книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

рами 10 mx 16 см, причем на каждой из них также делаются про­ пилы посередине до половины ширины (черт. 19).

Дощечки входят одна в другую по пропилам и вставляются в пропилы в основании вехи. Веха будет хорошо устанавливаться на полу, и ее положение в случае надобности может бытьобчерчено по основанию вехи на полу мелом. Пользуясь такими вехами,.

Черт.	20.	Школьный полигон
можно непосредственно	на	уроках, говоря о прямой,	показать,
как прямая на поверхности		земли определяется двумя	точками,

как продолжить отрезок прямой или найти промежуточную точку, принадлежащую прямой, и как находить точки пересечения пря­ мых в различных случаях.

Черт. 21. Вехи для школьного полигона

!9

Другой способ демонстрации провешивания прямых, как и дру­ гих работ на местности, состоит в использовании учительского стола, чертежной доски, листа фанеры на легком подрамнике или специальной доски, положенной на учительский столик. В случае изготовления специальной доски можно взять ее размером 80 см X XI00 см. Для того чтобы учащиеся могли лучше видеть, что де­ лается на столе, не вставая с своих мест, учительский столик можно несколько приподнимать на подставках из обрезков толстых досок, а чертежную доску слегка наклонять к учащимся специально при­ крепленными планками (черт. 20). Получается искусственный по­ лигон, на котором можно производить показ ряда измерительных работ на местности.

В качестве вех для искусственного полигона можно взять то­ ненькие палочки высотой 20—25 см, закрепляемые на маленьких крестовинах. Многие учителя московских школ используют в этих целях катушки из-под ниток, разрезанные пополам (черт. 21). Еще проще палочки толщиной в спичку и тоньше могут быть уста­ новлены на искусственном полигоне при помощи небольшого кусочка пластилина. Способностью расщепляться на палочки какой угодно толщины обладают обрезки (в одно междоузлие) бамбуковой палки.

При помощи пластилина на искусственном полигоне могут устанавливаться и маленькие модели геодезических инструментов, которые будут описаны в дальнейшем.

§ 7. Измерение длин отрезков прямых на поверхности Земли

Следующей операцией на местности является измерение длин провешенных линий. Измерение линии производится стальной лен­

той или рулеткой. Чаще всего	пользуются 20-метровой стальной
	лентой, которая при пере-
	носе свертывается спиралью
	и скрепляется			обоймами
	(черт. 22).				на
	Для измерения длин
	небольших	расстояниях			и
	особенно	для		измерения
	внутри зданий употребляет­
	ся рулетка, представляю­
	щая тесьму или металличе­
	скую ленту длиной 10—20м,
	заключенную		в	футляре	с
Черт. 22. Стальная лента	вращающейся			рукояткой,
	позволяющей		сматывать		и
наматывать тесьму (черт. 23). При измерении рулеткой				на откры­

той местности необходимо после использования каждый раз насухо вытирать тесьму, так как от сырости она быстро портится и рвется.

30

Профессор П. В. Дензин указывает, что в производственных измерениях оправдывает себя использование телефонного прово­ да со специальной изоляцией.

В школьной практике, за отсутствием стальной ленты или ру­ летки, можно пользоваться самодельной мерной веревкой или тесь­ мой. Для изготовления самодельной мерной веревки нужно выбрать хорошую крученую веревку в 10 с лишним метров, сделать на кон­ цах петли таким образом, чтобы длина в точности была равна 10 м, и привязать через каждый метр кусочки кожи или металлические бляхи. Для того чтобы мерная веревка меньше подвергалась дей­ ствию сырости, ее полезно выварить в льняном масле. Для изго­ товления самодельной тесьмы удобно взять суровую тесьму шири­ ной около 2 см и расписать на ней тушью деления в целых метрах и десятых долях метра.

Бригадиры в колхозах при определении площади, на которой выполнена работа за день, часто пользуются полевым циркулем. Общий вид этого полевого циркуля изображен на чер­ теже 24. Для школьных целей расстояние между ножками циркуля может быть уменьшено до 1,5 м, а высота подобрана по рос­ ту учащихся, чтобы они могли свободно держать его за верхнюю ручку. Из­ мерение при помощи поле­ вого циркуля производится одним человеком, который идет по провешенной линии и переворачивает полевой циркуль. Во время работы необходимо следить, чтобы концы циркуля шли точно по прямой, а не зигзагами, так как иначе может ока­ заться значительная ошиб­ ка в измерении. Вообще незначительные зигзаги, конечно, неизбежны, и по­ этому измерения полевым циркулем всегда имеют по­ грешность в сторону завы­ шения. Хорошим заданием для учащихся является определение погрешности измерения полевым цирку­ лем на основании контроль-

31

ных измерений мерной лентой и соответствующих расчетов. На­ конец, некоторые расстояния могут измеряться шагами.

