книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

Глава IX

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТ ПРЕДМЕТОВ

§ 33. Определение высоты при помощи постоянного угла подъема

Элементарным способом определения высоты предмета является измерение длины тени, отбрасываемой предметом и вертикальным шестом, высота которого известна. Наблюдение момента, когда длина тени равна высоте предмета, приводит учащихся к конструи­ рованию высотомера, состоящего из прямоугольного равнобедрен­ ного треугольника, за­ крепленного на верти­ кальном шесте таким об­ разом, что один катет треугольника вертика­ лен, а другой горизон­ тален (черт. 130).

Визируя по гипоте­ нузе треугольника, при­ ближаются к измеряемо­

му предмету до тех пор,

Черт. 130

пока верхняя точка пред­ мета не окажется на одной прямой с гипотенузой. Искомая высота

предмета равняется расстоянию до его основания, сложенному с высотой прибора. Для вертикальной установки одного из катетов треугольника к высотомеру можно прикрепить отвес или, что зна­ чительно удобнее, свободно висящую на тонком гвоздике стрелку, вырезанную из металлической пластинки. От оси стрелки прочер­ чивается прямая, параллельная вертикальному катету треуголь­ ника. Совпадение стрелки с прочерченной прямой служит указанием на правильность установки высотомера. Визирование по гипотенузе треугольника мало удобно и может пробудить инициативу учащихся для конструирования диоптров.

139

На том же приеме получения угла в 45° основан следующий способ. Подбирают колышек такой длины, чтобы воткнутый в землю он был равен росту наблюдателя до уровня глаз. Воткнув этот кол в землю на расстоянии, равном высоте предмета, оцененной на глаз, ложатся на спину, ногами к основанию кола (черт.

131) и смотрят на его вершину. Если зрачок гла­ за, верхушка кола и верши­ на предмета лежат на одной прямой, определяемая вы­ сота предмета равна рассто­ янию от точки, где ле­ жала голова, до основания предмета. В противном слу­ чае необходимо изменять положение кола, меняя его расстояние от предмета.

Выбирая прямоуголь­ ные треугольники с другим соотношением катетов, можно сконструи­ ровать высотомеры, где катеты будут относиться, как 2 : 1 или 1 : 2. Такие конструкции полезны для выражения в дальнейшем отноше­ ния катетов тангенсом противолежащего угла.

§ 34. Определение высоты на основании подобия

Определение высоты по тени в тот момент, когда длина тени не равна высоте предмета, приводит к пропорциональности четырех отрезков, из которых один искомый (черт. 132).

Черт. 132

Принцип подобия может дать ряд конструкций приборов для определения высоты предметов. Опишем некоторые из них.

Определение высоты при помощи зеркала.. На некотором рас­ стоянии от предмета, высота которого определяется, кладут на по­ верхность земли небольшое зеркало. Отойдя несколько дальше (черт. 133), выбирают точку, чтобы, глядя в зеркало с высоты своего

140

роста, видеть в зеркале верхушку предмета. Тогда, очевидно, иско-

а

мая высота x=~h, где а—расстояние от зеркала	до	предмета,
b — расстояние от зеркала до места наблюдателя	и	h — высота

наблюдателя до уровня его глаз. Так как последняя величина для данного наблюдателя есть величина постоянная, для вычисления высоты достаточно умножить ее на отношение расстояний от зер­ кала до предмета и до наблюдателя.

Черт. 133

В школьной обстановке этот способ интересно использовать во время экскурсий на отражении высоких деревьев, телеграфных столбов и прочих предметов в луже воды.

Высотомер в виде палки с подвижной планкой. К верхнему концу вертикально поставленного шеста прикрепляют подвижную

Черт 134

планку, вращающуюся около горизонтальной оси (черт. 134). Шест устанавливают в произвольном расстоянии от предмета, высоту которого желают измерить и, визируя по верхнему ребру планки, направляют ее на верхнюю точку предмета. Затем, не меняя поло­ жения планки, заходят с другой стороны и замечают на поверхности земли точку, лежащую на одной прямой с верхним ребром планки. Указанная точка отмечается помощником наблюдающего малень­ ким колышком. Измеряя расстояния от этой точки до шеста и до основания предмета, вычисляют высоту предмета по известной высоте шеста.

