книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

§ 11. Частные задачи, решаемые при помощи эккера

^Построение квадратов и прямоугольников на поверхности земли

Естественно, полученные знания учащихся в проведении пер­ пендикуляров при помощи эккера применить прежде всего к по­ строению квадратов и прямоугольников.

В качестве примеров таких построений могут служить построе­ ния квадратов и прямоугольников, имеющих площадь в один гек­ тар или ар, разбивка площадки для футбола или волейбола, разметка мест для посадки деревьев и кустарников при заданных рас­ стояниях между рядами и в рядах и т. д. Во всех этих случаях целе­ сообразно начинать с провешивания длинной стороны прямоуго­ льника в соответствии с условиями местности и проектными зада­ ниями. Затем устанавливаются концы основной стороны. В этих концах восставляются перпендикуляры и на них откладываются длины боковых сторон. Прямоугольник построен, но его надо про­ верить. В качестве проверки рекомендуется при помощи эккера: 1) проверить два прямых угла, в которых при построении эккер не устанавливается; 2) проверить равенство диагоналей прямоуголь­ ника и их расстояний от точки пересечения диагоналей до вершин. Это является хорошей проверкой и углубляет геометрическую сто­ рону вопроса.

2) Провешивание недоступных прямых при помощи эккера

В отдельных случаях провешивание линии и ее измерение может быть сделано при помощи эккера, хотя часть линии недоступна.

Положим, на пути провешиваемой линии имеется препятствие, из-за которого продолжение линии не видно (черт. 49). Тогда, вос-

Черт. 49

ставляя из какой-либо точки провешенного отрезка АС перпенди­ куляр, можно обойти препятствие и продолжить линию в том же направлении. На чертеже углы С, D, Е и F — прямые и CD = EF. В этом случае линия FB является продолжением линии АС.

Другой прием применяется иногда в лесу, когда имеются конеч­ ные точки отрезка, и определить промежуточные точки, принадле­ жащие этому отрезку, невозможно непосредственным визированием. В этом случае предварительно провешивают вспомогательную пря-

4 М. А. Знаменский •

49

Мую приблизительно в искомом направлении, а положение отдель­ ных точек прямой, соединяющей конечные точки, определяется вы­ числением следующим образом. Пусть (черт. 50) требуется устано­ вить ряд точек, принадлежащих прямой между пунктом А и В, и непосредственное провешивание невозможно из-за препятствий. Выбирается вспомогательная прямая АС, возможная для провеши­ вания. Из точки В на прямую АС опускается при помощи эккера перпендикуляр BD. Затем в ряде точек прямой АС восставляют перпендикуляры, например EN и FM. Положение точек М и N, лежащих на этих перпендикулярах и принадлежащих искомой пря­ мой АВ, определяется из пропорций:

AD : АЕ = BD : NE ;

AD : AF = BD : MF.

Отсюда

N£= -D'AE. ;

AD

AD

Черт. 50

Из аналогичной пропорции может быть определено и расстояние АВ : АВ = AD'AM .

AF

Иногда требуется провешиванием определить точки прямой, проходящей через данную точку, и точку пересечения двух пря­ мых, причем это пересечение не видно и недоступно. Пусть (черт. 51) даны две прямые, опре­ деленные точками А и В,

С и D, и требуется про­ вешиванием найти пря­ мую, определяемую точ­ кой М и точкой О пере­ сечения данных прямых. Из точки М опускают перпендикуляры MN и МР на прямые АВ и CD. Точку М можно рассматривать как точ­ ку пересечения высот треугольника OEF, и при наличии точки пе­

ресечения двух высот и стороны EF положение третьей высоты ОН, проходящей через вершину 0, определяется опусканием пер­ пендикуляра МН из точки М на прямую EF. Прямая МН будет проходить через точку О.

50

Этот же чертеж может служить пояснением другого случая, ког­ да требуется через данную точку О провести прямую, параллельную прямой, определенной наблюдаемыми, но недоступными точками Е и F. В этом случае из точек Е и Е опускают перпендикуляры FN и РЕ на прямые ОЕ и OF, находят точку их пересечения М. Точка­ ми О и М определяется положение прямой, перпендикулярной EF. Поставив в точке О эккер, провешивают прямую, перпендикуляр­ ную прямой ОМ. Эта прямая будет параллельна прямой EF.