При измерении длины необходимо иметь в виду, что план есть изображение горизонтальной проекции участка, и поэтому все измерения длин должны вестись по горизонтальному направлению.

Для этого	при мелких неровностях почвы необходимо натяги­
вать рулетку	горизонтально.	Если же имеется уклон местности
на значительном расстоянии,		можно производить измерение по по­

верхности и вычислять горизонтальную проекцию, определив угол наклона. В этом случае горизонтальная проекция АС наклонной линии выразится следующей формулой:

АС = АВ азз^ВАС (черт.		25).
При этом относительная погрешность замены			длины горизон­
тальной проекции длиной наклонной,	равна
I — I COsa .	п . »	а
----------- = 1 — cosa = 2sin2		— .
I		2
При a < 2°30' эта погрешность меньше 0,001			и поэтому впол-

не допустима при измерении длин линий с точностью до 0,001. Обычно в практике при определении горизонтальной проекции не пользуются формулой /cosa, так как при малых углах косинус изменяется очень медленно. Вместо этого по специальным табли­

цам вычисляют поправку Д/ = I — /cosa = 2/sin2y. Это дает

лучшие результаты, так как цри малых углах синус изменяется во много раз быстрее, чем косинус.

Техника измерения провешенной линии сводится к следующему. Работа производится вдвоем. Передний берет с собой проволочное кольцо, на котором нанизано 10 проволочных шпилек или бирок (черт.26). Вытягивая лен­ ту по линии и придерживая конец ленты ве­

Черт. 26. Шпильки

хой или рукой, он становится немного сбоку. Задний останавли­ вается у начальной вехи, держа другой конец ленты и смотря на веху переднего, голосом или знаком поправляет его положение,

32

чтобы он находился на провешенной линии. Когда правильное по­ ложение ленты установлено, передний втыкает у конца ленты шпиль­ ку и тянет ленту дальше. Задний останавливается у шпильки и вновь поправляет положение переднего, а шпильку забирает на свое проволочное кольцо. Когда все 10 шпилек будут использованы, они вновь передаются переднему, и каждая передача шпилек от­ мечается в записной книжке. Длина измеренной линии опреде­ ляется числом передач всех шпилек, числом шпилек, оказавшихся у заднего, и числом метров при последнем измерении.

Этот прием дает возможность избежать грубых ошибок при опре­ делении, сколько раз была отложена лента или веревка. Но так как ошибки все-таки возможны, на работе всякая длина изме­ ряется два раза. В школьной практике полезно одну и ту же длину давать измерять разным парам учащихся. При разнице измерения, превосходящей среднюю точность измерения, работа должна быть проделана снова.

В геодезических производственных измерениях считается, что ошибка при измерениях стальной лентой не должна превышать

11

■------- —у измеренной длины в зависимости от характера местно­

сти и других условий измерения. К высшей границе этой ошибки, равной 0,001 = 0,1% измеренного расстояния, следует стремиться при измерениях длин. Естественно, эти ошибки будут значительно выше при пользовании рулеткой и мерным шнуром и будут умень­ шаться по мере приобретения навыка. Во всяком случае необхо­ димо воспитывать у учащихся ответственность в измерениях, за­ ставлять производить некоторые измерения заранее известных рас­ стояний и вычислять полученные погрешности, а также требовать повторения измерений в случаях очевидных для учителя значи­ тельных ошибок.

В некоторых случаях менее ответственные измерения длин могут измеряться шагами и даже оцениваться на глаз. При измерениях шагами надо приучить учащихся идти ровным шагом и, начиная движение с левой ноги, вести счет парами шагов под правую ногу. Средняя длина шага каждого учащегося должна быть определена на основании измерения. Для этого учитель на ровном месте выби­ рает заранее достаточно точно измеренную длину, например длину в 100 м. Вдоль железных дорог для этой цели можно использовать расстояния между малыми столбиками дороги, которыми отмеча­ ются сотни метров между километровыми столбами.

Каждый учащийся, идя ровным шагом, измеряет это расстояние три раза. Положим, учащийся получил при трех измерениях 167, 168 и 172 шага. Для вычисления среднего арифметического нет надобности сумму этих трех чисел делить на три. Достаточно вы­ числить излишек средней арифметической в сравнении с наимень­ шим числом. Этот излишек [(168—167) +(172—167)1:3 = 2. Среднее число шагов будет 169; 100 м : 169 = 0,59 м. Таким обра­ зом, средняя длина шага учащегося будет равна 0,59 м. Эту вели­

3 М. А. Знаменский

33

чину учащийся должен помнить и при переходе в следующие классы производить самостоятельные повторные измерения, так как длина его шага будет изменяться.

