книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

исправленным внутренним углам и данному азимуту направления с первой на вторую вершину (215°) вычисляют азимут всех осталь­ ных сторон. Это делается по формуле, приведенной в § 18, т. е. азимут последующего направления равен азимуту предыдущего

	направления плюс		180° минус внутренний вправо лежащий угол.
	Проведем этот расчет на				нашем		конкретном примере.
	Начиная с данного азимута вычисления не­
	обходимо продолжить			до возвращения				вновь к	1—2 .... ,215°
	этому азимуту, так как это является						контролем			+ 180“
	правильности вычисления и предохраняет от гру­										395°
	бых просчетов. При вычислении азимут направ­									~117°
									2—3 .... ,278°
	ления с 3-й стороны на 4-ю мы получили равным
										+ 180“
	365°. В этих случаях			необходимо сбросить 360°							458°
	и считать азимут стороны 3—4 равным 5°.
											93°
	По исправленным внутренним углам,							азиму­			355“
	там сторон и их длинам задача					о	составлении				360°
	плана может быть решена графически и аналити­
	чески. Графическое решение было описано в § 18								3—4 .....		5°
	при рассмотрении		составления			плана		по дан­		‘+'180э
	ным съемки при помощи буссоли или компаса.										185°
	В средней школе графическое					решение следует				“106°
	использовать	до	изучения		тригонометрических				4—5 ..... 79“
	функций и логарифмов.									+ 180“
											259“
	В IX классе во второй половине						учебного го­
										~ 98°
	да и в X классе можно показать учащимся ана­								5-1 . . .	.	,161°
	литическое решение геодезических задач. Это									+ 180“
	решение представляет для учащихся поучитель-									_341°
	ный пример того,		как производится в настоящее						1—2- • ■	■	126°
	время в технике обработка полевых данных. В										215°
	то же время	аналитическое			решение			нисколь­

ко не сложнее тех абстрактных задач, которые учащиеся решают в большом количестве в курсе алгебры и тригонометрии, а вычисле­ ния с конкретными данными по схемам, включающим постоянный контроль, воспитывают ответственность в вычислениях и повышают вычислительную культуру.

Аналитическое решение имеет своей целью вычисление коорди­ нат всех вершин полигона с аналитическим разверстанием невязки. В геодезии основным считают направление меридиана данного ме­ ста. Поэтому направление от точки наблюдения на север выбирают за ось Ох и углы в соответствии с изменением азимутов считают по часовой стрелке.

Вгеодезии рассматривают две следующие геодезические задачи

вкоординатах.

Прямая геодезическая задача

По координатам начала отрезка, его длине и азимуту опреде­ лить координаты конца отрезка.

7*

99

Пусть	и ул — координаты	точки	А начала		отрезка,
w —координаты точки В конца отрезка			и а — азимут отрезка АВ,
т. е. угол	между положительным	направлением		оси	Ох и отрез­
ком АВ.	независимо от положения точек		А и	В в различных чет­
Тогда

вертях (черт. 100):

ВС=х — х — АВ cos а;

вА

АС=ц —и = АВ sin а,

или

хв — ха 41- АВ cos а;

у = и 4- АВ sin а.

J В J А

Формулы во всей своей общности не могут представлять затруд­

нений для учащихся средней школы, изучающих тригонометрию. По этим формулам вычис­

ляются координаты после­ дующих вершин, если из­ вестны координаты преды­ дущих вершин, длины сто­ рон и их азимуты. Обычно, принимая координаты ка­ кой-либо вершины за на­ чальные, последовательно вычисляют разности, или приращения, координат при переходе от одной вер­ шины к следующей. Для вы­ числения разностей необ­ ходимо каждый раз длину стороны умножать на коси­ нус или синус азимута и при пользовании таблица­

ми для значений тригонометрических функций приводить послед­ ние к аргументу, меньшему 90°. Это в сущности и является одной из причин (кроме исторической традиции), почему специалисты предварительно переводят азимуты в румбы. При этом составляют­ ся особые таблицы для запоминания знаков Д- или — , которые

