книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

концами (черт. 108). Один конец рычага заточен на конус для обво­ да своим острием контура фигуры, площадь которой ■ подлежит определению, а другой конец расплющен в виде топорика.

Планиметр-топорик легко изготовляется из проволоки 6—8 мм толщиной. Лезвие топорика надо сделать несколько закругленным, и его плоскость должна проходить через острие на другом конце рычага. Если острие и лезвие топорика установить на прямой АВ (черт. 108) и передвигать по этой прямой острие, лезвие не должно сходить с прямой. Соблюдение этого основного свойства планиметратопорика позволяет проверять правильность его изготовления.

При обводе острием планиметра контура фигуры, начерченной на бумаге, лезвие топорика опишет соответствующую линию. Форма этой линии может быть установлена, если под путь лез-

А	В
	Черт. 108. Планиметр-топорик

вия топорика подложить копировальную бумагу. В зависимости от формы обводимого контура линия, описанная лезвием топорика, будет меняться, но в целом при выборе начальной точки обвода внутри контура фигура будет иметь характерный вид, представлен­ ный на чертеже 109. Если острие планиметра АВ, поставленное в начальную точку Ло, обойдет контур по линии A0K.LMNKA0, то лезвие топорика В, находящееся первоначально в точке Во, пройдет путь B0CDEBr. На чертеже 109 направления пути острия и лезвия топорика указаны стрелкой. При этом, если принять во внимание условие относительно знака площади, зачерчиваемой отрезком Л0В0 при его передвижении, и считать площадь, остаю­ щуюся влево от первоначального положения отрезка, положитель­ ной и вправо — отрицательной, то площади вне контура, ограни­ чивающего площадь Q, и внутри контура A0B0CDREB1B0 будут пройдены два раза в двух противоположных направлениях и поэтому исключаются.

Чтобы включить выпавшую часть площади (сектор вправо и влево от радиуса-вектора Ло7<), повернем отрезок А0В1 около

точки Ао на угол <р и совместим конечное положение с началь­ ным Л0В0.

Таким образом, путь лезвия топорика будет замкнутым.. В этом случае полная площадь, описанная отрезком Л0В0, будет равна алгебраической сумме площади Q и площадей, заключен­ ных внутри контура, описанного точкой Во. При этом площади B0CS и B±ER будут отрицательны, а площадь DRS — положи­ тельна.

119

Полная площадь, описанная отрезком АВ, будет равна:

Q~ B0CS — BtER ~\-DRS = Q~ (B0CS-^ER — DRS).

Эта площадь, как было установлено при изложении теории

полярного	планиметра,	измеряется	произведением длины		отрез­
ка АВ на	длину дуги,	на которую	повернулось бы колесико,
		установленное в середине отрезка				АВ
		причем ось колесика направлена вдоль
		АВ. При передвижении отрезка				АВ
		по продолжению прямой АВ колеси­
		ко вращаться не будет.
		Поэтому при передвижении отрез­
		ка АВ из положения Л0В0 в положе­
		ние ЛД^ колесико повернется на
		угол ф и длина дуги, пройденной се­
		рединой	отрезка АВ, будет равна
		-~АВ ■ <р.	Когда	же отрезок	АВ из
		положения А0В1 вновь повернется на
		угол ф, чтобы занять первоначальное
		положение Л0В0, колесико повер­
		нется опять на		дугу -|-ЛВ-ф. Таким
		образом, вся дуга, пройденная коле­
		сиком, будет равна:
		уЛВ-ф-Р"АВ-ср = АВ-ц).
		Эта дуга равна дуге B0Blt описан­
		ной точкой Во при повороте около
		точки Ао на угол ф.
		Площадь, описанная отрезком АВ,
		будет равна: АВ -vBoBi.
		При угле меньше 20° дуга ВдВг
		может быть заменена ее хордой, так
		как разность между дугой и соответ­
Черт. 109		ствующей ей хордой при дуге в 20°
		не превышает 0,3 %.

Соответствующим выбором точки Ло можно сделать алгебраи­ ческую сумму площадей В0С8 + В±ЕВ — DRS, равной нулю.

Для этого точка Ло выбирается в центре тяжести площади, определенной на глаз.

