книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

Глава VI

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ, КОПИРОВАНИЕ ПЛАНОВ И ДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

§ 23. Вычисление площадей

Целью измерительных работ на местности часто, кроме соста­ вления плана полигона, является определение площади и разбивка полигона на части в соответствии с поставленными хозяйственными заданиями. То же может иметь место и в школе, когда в отведен­ ном для школы массиве необходимо выделить участок под плодо­ вый сад, под ягодники, а также площадок для опытных посадок, для географического городка и для спорта.

Во всех этих случаях для вычисления площадей пользуются известными формулами для площади треугольника, прямоуголь­ ника, трапеции и произвольного четырехугольника.

Для треугольника наиболее удобны следующие три формулы:

с	ah	absmC л/	Г~.	ТГ,	Г	,
S	= -у	= -у- = V	р(р — а)(р		— Ь)(р — с)
где а, Ь,	с — стороны, h — высота,			С— угол и р — полупериметр

треугольника.

Для получения площади произвольного четырехугольника, по­ мимо разбиения его одной из диагоналей на два треугольника и вы­ числения площади каждого треугольника отдельно, можно вывести специальную применяющуюся в геодезии формулу:

с	AC-BD .
8 = —g—sin а,
где АС и BD — диагонали	четырехугольника и а — угол	между
ними. Для получения этой	формулы двумя диагоналями	разби­

вают четырехугольник на четыре треугольника, вычисляют площа­ ди этих треугольников, суммируют площади треугольников, примы­ кающих попарно к одной диагонали, и второй раз суммируют пло­ щади треугольников, расположенных по разные стороны диагонали.

109

При вычислениях по вышеприведенным формулам надо иметь в виду, что они делаются с числами приближенными, имеющими погрешности двух родов. Если при вычислении площади треуголь­ ника непосредственно на местности измерить основание и высоту треугольника или измерить длины всех сторон треугольника, то эти погрешности будут зависеть от точности произведенных изме­ рений. Если же вычисление площади производить по плану и

с	него взять длину высоты треугольника,	не измеренной в натуре,
к	погрешностям измерения прибавятся	погрешности, зависящие

от точности построения и от масштаба плана. Все это надо прини­ мать во внимание при оценке точности полученных результатов при вычислении площади.

Основой всех формул для вычисления площади является произ­ ведение линейных элементов. Как известно, относительная ошибка произведения равна сумме относительных ошибок сомножителей. Поэтому, если считать, что длины на местности измерены с одина-

1

ковой степенью точности, равной~измеренной длины, площадь

2

будет измерена с точностью". Так, например, при измерении длин

с точностью до 0,001 измеренной длины при вычислении площади по данным, измеренным в натуре, ошибка в вычислении площадибудет составлять 0,002 площади, т. е. при площади в 10 га даст

200 л/2 = 0,02 га.

При вычислении площади по данным, взятым с плана, большую роль играет предел точности масштаба плана. В средней школе, как уже указывалось, при рассмотрении масштаба до применения поперечного масштаба в старших классах учащиеся будут пользо­ ваться линейным масштабом с точностью, равной 1 мм. (

Постепенно и здесь следует приучить учащихся по скошенному краю масштабной линейки оценивать половины миллиметра.

В старших классах применение поперечного масштаба даст воз­ можность повысить эту точность до 0,1 мм. При той же предельной точности масштаба относительная ошибка расстояния, взятого с плана, будет зависеть от длины этого расстояния, и поэтому длины, вошедшие в формулы для вычисления площадей, должны быть при­ мерно мало отличающимися одна от другой. Для пояснения рас­ смотрим конкретный пример. Положим, что нам требуется опре­ делить площадь треугольника по плану. Измерение на плане осно­ вания треугольника и его высоты дали соответственно 100 м для основания и 20 л для высоты. Тогда при пользовании линейным

масштабом 1 : 1000 с предельной точностью 1	мм относительная
1	1

ошибка основания даст —, а относительная ошибка высоты даст "

и относительная ошибка площади будет во всяком случае не меньше

100-20

—- ■ = 50 м2 = 0,005 га.