надо поставить перед произведением длины стороны на косинус или синус румба. С точки зрения тригонометрии, изучаемой в школе, это совершенно не нужно. Учащиеся знают из тригономет­ рии, что косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а синус положителен в первой и второй. К этому необходимо добавить, что нумерация четвертей при счете азимутов ведется по ходу часо­ вой стрелки. Одно здесь желательно иметь в виду. Приводя значе­ ние азимута к наименьшему аргументу, удобно не пользоваться случаями 90° + а и 270° ± а, так как это ведет к изменению на-

100

звания функции. Так, в нашем конкретном примере азимут стороны 1—2 равен 215°. Приводя этот азимут к наименьшему аргументу,

можно считать 215° = 180° 35°, или 215° = 270°— 55°. Выгод­ нее первое, так как в этом случае при вычислении разности абсцисс придется умножать длину стороны на cos 35° и при вычислении длины ординат длину стороны умножать на sin 35°. Также при приведении к наименьшему аргументу азимута сторон 2—3 считают 278° = 360°—82°, и стороны 5—1—161° = 180°—19°. Тогда во всех случаях при вычислениях разностей абсцисс придется пользоваться косинусом и при вычислении разности ординат — синусом.

Обратная геодезическая задача

По данным координатам начала и конца отрезка определить его

длину и азимут направления.
По данным чертежа 100		имеем:
	.	Ув-Уд	.
	tga =---------- -;			(1)
		хв — ХА
Ав = МЛ =		= V(xB-XA)2+(yB-^Ar.		(2)
Sin a	COS а
Формула (1)	даст при положительных значениях тангенса			два

значения для азимута в первой и третьей четвертях, а при отрица­ тельных значениях тангенса два значения для азимута во второй и четвертой четвертях. Выбор четвертей производится при помощи формул (2) по знакам синусов и косинусов. При положительном значении длины стороны знак синуса совпадает со знаком разности ординат и знак косинуса со знаком разности абсцисс. Отсюда мож­ но определить четверть для азимута. Рассмотрим частный пример. Пусть даны точки Л(10; 4) и 73(4; 12) своими координатами; тогда

tg а = +8 = —1,333.

Положительному значению тангенса соответствует по таблицам угол, равный 53°8', отрицательному значению тангенса соответствуют два значения азимута: 0^=180°—53°8' = 126°52' и а2 = 360°—53°8' = = 306°52'. Определим, какую четверть — вторую или четвертую

— надо выбрать:	8	—6
	АВ =п =	.
r	Sina	COsa
Отсюда видно,	что синус азимута положителен, а косинус отри­

цателен. Поэтому для азимута выбираем вторую четверть и азимут равен 126°52'.

При вычислении координат вершин пользуются специальными таблицами приращений прямоугольных *,координат арифмомет-

* Проф. П. М. Орлов, Таблицы приращений прямоугольных координат; Ф. Т а у с с, Таблицы для вычисления прямоугольных координат.

101

ром для нахождения произведений длин сторон на натуральные зна­ чения тригонометрических функций, таблицами логарифмов чисел и тригонометрических функций или логарифмической линейкой и специально составленными номограммами. Из перечисленных спо­ собов для средней школы наиболее удобным является вычисление при помощи таблиц логарифмов или логарифмической лднейки. И в том и в другом случае дело сводится к вычислению разностей ко­ ординат. Пусть х и ус индексами будут координатами точек поли­ гона, d с индексами — длинами соответствующих сторон, и а с ин­ дексами — азимутами сторон. Тогда

	«^1 — d^2 COS			У2	У1	= C^Sln а12’
	Х2 =	COS	ОС2з>	Уз	Уг — <^2з^'С1 «23>
Х^	Х3 — ^34 COS			Уь	Уз ~ dMsin а34,
•4	%п	^«1 cos	ал1,	У1 уп		dnlsin <хл1.

Проекции замкнутого контура на ось Ох и ось Оу должны рав­ няться нулю. Однако сумма правых частей вышенаписанных ра­ венств в силу погрешностей измерения и вычисления не будет рав­ на нулю. Получаются невязки в абсциссах и в ординатах, которые представляют проекции на оси Ох и Оу невязок в абсциссах и ор­ динатах. Абсолютная линейная невязка равна корню квадратному из суммы квадратов невязок в абсциссах и ординатах. Если абсо­ лютная невязка не превышает норму, в вычисленные разности коор­ динат вносят исправления пропорционально длинам соответствую­ щих сторон с учетом знаков разностей координат. После этого вы­ числяют координаты вершин, приняв координаты одной из вершин за начальные.