Для перевода шагов в метры необходимо научить учащихся со­ ставлять простую таблицу перевода. Она имеет следующий вид.

Шаги	Метры	Шаги	Метры
1	0,59	6	3,54
2	1,18	. 7	4,13
3	1,77	8	4,72
4	2,36	9	5,31
5	2,95

При вычислении числа метров, приходящихся на четное число шагов, например на 8, удваивают число метров, приходящихся на число шагов вдвое меньше, т. е. на 4, а при вычислении числа мет. ров, соответствующих нечетному числу шагов, например 7 шагам, складывают смежные числа, соответствующие 3 и 4 шагам. В итоге для проверки полезно к числу метров, соответствующих 9 шагам,

прибавить 0,59 м, чтобы убедиться,				что 10 шагов	соответствуют
5,9 м. Надо	научить учащихся быстро производить				подсчеты по
этой таблице.	Положим,	при измерении учащийся получил 127 пар
шагов, т. е. 254 шага.		Тогда по таблице
		200	шагов — 118 м
		50	шагов — 29,5 Л1
			4 шага —	2,36 м
			149, 86 м

Приближенно полученный результат равен 149,9 м или, считая надежными только три цифры, 150 м. Еще лучше, если приведен­ ное выше суммирование учащиеся будут производить на счетах.

Иногда бывает необходимо обратно переводить метры в шаги. Например, в данном направлении нужно отложить 175 м, измеряя их шагами. Пользуясь той же таблицей, считаем так:

118 и.........................	м	200 шагов
_____ 53,1		90	шагов________
171,1 м	. ... .	.290	шагов
4,13 м . . . . . .		.7 шагов
	175,23	_____________________ _
175 .и а....................		297 шагов

И в этом случае расчет облегчается на счетах.

Другой способ перевода шагов в метры заключается в составле­ нии графика перевода. На осях Ох и Оу откладывают: на одной оси— шаги, на другой — метры в произвольно выбранном масштабе. Затем проводят прямую, соединяющую начало координат с точ­ кой, которая, например, соответствует абсциссе в 100 шагов и ор­ динате 59 м. После изучения, графика прямой пропорциональности полезно составить уравнение у = кх и определить коэффициент

34

пропорциональности. При выборе шкалы метров на оси Оу в опре­ деленном масштабе график даст и масштаб, которым можно поль­ зоваться при построениях длин.

Точность измерения длин шагами учащимися должна опреде­ ляться для каждого класса, и надо добиваться, чтобы она не пре­ вышала 2°/0 измеренного расстояния.

Измерениями шагами нельзя пренебрегать, и они могут при­ меняться при измерении небольших расстояний даже в достаточно точных работах. Действительно, при очень употребительном, на­ пример, масштабе в Г : 1000 (10 м в 1 см) и при пользовании обык­ новенным линейным масштабом предельная точность масштаба будет составлять 1 м (на плане 1 мм) и все расстояния меньше одно­ го метра не могут быть Отмечены на плане. Между тем ошибка до 1 м при аккуратном измерении шагами может быть получена при измерении расстояния в 50 м\ при том же масштабе 1 : 1000 и с применением поперечного масштаба предельная точность масштаба

составит 0,1 м (на плане						0,1 мм), а эта ошибка при измерении ша­
гами может получиться при измерении расстояний в 5 м.
	§	8.	Работы, выполняемые при помощи провешивания
					прямых и измерения длин
	Применение приемов					провешивания прямых и измерения			рас­
стояний			на	местности даст возможность выполнения ряда					работ
на местности, обходясь без измерения
углов. Сюда относятся некоторые слу­
чаи измерения недоступных расстоя­
ний построением равных или подоб­
ных треугольников, построением углов
в 60°, 30°, 45°, 90°, деления угла
пополам и съемки плана участка. При
этом надо иметь в виду,						что	решение
этих		задач		непосредственно			связано
с применением геометрических знаний
учащихся, развивает их находчивость
и	сообразительность и					отличается
большим разнообразием. Часть из этих
задач		может			выполняться		в	классе
на	описанном				искусственном			поли­
гоне на столе учителя.
	Опишем некоторые из этих работ.
	1)	Определение расстояния						между
двумя доступными точками, если рас­
стояние между ними не может быть из­
мерено			непосредственно.				точки А
	Положим (черт. 27), что
и	В отделены на местности препятст­
вием		(здание,			болото, лес		и	т. д.),

3*

35

не позволяющим промерить расстояние АВ непосредственно, но каж­ дая из точек доступна. В стороне от линии АВ выбираем точку С так, чтобы из точки С были видны точки Л и В и могли быть измерены расстояния АС и ВС. При помощи провешивания продолжают пря­ мые АС и ВС на расстояния СЕ — АС и CD = ВС. Тогда в силу равенства треугольников неизвестное расстояние АВ = DE и может быть измерено непосредственно.