ПО

Применение поперечного масштаба с предельной точностью масштаба в 0,1 мм уменьшит относительную ошибку в вычислении площади в 10 раз. Поэтому при вычислении площади по плану вы­ годнее брать планы крупного масштаба, а при разбиении плана на части для вычисления площади брать эти части возможно более крупных размеров. При вычислении площади по плану после раз­ бивки плана на крупные части вычисляют площади частей и затем

их суммируют.		Полезно провести вычисление дважды, выбирая
по плану	разные стороны
за данные	и в	случае не­

значительного расхождения принимая среднее арифме­ тическое за значение пло­ щади с округлением в пре­ делах относительной ошиб­ ки наиболее малых исполь­ зованных длин.

Так, например, на чер­ теже 103 при линейном масштабе 1 : 1000 (предель­ ная точность масштаба 1 м) полигон разбит на три тре­ угольника, обозначенные римскими цифрами, и пло­ щадь каждого треугольни­ ка вычислена дважды, вы­ бирая каждый раз разные стороны за основание. Вы­

числения производились при помощи таблиц умножения *О Рурка. Первый подсчет:

88-53 , 88-46 , 92-29 „„„	9
—---- h-y- + ~2— = 5600	м •

Второй подсчет:

74-63 , 92-44 , 62-43 г„пг.	„
—+-^-= 5725	м2.
&

Расхождение составляет около 2%. Среднее арифметическое двух вычислений составляет 5662 м2 ~ 5700 м2 — 0,57 га. Результат округлен до 0,01 га, так как относительная погрешность отдель­ ных сомножителей больше 0,01.

§ 24. Вычисление площади при помощи палетки

Палеткой называется прозрачная квадратная сетка, которая накладывается на план, и площадь подсчитывается по квадратикам.

В школьной практике в качестве палетки можно использовать прозрачную миллиметровую бумагу. По масштабу плана необхо­

111

димо определить площадь в натуре, соответствующую квадрату палетки. Так, в масштабе 1 : 1000 один сантиметр будет соответ­ ствовать 10 м и один квадратный сантиметр палетки — 100 м2 площади в натуре. Малые квадраты на миллиметровой бумаге обычно имеют сторону, равную 2 мм. В этом масштабе малый квад­ рат будет соответствовать площади в 4 м2. Положив палетку на план и плотно прижимая ее к плану, не допуская сдвига, сначала подсчитывают число полных больших квадратов, лежащих внутри границ полигона, а затем число малых квадратов и их частей, оце­ нивая последние на глаз. Подсчет малых квадратов и особенно их

частей очень кропотлив, и в нем легко сделать ошибки. При палет­ ке из стекла или прозрачной пластмассы подсчитанные квадраты от­ мечают карандашом. Карандашные отметки на прозрачной милли­ метровой бумаге заставляют довольно часто выбирать новую па­ летку. В случае прямолинейных контуров можно наложить палетку на план таким образом, чтобы одна из линий сетки была диагональю многоугольника плана. Тогда полигон линиями палетки разбивает­ ся на треугольники и прямоугольные трапеции и данные для вы­ числения площадей могут быть взяты с палетки. Так, на чертеже 104 пятиугольник ABCDE разбивается на два прямоугольных тре­ угольника слева и справа (I и III), прямоугольную трапецию (II)

и	треугольник внизу (IV). Их площади	легко	подсчитываются
в	квадратных сантиметрах:
	l3LM=8i	III—=3;
	2	2
	II (.-.’4+6)'^-== 33,06;	IV	= 9,8.
	2		2

112

Общая площадь составляет 53,93 см2. При масштабе 1 : 1000

это даст 5396 м2

0,54 га.

Части площадей, ограниченные криволинейным контуром, при помощи палетки подсчитывают по формуле трапеции или по фор­ муле Симпсона. Для этого палетку накладывают таким образом,

чтобы одна линия сетки палетки легла вдоль	криволинейного кон­
тура и чтобы можно было подсчитать длины	ординат,	опущенных
из точек криволинейного контура на эту линию сетки		через	рав­
ные промежутки. Тогда, принимая криволинейные трапеции,			ог­
раниченные ординатами, контуром сетки и основной линией сетки,

к которой проведены ординаты, за прямолинейные трапеции, бу­ дем иметь:

S = + у2 + Уз + ... + уп-г) >

где yi,y2,..., уп — ординаты точек контура и /г — расстояние между ординатами.