В этом случае площадь Q определяется простой формулой:

Q = АВ-ВдВ^

Приготовленный в мастерской планиметр должен быть прове­ рен передвижением острия по прямой. При этом движении лезвие

120

топорика, установленное на прямой, не должно с нее сходить. Не­ обходимо практиковаться в определении площади при помощи пла­ ниметра-топорика на вычерченных фигурах известной площади (круга, прямоугольника, квадрата, треугольника и т. д.), доби­ ваясь погрешности, не превышающей 1—2%. Для практики выбора начальной точки внутри-контура полезно подкладывать копиро­ вальную бумагу под лезвие топорика, чтобы проследить путь лез­ вия, и для определения точности сравнить обведенные положитель­ ные и отрицательные площади. После получения необходимого навыка для определения площади достаточно знать длину пла­ ниметра и положение лезвия топорика в начальный и конечный моменты. Для этого в эти моменты слегка нажимают на лезвие топорика и линейкой измеряют расстояние между оттисками на бумаге. Для уточнения результата обвод делают два или три раза, выбирая разные начальные положения лезвия топорика, и вычисляют среднюю величину площади.

Теория полярного планиметра и пла­ ниметра-топорика представляет пре­ красный материал для работы математи­ ческого кружка в IX и X классах сред­ ней школы.

§ 27. Копирование планов

Копирование планов производится без изменения масштаба или с измене­ нием масштаба.

Копирование плана без изменения масштаба производится следующим об­ разом.

1) Под план подкладывается лист бу­ маги и все характерные точки плана пере­ калываются иглой или острием циркуля. После этого линии плана обводятся карандашом. Способ не применяется,

если план является ценным документом. 2) На план накладывается прозрач­ ная калька (навощенное полотно или бу­ мага), и все линии, которые видны через прозрачную кальку, пользуясь, где это возможно, линейкой, перечерчиваются. 3) Все углы контура строятся при помощи циркуля и линейки, и все сторо-

ны откладываются измерительным циркулем.

Черт. 110 Пропорциональный

циркуль

4) Пользуясь копией на кальке, можно получить несколько копий при помощи копировальной бумаги или при помощи свето­ копирования.

121

Копирование плана с изменением масштаба выполняется при помощи пропорционального циркуля или пантографа.

1) Пропорциональный циркуль состоит из двух ножек (черт. 110), скрепленных между собой винтом, двигающимся в прорезях обеих ножек. На ножках имеются деления, позволяющие установить винт таким образом, чтобы расстояния от винта до одних концов ножек были в определенном отношении к расстояниям до других концов ножек. Тогда для увеличения копии расстояния на ориги­ нале измеряются короткими концами пропорционального циркуля, откладывают их на копии, пользуясь длинными концами циркуля.

Черт. 111. Технический пантограф

Все углы чертятся при помощи циркуля и линейки построением угла, равного данному.

2) Теория пантографа описывается во всех учебниках геометрии. На чертеже 111 изображен технический пантограф, применяющийся в производстве.

§ 28. Деление площадей

Хозяйственные соображения часто требуют разделения земель­ ного массива по плану и в натуре на части заданной площади для выделения участков для строительства спортивных площадок, делянок для опытных посадок, для огородов, садов и прочих целей. В задании для составления проекта необходимо указать условия, которым должны удовлетворять выделяемые участки по их форме и площади. Проект разделения составляется на плане и затем пе­ реносится на местность. При этом на плане определяются все рас­ стояния по границам плана до пересечения с границами новых участков. В случае если новые границы, проходящие внутри мас­ сива, имеют вид ломаных линий, необходимо для переноса их в на­ туру не только определять длины отдельных звеньев, но и азиму­ ты их направлений.

Каждая задача может быть решена графически и аналитически. При этом чаще всего встречаются два случая, когда линия разде­

122

ления проходит через заданную точку или когда опа параллельна заданному направлению. Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1) Пусть прямой, выходящей из точки А (черт. 112), требуется отделить от площади ABCDEF площадь S, несколько большую пло­ щади АВ CD, равной Si. Определяем разницу S и Sv Эту разницу не­ обходимо прибавить к площади ABCD в виде треугольника, одной стороной которого является сторона AD и другая сторона распо-

ложена по DE. Выбирая за основание этого треугольника сторо- 2/5_ 5 )

ну AD, вычисляем высоту h — Д------14.Восставляем в точке D

AD

основания AD перпенди­

куляр DM = /г и через точ­

ку М проводим прямую ML,

параллельную AD. Точка L будет третьей вершиной искомого треугольника. Или, считая вершиной ис­ комого треугольника точку А, проводим его высоту А К и вычисляем длину основа­ ния по высоте и площади:

L>L = Таково гра-

фическое решение задачи. Аналитически можно сразу рассчитать длину стороны

DL. Для этого вычисляют по плану площадь треугольника ADE. Пусть она равна S2.