Используя свойство средней линии треугольника, можно от­ ложить КС = —AC; CL = —BC и тогда АВ = 2KL.

22

Встарших классах можно применить этот способ, используя

подобие треугольников, откладывая CN — —АС и	СМ — —ВС;
п	п
тогда АВ = п • ATV.

2) Определение расстояния до недоступной точки. Положим, что точки А и В находятся на разных берегах реки

и точка А недоступна (черт. 28). Продолжаем прямую АВ про­

вешиванием на произвольное растояние ВС. Затем			провешиваем
прямые BF и СЕ, пересекающиеся в точке D, и откладываем рас­
стояния DF = BD и DE = CD. Точки А		и D определяют одну
прямую,	точки Е и F — другую прямую. Находим их		пересечение
в точке И. Тогда АВ = HF и может быть измерено непосредственно.
Действительно, &BCD =£\DEF, С —		Е, A ADC = /\DEH,
АС=ЕН, АВ= HF.
3)	Деление угла пополам.

Пусть на местности задан угол ВАС положением своей вер­ шины А и направлением сторон АВ и АС (черт. 29). Откладываем

S6

на одной стороне произвольные расстояния AD и АЕ и на дру.

гой стороне равные им расстояния AF = AD и		АН — АЕ. Точки
D и Н и точки F и Е определяют две прямые. Находим их пере­
сечение в точке К- Тогда прямая АК является		биссектрисой уг­
ла ВАС. Действительно, из равенства треугольников AEF и ADH
вытекает, что AEF — AHD,	ADH =	AFE и ^EDK —
= ^-KFH. Отсюда &DEK=AFHK,	DK-=KF,	HADK^/xAFK и

Деление угла пополам может быть выполнено и проще, если применить операцию сгибания мерного шнура и нахождения его середины. Откладываем по сторонам угла (черт. 30) два равных

отрезка ДО и	АЕ, отмечаем	мерным шнуром DE (не измеряя
длины DE в	числовой мере)	и сгибанием шнура находим середи­

ну DE — точку F. AF является биссектрисой в силу равенства треугольников ADF и AEF.

Если вершина угла А, который требуется разделить пополам, недоступна, но видна, поступают таким образом (черт. 31). На сторонах угла выбирают две произвольные доступные точки (В и С)

37

и считают их вместе с точкой А вершинами треугольника. Одним из предыдущих способов делят пополам два угла с доступными вер­ шинами и находят точку пересечения биссектрис. Эта точка с третьей вершиной треугольника определяет биссектрису недоступного угла.

4) Построение на местности треугольников по трем сторонам. На веревочном треугольнике с заданными длинами сторон в вершинах делаются петли, на которых веревочный треугольник

натягивается на поверхности земли на кольях, продетых в						петли.
При построении равностороннего треугольника получается							угол
	в 60°, при построении						тре­
	угольника		со	сторонами 3,
	4 и 5 — угол			в	90°.		Так
	поступали		египетские				зем­
	лемеры	до	начала			нашей
	эры. Греки называли их
	гарпедонавтами т. е. натя-
	гивателями		веревок.
	5) Построение					перпен­
	дикуляров.					перпен­
	Задача провести
	дикуляр, проходящий через
	точку,	лежащую			на данной
	прямой (восставить перпен­
	дикуляр),		решается				еще
	более	простым			образом.
	Пусть требуется				восставить
перпендикуляр к прямой АВ через точку С (черт. 32).					Отклады­
вают на прямой АВ вправо и	влево равные	расстояния DC=CE
и устанавливают в точках D и	Е вехи. Веревку с петлями на кон­

цах набрасывают на вехи в точках D и Е и середину веревки оття­ гивают в точку F. В полученном равнобедренном треугольнике медиана FC будет являться высотой.

В случае, если перпендикуляр надо восставить в конце отрезка, не продолжая его, можно применить такой способ. В конце В отрезка АВ и в точке А устанавливают две вехи. Накидывая

38