Для применения формулы трапеции число ординат произволь­ но. Для применения формулы Симпсона необходимо взять нечетное число ординат, и площадь будет равна:

5 = --(Уо+4ух+ 2уа+4у3	2y2„_2-J- 4у2„_2-|- у2п).
и

Для избежания погрешностей в размерах частей палетки, ко­ торые могут получиться от ссыхания или растяжения бумажной па­ летки, перед наложением палетки на фигуру, площадь которой подлежит определению, на плане строят какую-нибудь простую фигуру, охватывающую данный контур (квадрат, прямоугольник, треугольник). Площадь этой фигуры определяют непосредственно по масштабу по соответствующему геометрическому способу. Затем накладывают палетку и подсчитывают число квадратиков в вспо­ могательной фигуре и в полигоне. Пусть искомая площадь поли­ гона будет 5, площадь вспомогательной фигуры Slt число квад­ ратиков палетки, покрывающих площадь S, пусть равно п, а пло­ щадь — nt. Тогда:

S	п	с п с
—	= —	и S = - Sj.
Sx	щ	Пу

Подсчет площади при помощи палетки необходимо делать дватри раза и в случае незначительного расхождения результатов за величину площади брать среднее арифметическое. Точность вычи­ сления площади палеткой не превосходит одного процента. В соот­ ветствии с этим необходимо округлять окончательный результат. В школьной практике полезно предлагать вычисление площади плана, составленного по полевым измерениям, разными способами. Это дает наглядное представление о приближенности этих вычисле­ ний и воспитывает осторожность и ответственность при их произ­ водстве.

8 М. А. Знаменский

113

§25. Вычисление площади по координатам вершин

Вслучае аналитической обработки данных полевых измерений

ивычисления координат вершин полигона выгоднее всего опре­ делить площадь по координатам вершин. Аналитическая геометрия дает формулу для вычисления площади треугольника по координа­ там вершин в виде:

мпм	S =^-[х1(у2-у3) + х2(у3 — у1) + х3(у1 — у2)],
ИЛИ	2
	s = ± [г/1 (х2 — х3) + уг (х3 — xj + у3 (Х1 — х2)],

где х и у со значками 1, 2, 3 являются координатами вершин треугольника. Эта формула может быть распространена на мно­ гоугольник с любым числом сторон. Записав полученную формулу

в сокращенном виде,	получаем:
п				п
S — — У х (у	— у	) или S = — У у (у			—у ),
2 ^-1	k'-^k+i	и	к-С	2	ак-1’’
к=1				к=1

т. е. площадь многоугольника равна полусумме произведений всех абсцисс на разности ординат последующей и предыдущей вершин или полусумме произведений всех ординат на разности абсцисс последующей и предыдущей вершин.

Для контроля вычисления производятся по обеим формулам. Умножение производится при помощи арифмометра или при помощи специальных таблиц умножения. В школьной практике целесо­ образнее всего использовать таблицы умножения О’Рурка, а для( суммирования — русские счеты.

§ 26. Определение площади при помощи планиметров

Площадь может быть определена механически при помощи осо­ бых приборов, называемых планиметрами.

Ниже дано краткое описание и теория наиболее употребитель­ ного полярного планиметра и наиболее простого планиметра-то­ порика.

1. Полярный планиметр. Полярный планиметр состоит из двух металлических рычагов (черт. 105) АВ и CD, вра­ щающихся около вертикальной оси в точке А. Рычаг АВ в конце В имеет груз в виде маленького цилиндра с иглой под ним. Эта игла является полюсом планиметра и во время работы слегка вкалы­ вается в бумагу. Рычаг CD в конце D имеет ведущее острие, кото­ рым обводит контур плана, площадь которого необходимо опреде­ лить. Рычаг АВ называется полярным. Его конец А во время работы описывает ведущую окружность. Рычаг CD называется об­

114

водным рычагом. На другом конце обводного рычага, на оси, парал­ лельной рычагу, расположено небольшое колесико, ободок кото­ рого разделен на 100 равных частей. Ось колесика снабжена беско­ нечным винтом, передающим обороты через шестеренку на циферблат Е. Кроме того, против ободка колесика прикреплена дуга с вернь­ ером для отсчитывания тысячных долей оборота колесика.