Тогда:

. S2	_ DE	и DL=DE	S,
S-St	~ DL
2) Пусть от массива ABCDEF (черт.			113) требуется отрезать

в правой стороне к востоку участок определенной площади S при помощи прямой, параллельной DE. Проводим на глаз прямую L/C, параллельную DE и отсекающую примерно заданную площадь. Вы­ числяем площадь KLDEF. Положим, что она равна Sx и меньше за­ данной. Разность площадей S—Slt которую надо добавить влево от прямой KL, рассматриваем приближенно как параллелограмм с

5_ 5		Откладывая
основанием ZCL и вычисляем его высоту h = ----- -•
вычисленную высоту перпендикулярно к L/C,	КА
	получаем искомую
приближенную фигуру MNDEF. Площадь ее	необходимо подсчи­

тать, чтобы выяснить, насколько она отличается от задания. В случае значительного расхождения прямая MN может быть снова пере­ двинута в положение PQ, и, рассматривая четырехугольник Рф/МАкак параллелограмм, вычисляем его высоту по площади и основанию MN. Второе приближение будет значительно точнее.

123

Для аналитического решения задачи (черт. 113) через точки F и С проводят прямые, параллельные заданному направлению, и ставят вопрос о разделении трапеции CHFR на части прямой, параллельной основаниям. Для этого находят точку О пересече­ ния непараллельных сторон трапеции и сравнивают площади по­ добных треугольников PQO и FHO:

пл. PQO _ QO2 _ РО2

пл. FHO НО2 ~ FO2

Черт. 113

Отсюда:

QO=HO\/™- pQ°	и Р0 = FOlfпл- P(j° .
V пл. FHO	Г пл. FHO

Более сложные задачи решают совместным применением ука­ занных выше приемов. Каждый план, составленный в школе на основании данных съемки, может быть использован для решения задач на деление площадей.

Глава VII

СЪЕМКИ ПРИ ПОМОЩИ МЕНЗУЛЫ

§ 29. Мензула и работа с ней

Работа с большинством геодезических инструментов состоит из двух частей: полевой и домашней. В поле производятся изме­ рения, которые заносятся в журнал съемки. Дома результаты поле­ вой съемки обрабатываются и на основании их вычерчивается план местности. К таким типам инструментов относятся эккер и угло­ измерительные инструменты. Однако существуют углоначертатель­ ные инструменты, при работе с которыми обе операции производятся одновременно в поле, и в результате сразу на месте получается план участка, который в дальнейшем нуждается только в отделке. Та­ ким инструментом является мензула.

Мензула (по-латыни mensula — столик) представляет собой квадратную доску, закрепленную на штативе.

Для визирования на местные предметы употребляется алидада с диоптрами.

Пластинки диоптров прикреплены таким образом, что щель глазного диоптра и волосок предметного лежат в одной вертикаль­ ной плоскости с краем линейки или в плоскости, параллельной это­ му краю.

При наведении алидады на какой-либо предмет, например на стоящую в отдалении веху, алидаду поворачивают таким образом, чтобы при визировании в глазной диоптр волосок предметного диоптра покрывал веху.

В производственной работе вместо алидады применяется кипре­

гель (черт. 114),	состоящий	из металлической	линейки	и трубы
с вертикальным	кругом,	укрепляемой на	колонке,	которая

в свою очередь прикрепляется к линейке. Вертикальный круг позволяет определить углы в вертикальной плоскости и высоты характерных точек местности.

Для ориентировки мензулы употребляется компас или специ­ альная так называемая ориентир-буссоль.

125

Ориентир-буссоль состоит из прямоугольного ящика, закрывае­ мого стеклянной крышкой. Дуги с градусными делениями прикреп­ ляются у коротких сторон. В центре дуг помещается шпиль, на ко­ торый подвешивается магнитная стрелка. Край буссоли должен быть параллелен диаметру, проходящему через нуль.

Черт. 114. Кипрегель

Чтобы ориентировать мензулу по магнитному меридиану, на­ черченному на планшете, прикладывают к этой линии край буссоли и поворачивают планшет до тех пор, пока стрелка не совпадет

Черт. 115. Школьная мензула

с диаметром. Горизонтальность верхней поверхности мензулы проверяется уровнем.