141

Высотомер в виде доски. На шесте закрепляется легкая доска

в форме прямоугольника (черт.	135). На доске,			вдоль ее нижнего
горизонтального края и вдоль вертикального края					со	стороны,
противоположной наблюдателю,	проводятся прямые линии. Гори­
	зонтальная линия						берется
	определенной длины, на­
	пример 20 см,				ив конце ее,
	ближайшем				к	наблюда­
	телю,		вбивается тоненький
	гвоздик. Установив высо­
	томер на некотором расстоя-
	нии	от измеряемого пред­
	мета таким образом, что
	вертикальная						прямая
	вершины			предмета до его
	основания лежала в пло­
	скости доски высотомера,
	визируют вдоль плоскости
	доски по вбитому гвоздику
	на вершину предмета и в ви­
	зируемом направлении вты­
	кают булавку на прочерчен­
	ной	вертикальной					прямой.
	Произведение					отношения
	катетов полученного на вы­
	сотомере			прямоугольного
	треугольника на расстоянии
	до основания				предмета оп­
	ределяет			искомую			высоту.
	Конструкция				значительно
	упрощается, если на доску
	наклеить лист миллиметро­
	вой бумаги (черт. 136). В
	этом случае искомая высота
	может быть определена не­
	посредственным отсчетом по
	миллиметровой					бумаге без
	вычислений. Для этого к
	гвоздику в точке А прикреп­
	ляют		тонкую			резиновую
ЧеРт136	нить, к другому концу ни-
	ти	привязывают					булавку.

Тогда, отсчитывая по линии AN расстояние до измеряемого пред­ мета в масштабе, равное, например, AM, получаем в том же масштабе высоту предмета МС = ND. Для того чтобы шест высотомера стоял вертикально, можно использовать отвес или на доске установить стрелку, вырезанную из металлической пла­ стинки.

142

§ 35. Определение высот при помощи угломера

Другие способы определения высот основаны на применении угломерных инструментов и измерении угла в вертикальной пло­ скости между горизонтальным направлением и направлением, визи­ руемым на вершину предмета, высота которого подлежит опреде­ лению. Простейшим прибором этого вида является эклиметр, представляющий собой транспортир, вращающийся около горизон­ тальной оси, проходящей через центр транспортира и закрепленной

на колышке со свободно висящим отвесом или стрелкой (черт.			137).
Для изготовления эклиметра может быть		использован	клас­
сный транспортир или под размер	имеющегося градуированного
полукруга выпилен полукруг из	фанеры,
пластмассы, органического стекла или другого
материала. В случае отсутствия градуирован-		LJ
кого полукруга можно использовать данный
выше совет при изготовлении астролябии и по-		У /
добрать радиус окружности таким образом,что-
бы длина полуокружности была кратна 180 мм.
Тогда, выпилив полуокружность из подходя­
щего материала, наклеивают по ребру полоску
миллиметровой бумаги и размечают градусы.
При разметке градусов в середине полуокруж-		г-
ности ставят 0°, и дальше они возрастают в
обе стороны от 0 до 90°. Через центр транспор­
тира должна проходить горизонтальная ось,
закрепленная на стейке. Чтобы любое наклон­
ное положение диаметра транспортира могло		V
быть закреплено, необходимо снабдить эту ось
барашком. Вместо отвеса можно использовать
металлическую стрелку, равную по длине		Черт. 137. Школьный
радиусу транспортира. Для удобства визиро-		эклиметр

вания на диаметре транспортира или на скреп­ ленной с ним линейке устанавливаются диоптры в виде пластинок

с горизонтальными щелями или в виде длинной трубки (метал­ лической или картонной), причем один конец этой трубки откры­ тый и имеет крест нитей (предметный диоптр), а в центре дна дру­ гого конца трубки сделано маленькое отверстие (глазной диоптр).

Наиболее простым эклиметром, доступным для изготовления каждым учащимся, будет угломер из ученических транспортиров, закрепленных на деревянном кружке (черт. 89). Для использования такого угломера в качестве эклиметра в центре транспортира под­ вешивается отвес на нитке.

Горные компасы имеют приспособление для определения углов в вертикальной плоскости. Ими пользуются геологи для измерения угла наклона залегания пластов горных пород (черт. 138). Для этого на шпиле в центре коробки компаса подвешена металличе­ ская стрелка, принимающая отвесное направление при вертикаль-

143

ном положении плоскости лимба компаса. Для отсчета углов на­ клона на дне коробки компаса нанесены градусные деления от нуля

внижней точке до 90° в обе стороны.

Впрактике встречается ручной эклиметр (Брандиса). Он со­

стоит из круглой металлической коробки с приделанной к ней труб-

Черт. 138. Горный компас

кой прямоугольного■сечения (черт. 139). Внутри коробки вра­ щается на оси кольцо с цилиндрическим ободком, на котором нане­ сены градусные деления в обе стороны от нулевого штриха. В одном месте кольца закреплен груз так, что при положении равновесия под действием силы тяжести нулевой штрих и ось кольца имеют горизонтальное направление. В одном конце прямоугольной труб-

Черт. 139. Эклиметр Брандиса

144

ки имеется узкая щель а (глазной диоптр), а в другом конце воло­ сок b (предметный диоптр). В цилиндрической стенке круглой ко­ робки со стороны глазного диоптра имеется окошечко с, через ко­ торое видны градусные деления ободка,’рассматриваемые через лупу d. Кроме того, на цилиндрической коробке имеется кнопка е,

при нажиме которой кольцо получает возможность свободно вра­ щаться под влиянием силы тяжести. При употреблении этого руч­ ного эклиметра, встав в одном конце наклонной линии, наводят волосок предметного диоптра на метку, находящуюся на уровне

глаза, на вехе, поставленной в другом конце наклонной линии. На­ жав на кнопку кольца и выждав, пока кольцо примет спокойное положение равновесия, одновременно проверяют через диоптры направление на метку вехи и через лупу отсчитывают угол наклона.