Чтобы определить площадь фигуры какого-либо произвольного вида, вычерченной на бумаге, планиметр располагают на этом же листе бумаги таким образом, чтобы при неподвижном положе-

8

Черт. 105. Полярный планиметр

нии полюса планиметра можно было обвести острием контур всей фигуры.

Выбрав удобное положение для полюса планиметра, ставят острие рычага CD на произвольную точку контура фигуры и записы­ вают отсчет показаний по циферблату Е (целое число оборотов ко­ лесика), по ободку колесика (десятые и сотые доли оборота) и по верньеру (тысячные доли оборота). Затем обводят острием плани­ метра замкнутый контур фигуры и, возвратившись в исходную точ­ ку, вновь записывают отсчет показаний. Если полюс планиметра во время работы был расположен вне контура, площадь обведен­ ного контура равняется произведению разности отсчетов на некото­ рую постоянную величину.

Постоянная планиметра дается при каждом приборе, но ее всегда можно получить непосредственным измерением, обводя пла­ ниметром какую-либо фигуру, площадь которой известна. Для этого при многих планиметрах прилагается металлическая линейка с иг­ лой для втыкания в бумагу и несколькими углублениями, отстоя­ щими друг от друга на равных расстояниях. Положив линейку на бумагу и слегка прижав иглу, можно описать линейкой окружность. Если при этом поставить острие обводного рычага планиметра в одно из углублений линейки, можно сравнить площадь описанного круга с разностью отсчетов показаний планиметра и определить его постоянную.

8*

115

Теория планиметра основана на вычислении пло­ щади, описываемой отрезком прямой прй ее передвижении по пло­ скости. При этом площадь, описываемая отрезком АВ, считается положительной, когда она остается по одну сторону отрезка АВ, если смотреть от Я к В, и отрицательной, когда она остается по другую сторону отрезка.

При обводе контура по направлению движения часовой стрелки обычно площадь влево считают положительной и площадь вправо— отрицательной. Тогда полная площадь, описанная отрезком' АВ, будет представлять алгебраическую сумму описанных площадей, взятых с соответствующими знаками.

Из геометрии известно, что перемещение отрезка на плоскости может быть выполнено либо при помощи одного поступательного перемещения отрезка в случае, если в двух положениях АВ и АгВ 1 отрезки параллельны между собой и направлены в одну сторону, либо при помощи одного вращения около надлежащим образом вы­ бранной точки, называемой центром вращения.

В первом случае площадь, описанная отрезком АВ при передви­ жении, представляет параллелограмм. Если в середине отрезка по­ местить острое колесико, то при всяком движении отрезкаДВ в на­ правлении, перпендикулярном АВ, колесико будет вращаться, а при движении по направлению АВ только скользить по бумаге. Площадь параллелограмма, описанного отрезком ЛВ, будет равна произведению длины отрезка АВ на длину пути, на который повер­ нется колесико, или на проекцию пути средней точки отрезка на перпендикуляр к АВ.

Покажем, что бесконечно малую площадь, описанную отрезком во втором случае, также можно определить произведением длины отрезка АВ на проекцию пути средней точки отрезка на перпенди­ куляр к АВ.

Пусть (черт. 106) АВ и Л1В1 — два положения отрезка АВ при его передвижении на плоскости. Восставив из середин отрез­ ков AAi и ВВТ перпендикуляры к этим отрезкам до их пересе­ чения, получаем центр вращения в точке О. Треугольник ОАВ при вращении около точки О на угол Дер совмещается с треуголь­

ником ОА1В1. Площадь четырехугольника ЛВВ1Л1						может быть
получена из	рассмотрения	частей		четырехугольника		ОВВ1Д1:
пл. ОААг	-[-пл. ДВВ1Д1	-рпл.		ОАВ = пл. ОД^-Дпл. ОВВХ.
Отсюда в силу равенства		треугольников ОАВ и ОА^В^ имеем
	пл. ABBiAr = пл.		ОВВ1		— пл. ОДДХ.
Заменяя при	малом Д<р, sinAcp		через		Дер получаем:

пл.ДВВ^ 1 (ОВ2 — ОД2) До.