Ниже (см. стр. 104, 105) в двух таблицах приведены вычисли­ тельные схемы для нашего конкретного примера. Перейдем к рас­ смотрению этих схем. Первая схема имеет в виду вычисление коор­ динат вершин при помощи четырехзначных таблиц логарифмов, во второй схеме использована логарифмическая линейка. Первые четыре вертикальные колонки в обеих таблицах одинаковы и содер­ жат номера вершин, исправленные внутренние углы, освобожден­ ные от угловой невязки, азимуты сторон, приведенные к наимень­ шему аргументу с использованием диаметра 0°—180°, и длины сто­

рон. В следующих		колонках имеются		различия. Остановимся на
первой таблице.	Для вычисления разностей координат при помощи
логарифмических таблиц имеем:
%П Хп—1-- Уп		Уп—\—
1g	(х„ - Хп -1) = 1g			4- 1g cos
lg	<Уп ~ Уп -i) = 1g		4,n-i + 1g sin

Таким образом, для вычисления логарифмов разностей коорди­ нат необходимо иметь логарифм длины стороны, логарифм косину­ са азимута и логарифм синуса азимута. Для этих целей предназна­

102

чена пятая вертикальная колонка. В ней в строке против азимута соответствующей стороны и ее длины вписывается из таблиц лога­ рифм стороны. Над этой строкой записывается логарифм косинуса азимута, а под строкой—логарифм синуса азимута. При этом смот­ рят на колонку азимутов и в таблицах ищут логарифмы по напи­ санному значению аргумента, меньшему 90°, пока не обращая вни­ мания на знак. Складывая верхнюю и среднюю строчку пятой ко­ лонки, мы получаем логарифм произведения стороны на косинус азимута, а складывая среднюю и нижнюю строчки пятой колонки, мы получаем логарифм произведения стороны на синус азимута. Результаты вписываются в шестую колонку. В седьмой и восьмой колонках по таблицам антилогарифмов вписывают значения разно­ стей абсцисс и ординат. При этом по азимуту определяют знак разно­ стей. Так, в нашем примере азимут стороны между пятой и первой вершиной лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен. Поэтому разность абсцисс отрицательна, а раз­ ность ординат положительна. Азимут стороны между первой и вто­ рой вершиной лежит в третьей четверти. Поэтому обе разности аб­ сцисс и ординат отрицательны. Суммируя разности абсцисс и раз­ ности ординат, мы получаем сумму, не равную нулю. Вычисленная линейная невязка равна 1,3 м, что по отношению к периметру по­

лигона составляет —о.чли 0,5%. При измерении углов с точностью

до 1ь такую невязку можно считать допустимой. При измерении углов с точностью до 5 минут (буссоль Стефана) или с точностью 0,5—1 минуты (теодолит) точность линейных измерений также дол­ жна быть повышена и тогда допустимая линейная невязка берется

меньше	периметра. Разверстание невязки, в разностях абс­
цисс + 0,94	лив разностях ординат +0,93 м необходимо рас­

считать пропорционально длинам сторон со знаками, противополож­ ными знакам невязок. Так, в нашем случае невязки разности абс­ цисс и ординат положительны. Поэтому поправки в разности вно­ сят с отрицательными знаками.

Графически это удобно сделать так. Выбирают ближайшее круг­ лое число, большее самой длинной стороны. В нашем случае нет ни одной стороны длиннее 100 м, и поэтому таким числом удобно выбрать 100 м. Определяют, какая невязка приходится по оси Ох и по оси Оу на 100 м. В нашем случае по обеим осям это даст 0,36 м. На миллиметровой или любой клетчатой бумаге откладывают 100 л в произвольном масштабе (например, 10 л в 1 см), в конце отрезка восставляют перпендикуляр и на нем в крупном масштабе (напри­ мер, 1 см в 1 мм) величину невязки по оси х-ов и по оси у-оъ. Нача­ ло отрезка соединяют с концом перпендикуляра. Тогда для каждой длины стороны можно легко найти поправку для соответствующей разности. В 9-ю и 10-ю колонки вносят значения исправленных раз­ ностей координат с округлением до 0,1 м, так как длины сторон были измерены с этой точностью, и еще раз производят проверку сумм разностей, которые теперь должны быть равны нулю. После