К работам с эккером относится также определение недоступных расстояний и графическое получение угла между двумя линиями на местности.

3) Определение расстояния до недоступ­ ной точки

1-й способ. Построение равного треугольника.

Положим, необходимо найти ширину реки и на противополож­ ном берегу замечена какая-либо точка (дерево, кустик и т. д.), рас­ стояние до которой предположено определить. Тогда на берегу, на котором находится производящий работу, ставится эккер таким об­ разом, чтобы одна его визирная линия была направлена на заме­ ченный предмет на другом берегу, а другая вдоль берега (черт. 52).

Последнюю линию (ВС) берут приблизительно раза в два больше определенной на глаз ширины реки, что­ бы полученные прямоуголь­ ные треугольники были близки к равнобедренным треугольникам, и отмечают вехами начало, середину и конец (точки В, Е и С). При

выборе	этой линии	необ­
ходимо позаботиться,		чтобы
она целиком была располо­
жена на берегу. Для этого
иногда	приходится	точку
В брать, немного отступя			Черт. 52
от берега.

Перенося эккер в конечную точку С, устанавливают одну из ви­ зирных линий по направлению на точку В и выставляют веху по перпендикулярному направлению CF. Теперь остается найти точку пересечения линии CF и линии АЕ (в точке Е стоит веха). Для это­ го идут по линии CF до точки D, из которой веха Е видна как раз против предмета А (покрывает его) на другом берегу. Как видно из чертежа, искомое расстояние АВ равно расстоянию CD, так как по­ лучилось два равных прямоугольных треугольника. При проведе-

4*

51

нии этой работы в пятом классе нет надобности основываться на равенстве треугольников. Все дело может быть сведено к вычерчи­ ванию работы в той последовательности, в которой она проводи­ лась на местности. Тогда непосредственное измерение на чертеже покажет, что длина линии CF равна длине линии АВ и определе­ ние неизвестной длины линии АВ может быть заменено измерением длины доступной линии CF.

2-й способ. Построение подобного треугольника.

В этом случае точку для первой установки эккера выбирают в

1 1

некотором отдалении от берега реки (черт. 53), например на

приблизительной ширины реки. Провешивая линию BD, перпенди­ кулярную направлению на другой берег, выбирают на ней точки С и D таким образом, чтобы длина линии CD составляла определен­

ную часть длины линии BD (например, т—~		). Пеоенося эккер
О	lv	А

Черт. 53

в точку С, восставляют линию, перпендикулярную BD, и находят на этой линии точку Е, лежащую на прямой AD. Очевидно, полу­ чаются два подобных треугольника, ABD и ECD, и если BD^n-CD, то АВ = п-СЕ. Опять графическое вычерчивание последова­ тельных стадий поможет не только более отчетливому представле­ нию, но и даст возможность на основании измерения по чертежу сделать соответствующие выводы, не пользуясь знанием подобия треугольников

Конечно, необходимо иметь в виду, что точность этого способа ' измерения будет значительно ниже, чем в предыдущем случае, так как к погрешностям построения прямого угла эккером здесь при - бавятся погрешности при измерении длин.

3-й способ. Построение угла в 45°.

Неудобство предыдущих способов состоит в том, что основная идея их, заключающаяся в построении неизвестного расстояния на этом берегу в натуральную величину или в уменьшенном виде, не всегда осуществима по характеру местности. Положим, в расстоя-

52

нии нескольких метров от берега начинается высокий обрыв или берег порос лесом, не допускающим визирования. В этих случаях можно упростить, задачу, пользуясь построением угла в 45°. По­ следнее может быть достигнуто при помощи самодельного эккера, если визиры будут находиться на равном расстоянии от пересечения визирных линий. Тогда (черт. 54) эккер даст возможность построить угол не только в 90°, но и в 45°.