К треугольнику ОВД применим теорему: разность квадратов двух сторон треугольника равна удвоенному произведению третьей сто­

ив

роны и	проекции на	эту сторону	соответствующей			медианы
(см. . Ж.	Адам ар,	Элементарная	геометрия,	ч.	1,	стр. 128):
(ТВ2— OA2 = 2AB-MS, где М— середина АВ,				и	S — основание
перпендикуляра, опущенного из центра вращения О на АВ.
Отсюда	пл.	АВВ1А1 АВ • MS • Дер.

Вычислим проекцию пути средней точки отрезка АВ на пер­ пендикуляр к АВ:

ME = MMt cos MtME-, ММx ОМ ■ Дер; ME — ОМ cos М1МЕЛ(р = MS-Arp,

Черт. 106

так как при малом Дер угол МгМЕ можно считать равным углу

0MS(ME ±MS; MMt — перпендикуляр к высоте	равнобедрен­
ного треугольника 0MMt).
Таким образом,
MS • Д® = ME
и
пл. АВВ1А1 АВ-ME.
При суммировании бесконечно малых площадей, описанных
отрезком АВ, сумма отрезков ME дает длину пути,	которую прой­

дет край колесика, помещенного в средней точке отрезка АВ. Так как на обводном рычаге полярного планиметра вращаю­

щееся колесико помещается обычно не посередине рычага, необ­

117

ходимо определить разность в длине дуг колесика в точке М и

в какой-нибудь другой точке,	например в точке N (черт. 106).
АН?! = О, cos	ON cos N^NEAq = NSAy

ME — NEt — MSAy — NSAcp = MNAtp.

При конечном перемещении отрезка АВ разность путей, прой­ денных колесиками в точках М и N, будет равна MN-ср, где ср есть угол, образуемый крайними положениями отрезка.

Положим, что отрезок АВ полярного планиметра (черт. 107) при перемещении из положения АВ в положение АА (точка В прошла путь BDB]) и из положе-

jjния Л1В1 вновь в положение АВ (точка В прошла путь В1СВ) об- чертит площадь ABDB1A1. При этом течка В обводного рычага

В		Bt	опишет замкнутую кривую, ограни-
			чивающую площадь Q, а точка А
I			полярного рычага будет двигаться
	С		по дуге окружности с центром в
I			полюсе планиметра. Полярный ры-
\			чаг повернется на угол AOAt и на
\			угол А±ОА,
I	------------ I	Таким образом, общий угол по-
I		I	ворота ср будет равен нулю, и раз-
р			ность путей, пройденных колесика-

/ми, расположенными в разных точ-

X./ ках рычага АВ, будет равна нулю X. / на основании предыдущего вывода.

	0	Поэтому в случае, если полюс пла-
		ниметра расположен	вне контура
	Черт. 107	измеряемой площади и отрезок АВ
		не будет описывать полного оборо­
та,	местоположение мерительного колесика безразлично. Отрезок
АВ	при своем передвижении	описывает площадь	Q и площадь

ABCB^iA, расположенную между дугой окружности АА± и кри­ вой ВСВ1. Последняя площадь будет описана дважды, и притом в двух противоположных направлениях. Поэтому она из показания отсчета на циферблате планиметра будет исключена. Таким обра­ зом, разность отсчетов на циферблате планиметра будет пропорцио­ нальна площади замкнутого контура.

При расположении полюса планиметра внутри контура изме­ ряемой площади к величине, полученной в предыдущем случае, надо прибавить некоторое постоянное число. Это постоянное число равно разности двух показаний планиметра при двух обводах одно­ го и того же контура с полюсом внутри и вне его.

2. Планиметр-топорик. Планиметр-топорик предста­ вляет собой металлический рычаг длиной 20—25 см с загнутыми

118