103

Таблица 1

Вычисление координат вершин при помощи таблиц логарифмов

	Исправлен­		Азимуты,	Длины.	IgCOS	а
Номера вершин			приведенные
	ные внутрен­			сторон	1g d
		к	наименьшему
	ние углы			в метрах	Igsin	а
			аргументу
	2		3	4	5
1 •			180°—19°	53,6	Г, 9757
	126°				1,7292
			■ 180° 4-35°	37,2	Г,5126
					П9134
2	117°				1,5705
			360°—82=	52,8	1,7586
					_
					1,1436
3	93°				1,7226
					1,9958
	106°		5°	65,2	Г, 9983
4					1,8142
			79°	52,4	Г,9403
5	98°				1,8806
					1,7193
					Г,9919
	Сумма 540°			Периметр
				261,2

Линейная невязка; ]Л(0,94)3 4-(0,93): 1,3.

	Igdcosa	Вычисленные		Исправленные		Координаты
		разности		разности
	Igdsina	координат		координат		вершин
		абсцисс	ординат	абсцисс ординат		абсцисс |ординаты
	6	7	8	9	10	11	12
	1,7049	—50,69	17,45	—50,9	17,3	23,5	73,9
	1,2418
	1,4839	—30,47 —21,33		—30,6	—21,5	—7,1	52,4
	1,3291
	0,8669	7,348 —52,29		7,1	—52,4	0,0	0,0
	1,7184
	1,8125	64,94	5,682	64,7	5,4	64,7	5,4
	0,7545
	0,9999	9,815	51,42	9,7	51,2	74,4	56,6
	1,7112
		4-82,10	4-74,55
		—81,16	—73,62
		4-0,94	4-0,93
	Относительная невязка: 1			’ 3 ~ 0,005 = 0,5%

261,2

Таблица 2

Вычисление координат вершин при помощи логарифмической линейки

Номера вершин 1

1

2

3

4

5

		Азимуты,		Вычисление разности		Исправленные	разности	Координаты вершин
	Исправлен­	приведенные	Длина	координат		координат
	ные внутрен­	к наимень­	сторон
	ние углы	шему	в метрах	абсцисс	ординат	абсцисс	ординат	абсциссы	ординаты
		аргументу
	2	3	4	' 5	6	7	8	9	10
	126°	180°—19°	53,6	—50,6	17,4	—50,8	17,2	23,4	74,0
		180°+35°	•
	117°		37,2	—30,4	—21,4	—30,6	—21,5	—7,2	52,5
		360°—82°	52,8
	93°			7,2	—52,3	7,2	—52,5	0,0 .	0,0
		5°	65,2
	106°			65	5,65	64,6	5,4	64,6	5,4
		79°	52,4
	98°			9,8	51,6	9,6	51,4	74,2'	56,8
	Сумма 540°		Периметр	+82	+74,65
			261,2	—81	—73,7
				-г1	+0,95

Линейная невязка: ТЛ+(О,95)3 я 1,4. Относительная невязка: -АА- « 0,0053 = 0,53%

261,2

этого в 11-й и 12-й колонках вычисляют координаты вершин. Для этого координаты произвольной вершины выбирают за начало ко­ ординат. В нашем случае за начало координат выбрана третья вер­ шина, чтобы уменьшить число отрицательных координат. Разность координат четвертой вершины и третьей составляет для абсцисс 64,7 м и для ординат 5,4 м. Поэтому координаты четвертой верши­ ны будут 64,7 м и 5,4 м. Координаты пятой вершины увеличивают­ ся на 9,7 м и 51,2 м в сравнении с четвертой, абсцисса первой вер­ шины уменьшается на 50,9 м и ордината увеличивается на 17,3 м б сравнении с пятой.

Доведя вычисление координат до третьей вершины, убеждаются, что расчет произведен правильно.

Расчет координат вершин при помощи логарифмической ли­ нейки значительно упрощается, как это видно на второй таблице.

Разности координат получаются при помощи перевернутого движ­ ка со шкалой синусов на лицевой стороне умножением длин сторон на косинусы и синусы азимутов. Полученные результаты, как вид­ но из таблицы второй, хорошо согласуются с результатами вычис­ лений по таблицам логарифмов. При измерениях углов с точностью до одного градуса вычисления при помощи логарифмической ли­ нейки дают вполне удовлетворительные результаты и могут быть рекомендованы для применения в средней школе.