Черт. 54

Процесс работы будет заключаться в следующем. На берегу провешивается линия, перпендикулярная направлению на недоступ­ ную точку на другом берегу. На провешенной линии ВС (черт. 55)

выбирается точка Сна расстоянии,			риблизительно равном шири-
не реки.	Устанавливая в точке С		/?
эккер и направляя одну визирную
линию на точку В, смотрят наточ­
ку А через два соседних визира,
дающих с предыдущим направле­
нием угол в 45°. Если точка А ока­
зывается лежащей на направлении
двух соседних визиров, расстояние
АВ равно ВС. В противном случае
точку С	приходится передвигать
взад или вперед по линии ВС,		по­
ка не будет достигнуто одновре-
менного совпадения с двумя визи-			Черт. 55.
рами направлений ВС и АС.		Во­

прос сводится к нахождению прямоугольного равнобедренного треугольника. Вычерчивание последовательного хода работ опять значительно помогает его уяснению.

4-й способ. Основан на зависимости между элементами прямо­ угольного треугольника.

В качестве интересного приложения зависимостей между высо­ той, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, и отрезками

53

гипотенузы или между катетом, гипотенузой и прилежащим отрез­ ком гипотенузы может быть использован следующий способ.

Вдоль берега реки провешивается линия ВС произвольной дли­ ны, перпендикулярная к направлению на точку А, находящуюся на другом берегу (черт. 56).

В точке С устанавливают эккер таким образом,			чтобы одна из
визирных линий была направлена на точку Д,		и провешивают пер-
пендикулярное				направле-
ние CD. Точка D находится
как	пересечение			направле-
ний АВ и CD.
Тогда:
, D	ВС2			. n	DC2
АВ = —			или	AD	— —.
		BD			BD
Используя				построение
точек, симметричных дан­
ным,		можно		определить
расстояние			между		недо­
ступными			точками		следу­
ющим		образом.		Положим
(черт. 57), требуется					опре­
делить		расстояние			между

точками А и В, каждая из которых доступна, но непосредственное измерение невозможно из-за наличия препятствий между ними.

Выбираем прямую BF таким образом, чтобы было удобно опу­ стить из точек А и В перпендикуляры AM и BN. Продолжая эти перпендикуляры на расстояния МС = AM и ND = BN, получаем точки С и D, симметричные точкам Д и В относительно прямой EF. Отсюда АВ = CD.

54

4)Графическое определение величины

угл а эккеро м

Пользуясь эккером, можно графически перенести на бумагу угол, равный углу на местности. Для этого отмеряют от вершины угла произвольный отрезок АЕ, из точки Е восставляют перпенди­ куляр ED и измеряют длину этого перпендикуляра (черт. 58). Оче­ видно, прямоугольный треугольник

ADE может быть построен по двум	g
катетам и, следовательно,... получен	\
графически угол DAE.	\

Черт. 58

Черт. 59

Если угол тупой, отмеряют от вершины отрезок. АЕ на продол­ жении одной из сторон и, строя таким же образом треугольник ADE, получают угол, смежный углу ВАС (черт. 59).

Полученный на чертеже угол может быть измерен транспорти­ ром и его величина определена в градусах.

В старших классах величину угла в градусной мере можно ре­ комендовать определять по таблицам натуральных значений триго­ нометрических функций.

§ 12. Съемка плана эккером

Съемка эккером плана участка ведется различными способами в зависимости от характера местности. Во время производства ра­ боты в поле в тетради составляется от руки набросок (абрис) плана и на нем проводятся все измеряемые линии и проставляются их дли­ ны. Кроме абриса, можно вести журнал съемки по определенной схе­ ме. Схема журнала будет дана дальше, после описания работы. На основании данных полевой съемки дома составляется план и произ­ водятся необходимые расчеты, .

Изложим несколько способов съемки плана эккером.

1-й с п о с о б. Внутри участка, имеющего форму неправильного многоугольника, провешивается основная линия, называемая ма­ гистралью (черт. 60). Магистраль выбирается таким образом, чтобы идя по ней, можно было вправо и влево видеть все вершины уча­ стка. Магистраль не должна обязательно проходить через вершины

55

участка. Она может пересекать стороны. Работа сводится к восставлению при помощи эккера перпендикуляров ко всем вершинам участка из соответствующих точек установки эккера. Для этого, идя по магистрали, останавливаются в точке, где направление на ближайшую вершину вправо или влево составляет прямой угол с

магистралью. Сначала эту точку находят на глаз, затем прикиды­ вают при помощи эккера, держа последний в руках, и только после этого устанавливают эккер на подставке. При этом приходится пе­ редвигать эккер вперед и назад по магистрали, пока не будет най­ дена правильная точка. Так же поступают во всех остальных точ­ ках. При каждой остановке эккера производят два линейных изме­

