).		Решение системы (12) ищем			в виде:
		г" = <зкеш ,		k = l ,	п.	(13)
Подстановка		функций (13) в систему (12)			дает	(после сокращения

на еш ) систему уравнений
2	4 (/ч>)о* =		Р/
ь=\
которая однозначно разрешима		относительно неизвестных				о*,	так
как детерминант ее D{im) по	предположению отличен от нуля.					Найдем
решение этой системы и положим:
	о* =
тогда в силу (13) мы находим решение
х к= sft COS (wt -j-		k z = l ........ n,					(14)
системы (И). Если детерминант		D(p) системы (11)		есть	устойчивый
многочлен, то неравенство	D(/u) ) ^ 0		выполнено,	и,	сверх		того,

каждое решение системы (11) отличается от решения (14) слагаемым,

стремящимся к нулю	при	t —--j-oo (см. § 11, Б)). Таким образом,
в случае устойчивого	многочлена D(p) решение (14)		системы (11)
не только является одним из частных решений, но			представляет
собой установившееся решение.
		П р и м е р
Решим уравнение
х -f-		= г cos (ш( -|- а)	(15)

гармонического осциллятора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы. Вместо уравнения (15) рассмотрим соответствую­ щее комплексное уравнение

5 + co^ =	rei(“,+a).	(16)
Если и>^ и,, то уравнение (16)	имеет решение вида 2 =	ae,m<, причем
в силу формулы (8)	ге1л
О=
	О)3—о>а •
	1

S 121	МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД	79
Таким образом, уравнение (15) имеет решение
	■* = |-т»=ГЙ» |~COS(orf + P),	(17)

где р = а при u ) | со и (3=*=а-|-7г при а)1<^(«. Формула (17) дает вынужденные колебания осциллятора под воздействием гармониче­ ской внешней силы. Здесь важно отметить явление резонанса, заклю­ чающееся в том, что амплитуда

вынужденного			колебания	в о з р а с т а е т	с	убыванием разности
| о), — о» |. Интересно также				отметить, что фаза р колебания (17) совпа­
дает с фазой а			вынуждающей силы при u>,^>u> и противоположна
ей	при	(Oj<^u).	Общее решение уравнения		(15)	записывается в виде:
		Х =	Г Х COS ( ( V	+ a t) + j ш8 _ '"Y j' c o s		( ° ^ + P)>
где	и =	rt cos (u>tt ~(- aj) есть решение соответствующего однородного

уравнения. Слагаемое и называется собственным колебанием осцил­

лятора.					В этом случае	ре­
Если 00, = о), то формула (17) теряет смысл.
шение уравнения (16)		следует искать в виде:
		z==pteia,‘,
где р — комплексное		число (см.	теорему 8). Согласно формуле			(9)
§ 10 имеем:		[(р -)- Iwf -)- о/2] рt — геы,
откуда			ге<*
		Р	2ш
Таким образом, частное решение			уравнения (16)		имеет (при ш1 =	ш)
вид:
	z	2Ы		2(о
а решение уравнения (15) оказывается равным
X==£ - C0S ( ^ + * - - 5-) =				-£sin(a>f + a).
Таким образом,	при ш = ш, явление			резонанса	заключается в том.
что амплитуда ft	становится переменной и неограниченно возрастает

с течением времени. В реальных приборах это явление не наблюдается ввиду наличия «трения».