Конструкции мензул, употребляющихся в производстве, до­ вольно сложны. Для школьного употребления мензулу можно

126

сделать проще (черт. 115). При этом главное внимание должно быть

обращено на то, чтобы верхняя	доска мензулы, называемая план­
шетом (от французского слова	planchette — дощечка), представ­
ляла плоскую поверхность, не	коробилась и была устойчива на

штативе во время работы. Для этого планшет мензулы хорошо сде­ лать из нескольких слоев тонких досок мягкой породы дерева (ли­ пы, осины), склеенных так, чтобы направления волокон двух приле­ гающих досок были взаимно перпендикулярны. Снизу к склеенным доскам полезно врезать и приклеить или привернуть шурупами попереч­ ные планки. Штатив для мензулы необходимо сделать в виде тренож­ ника, так как прикрепление план­ шета к колышку не даст устойчи­ вости, а устойчивость является од­ ним из главных условий для полу­ чения удовлетворительного резуль­

тата при работе с мензулой. При
показе	приемов работы		с	мензу­
лой в классной обстановке и при
работе около школы можно в каче­
стве мензулы использовать высокий
табурет или маленький столик с
поставленным		на нем	табуретом
(черт. 116). При грубых работах
алидаду с диоптрами может заме­
нить линейка треугольного сечения
или обыкновенная масштабная ли­
нейка с воткнутыми в концах ее
булавками для		визирования.
На мензуле аккуратно прикре­
пляется или приклеивается по кра­
ям лист чертежной бумаги,				на ко­
тором	непосредственно		вычерчива­
ются все линии плана,			соответст­		Черт. 116

вующие линиям на местности.

Отсюда и самый лист плана также часто называется планшетом. Основной прием работы с мензулой заключается в графическом получении угла между двумя горизонтальными направлениями на местности, являющимися проекциями на горизонтальную плос­ кость двух пересекающихся вертикальных плоскостей. Этот основ­ ной прием необходимо показать учащимся в самом начале курса геометрии параллельно с измерениями угла при помощи транспор­ тира задолго до использования мензулы. С этой целью на любом столе кнопками закрепляется лист бумаги, выбирается на нем точ­ ка (вершина угла) и в нее вкалывается булавка. По направлениям сторон угла на стенах выбираются метки или выставляются вехи. Прикладывая к вершине угла, обозначенного булавкой, линейку,

127

направляют край линейки вдоль стороны угла на выбранную метку и, придерживая линейку рукой, карандашом прочерчивают напра­ вление одной стороны угла. Также прочерчивается направление другой стороны угла.

Съемка при помощи мензулы производится тремя способами: полярным с одного пункта, засечками с двух пунктов и обходом по пограничным линиям.

§ 30. Способы съемки мензулой

Полярный способ. Мензула устанавливается внутри участка в точке, из которой видны направления на все вершины участка. При установке мензулы необходимо позаботиться, чтобы планшет был горизонтален. Проверка горизонтальности производится при помощи уровня, который ставится на х——-————мензулу в двух взаимно перпендикуляр-

|	------------	..—J	НЬ1Х направлениях. Обычно планшет по-
ч.			ворачивают	таким образом,			чтобы	на­
			правление меридиана			совпадало с		пра­
			вым и левым краями планшета и чтобы
			вверху был север и внизу юг. На листе
			бумаги, прикрепленном на мензуле, вы­
			бирается точка установки мензулы таким
			образом, чтобы в определенном масштабе
			план всего участка уместился на					дан­
			ном листе. Чтобы алидада при визиро­
			вании не сдвигалась с выбранной точки,
			в нее вкалывается булавка.				Приклады­
		.,	вая алидаду к булавке, визируют на
			каждую вершину участка и, не сдвигая
			положение мензулы, прочерчивают полД
			ценные направления.
черт. 117. Вока с отвесом			Расстояния до визированных пунктов
			измеряются	от	точки	на	поверхности
			земли, находящейся на одной вертикаль­
ной	линии с	точкой стояния мензулы,			выбранной		на планшете.

Для нахождения основания указанной вертикальной линии упот­ ребляют специальную вилку с отвесом. Вилка состоит из двух планок (черт. 117), скрепленных между собой. Верхняя планка имеет носик, прикладывающийся к точке стояния мензулы, вы­ бранной на чертеже. К нижней планке, как раз под нссиксм верх­ ней, прикреплен отвес.

Отмечая в масштабе длину измеренных линий от точки уста­ новки мензулы до всех вершин участка, мы получаем на плане по­ ложение вершин. Соединяя отмеченные вершины последовательно прямыми линиями, мы будем иметь план участка, представляющий фигуру, гомотетичную с фигурой самого участка, с центром гомо­ тетии в точке стояния мензулы.

128