рения: расстояние по магистрали до подошвы перпендикуляра от начальной точки и расстояние в сторону от магистрали до верши­ ны участка. Полученные длины заносятся в абрис или журнал. Вычерчивание плана на основании данных полевой съемки полно­ стью соответствует последовательности работы на местности. На листе бумаги проводится магистраль, на ней в масштабе отмечают­ ся точки стояния эккера, восставляются перпендикуляры и в мас­ штабе откладываются их длины. Обводя полученные вершины уча­ стка прямыми линиями, мы получим план участка. Основная идея производства работы с эккером по этому способу сводится к раз­ бивке участка на прямоугольные треугольники с известными кате­ тами и трапеции с известными высотами и параллельными сторо­ нами.

В случае если какая-либо из сторон участка имеет вид кривой линии, вдоль этой кривой линии провешивается прямая, положе­

56

ние которой может быть нанесено на план по предыдущему. Поло­ жение же отдельных точек кривой линии определяется длинами перпендикуляров, восставленных в ряде точек прямой линии (черт. 61). Обыкновенно эти перпендикуляры берутся через равные расстояния, например через каждую длину рулетки, с дополни­ тельными измерениями в местах резких изгибов кривой. Очевидно, чем чаще будут взяты перпендикуляры, тем работа получится точ­ нее. Иногда, точно измеряя прямую линию, провешенную вдоль кривой, лентой или рулеткой, длины перпендикуляров измеряют­ ся шагами, беря направление на глаз, без эккера.

Черт. 62

В отдельных случаях проведенная магистраль не дает возмож­ ности восставить перпендикуляры ко всем вершинам, а выбирать другую магистраль по каким-либо причинам неудобно. Допустим, участок ABCDEF (черт. 62) имеет такую форму, что, выбрав за магистраль линию АЕ, мы не имеем возможности опустить перпен­ дикуляр на магистраль из точки С, потому что точка С или не вид­ на (по стороне ED поставлен сплошной забор), или расстояние до точки С не может быть измерено по направлению перпендикуляра. Тогда, восставив перпендикуляры до пересечения со стороной ВС из двух любых точек магистрали G и L, мы получим две точки ли­ нии ВС, Н и К, и, следовательно, будем в состоянии провести на плане направление линии ВС. Точка С получится непосредствен­ ным измерением расстояния ВС (в случае,если положение точки В было определено, достаточно получить одну из точек Н или К).

Способ съемки плана эккером при помощи проведения магист­ рали внутри участка применяется тогда, когда участок проходим внутри и когда участок имеет удлиненную и узкую форму, при ко­ торой длины перпендикуляров невелики.

2-й способ. Вообще говоря, магистраль может быть прове­ дена в каком угодно направлении, даже и вне участка. Таким обра­ зом, если рядом с участком имеется намеченная на местности пр я-

мая линия (дорога и пр.) или одна из сторон участка является этой прямой линией, ее целесообразно выбрать за магистраль (черт. 63).

В случае если участок не допускает прохода внутри его, строят ряд магистралей, пересекающихся под прямым углом вне участка. Участок как бы заключается в прямоугольную раму (черт. 64).

Черт. 63

Так поступают и в том случае, когда участок с криволинейным контуром непроходим внутри (озеро, болото и пр., черт. 65).

3-й способ. Работа ведется обходом по пограничным ли­ ниям. Длина каждой линии измеряется на местности и наносится на план в соответствующем масштабе. Величина углов участка полу­ чается графически при помощи эккера, как было указано выше. Об­

Черт. 65

ход ведется по пограничным линиям в направлении движения часо­ вой стрелки так, что участок все время находится вправо от про­ изводящего работу (черт. 66).

При вычерчивании плана на основании данных полевой съемки обходом последняя точка должна была бы совпадать с первой. Вви­ ду неточности в измерениях в поле и неточностей в построении на плане этого совпадения не получится. Образуется невязка. В пер­ вых работах невязка может не приниматься во внимание.

В этих случаях угол в последней вершине графически не нано­ сится, а последняя вершина непосредственно соединяется с первой

58