Специальные номограммы для вычисления произведений dcosa и d sin а при обычных масштабах дают грубые результаты.

Более интересной для самостоятельного изготовления в школе является номограмма, основанная на измерении катетов прямо­ угольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Устройство этой номограммы следующее (черт. 101). На клетчатой, а лучше на миллиметровой бумаге выбирают квадрат со стороной, равной 10 единицам (для классной модели можно взять сторону квадрата, рав­ ную 50 см). Считая вершину квадрата за начало координат, по осям координат размечают расстояния 10, 20, 30,..., 90, 100. Затем чертят дуги четвертей окружностей с центром в начале координат и радиусами, равными расстояниям 10, 20, 30,..., 90, 100. Одну из этих окружностей по хорошему транспортиру или градуированной окружности делят на градусы и через точки деления проводят ра­ диусы-векторы. Для получения произведения длины стороны на косинус или синус угла на радиусе-векторе, соответствующем зна­ чению азимута, приведенного к наименьшему аргументу, отмечают от точки О длину стороны ОМ. Проекция ОА длины стороны на ось Ох даст произведение длины стороны на косинус угла, а проек­ ция ОВ на ось Оу даст произведение длины стороны на синус угла.

Если номограмма наклеена на твердую подложку (картон или фанеру), можно обойтись без расчерчивания радиусов-векторов и промежуточных четвертей окружностей, пользуясь вместо радиусавектора накладной линейкой с миллиметровыми делениями.

Таким образом, на этой номограмме можно легко подсчитать разности координат вершин. В случае если длины сторон превыша-

106

ют 100 м, можно уменьшить эти длины вдвое, найти по номограмме разности координат и затем увеличить их вдвое. Конечно, точность расчета по номограмме зависит от ее размера.

По вычисленным координатам составляется план, для чего на выбранном формате бумаги чертят систему координат, по разно­ стям наибольших и наименьших-абсцисс и ординат определяют про­ тяженность полигона с севера на юг и с востока на запад, в соот­ ветствии с этим выбирают масштаб и по координатам находят поло­ жение вершин. Так, в нашем примере наибольшую абсциссу имеет пятая вершина (74,4 м) и наименьшую вторая вершина (—7,1 м). Поэтому протяженность полигона с севера на юг составляет 74,4— (—7,1) = 81,5 м. Протяженность с востока на запад составляет

73,9 ж. При выборе формата бумаги а4 (203 X 288 мм) можно вы­ брать масштаб 10 м в 2 см, или 1 : 500.

В целях предохранения от графических ошибок при отклады­ вании координат при наличии на чертеже только двух координат­ ных осей полезно на выбранном формате бумаги вычертить, приспо­ собляясь к выбранному масштабу, сетку крупных квадратов. В на­ шем примере такими квадратами могли быть квадраты со стороной в 2 см или 4 см, дающие длины в 10 м или 20 м. Однако вычертить такую сетку необходимо с большой аккуратностью, так как от это-

107

го зависит точность построения. Хороший способ построения сетки дает практика геодезистов, основанная на том, что диагонали пря­ моугольника равны и взаимно делятся пополам и что это свойство является свойством необходимым и достаточным. Для построения сетки квадратов проводят на листе бумаги две пересекающиеся ди­

агонали. От точки пересе­ чения по диагоналям откла­ дывают равные расстояния (черт. 102) ОА, ОВ, ОС и OD. Соединяя последовате­ льно точки А, В, С a D прямыми, получаем прямо­

угольник		ABCD. Затем по
AD и ВС при помощи мери­
тельного		циркуля		накола­
ми	откладывают			длины,
равные		стороне		выбран­
ного квадрата			сетки, пред­
варительно оставив				слева
необходимее			пространство
для	рамки. Так же, оста­
вив'	внизу		необходимее
пространство			для	рамки,
откладывают длины				сторон
квадрата по ВА и CD. Пра­

вильность построения квад­ ратов проверяется по ли­ нейке, которую приклады­

вают к вершинам квадратов сетки по их диагоналям. В этом ;случае все вершины промежуточных квадратов должны совпадать с прямой и диагонали всех квадратов равных размеров должны быть равны.