Наиболее точное определение угла наклона производится от­ счетом по вертикальному кругу теодолита.

Каждый сконструированный эклиметр должен быть проверен. Для этого выбирают на поверхности Земли с равным уклоном две точки А и В (черт. 140) и в точке А измеряют угол повышения ли­ нии АВ, а в точке В —* угол понижения линии ВА. Эти углы при

10 М. А. Знаменский

145

измерении должны оказаться равными или расхождение между ними должно быть небольшим.

При помощи эклиметра определяют длины горизонтальных от­ резков прямых, если фактически измерение идет по наклону. Так, на чертеже 140 АЕ = А.Вcosa.

Для измерения высоты какого-либо предмета (дерева, телеграф­ ного столба) необходимо измерить угол ВАС (черт. 141), составлен­ ный направлением на вершину предмета и горизонтальной прямей,

Черт. 142

и расстояние Л С от места установки эклиметра до основания пред­ мета. Задача до восьмого класса средней школы решается графи­ чески построением прямоугольного треугольника по катету и при­ лежащему острому углу при помощи линейки, угольника и транс­ портира. В старших классах задача решается вычислением по

Черт, 143

формуле х = AD -|-ACtgBAC. Вычисление удобно производить умножением АС на значение тангенса, так как АС всегда можно подобрать в целых метрах.

В случае если расстояние до основания перпендикуляра, опу­ щенного из вершины предмета, не может быть измерено непосредст­ венно, например при определении высоты холма или горы, на го­ ризонтальной части поверхности выбирают две точки, лежащие в одной вертикальной плоскости с вершиной горы (черт. 142). В каж­ дой из этих точек устанавливают эклиметр и определяют углы подъ­ ема на вершину горы. Схематический чертеж 143 показывает, что

146

на основании измерения будет известна длина АС и углы ВСА и

BAD. Тогда по теореме синусов				из треугольника АВС имеем:
	_		ЯС sin ВСА
	~ sin		(BAD — BCA)
и из треугольника ABD-.
	_	ACsinBCAsinBAD
		sin (BAD— ВСА)
Вычисление может быть произведено при помощи логарифми­
ческих таблиц или логарифмической линейки.					К полученной ве­
личине необходимо прибавить высоту эклиметра.
В случае если не удается			выбрать
двух точек, лежащих в одной плоскости
с вершиной горы и на одной			горизон­
тальной части поверхности Земли, их
можно выбрать на одной горизонтальной
части поверхности Земли в		разных вер­
тикальных плоскостях. На схематиче­
ском чертеже 144 показано расположе­
ние инструмента. Пусть 5Л — искомая
высота, ВС—базис в горизонтальной
плоскости. В точках В и Соизмеряются в
вертикальных плоскостях углы ЗСЛ и
SBА.	В тех же точках астролябией или
теодолитом измеряются в горизонталь­
ной плоскости углы АВС и АСВ.				Кроме
того, измеряется базис ВС.
Задача может быть решена графиче­
ски и	аналитически.
Графически задача решается постро­
ением в масштабе треугольника АВС					Черт	]44
пэ стороне и двум прилежащим				углам
(черт.	145). Это построение определяет
стороны АВ и АС. Затем		строятся прямоугольные треугольники
SAB и 5ЛС по катетам и		прилежащим острым углам.				Средняя ве­

личина отрезка ЗЛ = ЗгЛ из двух треугольников принимается за искомую высоту. Все построение может быть выполнено на одном чертеже, пристраивая к треугольнику АВС прямоугольные тре­ угольники SAB и ^ЛС, как это показано на чертеже 145.

Из треугольниксв АВС и ACS получаем:

ВС sinABC

ЛС =

sin (45С4-ЯСВ)

Л5= ACtgACS= BCsinABC tg ЛС5 sin (ABC+ACB)

Контрольным является вычисление AB из треугольника ABC и ЛЗ из треугольника ABS.

10*

147

Решение этой задачи, даваемое в некоторых учебниках путем измерения в треугольнике BCS углов SBC и SCB, лежащих в на­ клонной плоскости, неправильно, так как геодезия не имеет ин­ струментов для измерения углов в наклонных плоскостях.

Последние задачи имеют существенное значение при изучении в X классе средней школы темы о решении косоугольных треуголь­ ников.