книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

зовала две специальные экспедиции. Одна из них вела работу в Перу, в Южной Америке, а вторая в Лапландии. Одновременно были произведены градусные измерения во Франции по уточне­ нию результатов, полученных Кассини.

Результаты, полученные экспедициями, показали, что длина одного градуса дуги земного меридиана у экватора (Перу) мень­ ше, чем длина одного градуса в средних широтах (Франция), и эта последняя меньше, чем длина одного градуса у полярного круга.

Этим подтвердились теоретические предложения Ньютона

иГюйгенса, и было установлено, что радиус кривизны дуги зем­ ного меридиана постепенно увеличивается от экватора к полюсу

ичто Земля является не шаром, а сфероидом, полученным от вра­

щения эллипса вокруг малой оси.

ВXIX и XX веках широко проводились градусные измерения

вмеридиональном направлении и вдоль земных параллелей как за границей, так и на территории нашей страны.

Так, в половине прошлого столетия под руководством дирек­ тора Пулковской обсерватории В. Я. Струве в пределах нашей страны и скандинавскими геодезистами вне ее была измерена гро­ мадная дуга меридиана около 25°20', простирающаяся от устья Дуная до берегов Северного Ледовитого океана. Позднее по па­ раллелям 52° и 48° северной широты градусные измерения произ­ водились по дугам протяженности от берегов Атлантического океана до Урала.

Врезультате многочисленных градусных измерений была ус­ тановлена более точная величина сжатия в направлении полюсов.

Таким образом, в первом приближении Земля рассматривает­ ся как шар. Во втором приближении — это эллипсоид вращения

(сфероид), сжатый у полюсов.

В основу геодезических и картографических работ в СССР в настоящее время положены размеры Земли как эллипсоида вра­ щения, определенные советским геодезистом Ф. Н. Красовским. Эти размеры следующие:

Большая полуось........................	6 378 245 м
Полярное сжатие...................................................	1 : 298,3

Физическая поверхность материков с их крупными и мелкими неровностями не может служить основой для более точного опре­ деления формы и размеров Земли в целом. В то же время боль­ шую часть поверхности занимают океаны и моря. Поверхность воды в океанах, если не принимать во внимание приливы и отли­ вы, течения и другие передвижения водных масс, находится в со­ стоянии гидростатического равновесия и образует так называ­ емую уровенную поверхность. Поэтому за более точную форму поверхности Земли в целом принимают поверхность, совпадаю­ щую в океанах с поверхностью воды в состоянии покоя, продол­ женную под материками так, чтобы она везде пересекала направ­

9

ление отвесной линии под прямым углом. Указанная поверхность называется геоидом. Форма геоида не имеет аналитического вы­ ражения и поэтому при расчетах пользуются параметрами при­ нятого эллипсоида.

Никакая часть поверхности шара или эллипсоида вообще не может быть развернута на плоскости без складок и разрывов. Тем более этого нельзя сделать по отношению к поверхности Зем­ ли, изобилующей всякого рода неровностями.

Картой называется уменьшенное изображение поверхности Земли или ее части на плоском чертеже, позволяющем судить о расположении, форме и величине изображаемых объектов. В силу невозможности развернуть на плоскости поверхность эллипсо­ ида вращения без складок и разрывов всякая карта имеет эле­ менты условности в зависимости от ее назначения и выбора про­ екции. Поэтому изображение на карте получается не с одинако­ вым уменьшением во всех ее частях. Там, где необходимо избе­ жать разрывов, длины линий несколько увеличиваются, а там, где надо избежать складок, длины линий несколько сокращают­ ся. Таким образом, масштаб, на карте не является постоянным во всех ее частях. При небольших размерах участка можно не при­

нимать во внимание кривизны Зем­ ли. В этом случае изображение го­ ризонтальной проекции на бумаге

	в уменьшенном виде будет назы­
	ваться планом участка. Особен­
	ностью плана является постоянство
	масштаба во всех частях плана.
	Ошибка, допускаемая при состав­
	лении плана, когда не приним|ается
	во внимание кривизна Земли, может
Черт. 2	быть вычислена. Положим, дуга АВ
	(черт. 2) представляет часть разреза

земной поверхности, принимаемой за шаровую. Заменяя Длину дуги АВ отрезком касательной АС, мы допускаем ошибку, рав­ ную разности АС—АВ:

'уАВ = В^ АС = Rtgcp.

Разлагая tgcp в ряд и ограничиваясь двумя членами разложения, имеем:

tg(p=<p+ 1ср3.

О

Отсюда:

	АС —о АВ = -<р3.
	з
q	'.АВ
Заменяя <р	через —-—, получаем:
	АС-^АВ-^’

ю

Если предположить, что погрешность не должна превышать на плане 0,1 мм, что при масштабе 1:1000 соответствует на мест­ ности 0,1 м = 0,0001 км, то из последнего равенства может быть

вычислена длина АВ:

з___ _______ _

о АВ = ]/3 • 0,0001 R^ 23 км.

Таким образом, при измерении на поверхности Земли линий длиной не более 20 км при точных работах кривизна Земли мо­ жет не приниматься во внимание.

При изменении масштаба эта длина, очевидно, будет изме­ няться. Так, при масштабе 1 :25000 длина 0,1 мм на плане будет соответствовать на местности 2,5 м= 0,0025 км. Тогда

з

АВ = у з- 0,0025 R? 67 км.

Предметы на картах и планах изображаются условными зна­ ками, которые бывают двух родов: контурные и внемасштабные.

Контурными условными знаками называются те знаки, которыми покрывается вся площадь, занятая, например, лесом, пашней или болотом (черт. 3).

В н е м а с ш т а б н ы м и условными знаками называются та­ кие, которые указывают только положение данного предмета без его размеров; например, когда положение ветряной мельницы изображается значком-, представляющим маленький схематиче­ ский чертеж мельницы. Кроме того, планы и карты могут раскра­ шиваться условными красками.

§ 4. Масштабы. Топографические карты

Откладывая на планах и картах измеренные длины, необхо­ димо пользоваться масштабом.

Масштабы бывают ч и с л ен н ы е и г р а ф и ч е с ки е. Чис­ ленный масштаб представляет отношение длины линии на плане к длине соответствующей линии на местности и изображается в

1

виде дроби —. . Графический масштаб может быть дан в виде

линейного, поперечного и ряда вспомогательных масштабов.

В школе чрезвычайно важно приучить учащихся выбирать масштабы, быстро переходить от численного масштаба к графи­ ческому, и наоборот, а также, пользуясь масштабом, определять длины и площади участков на планах.

Для построения линейного масштаба на прямой откладывают­ ся равные отрезки, являющиеся основанием масштаба. В метри­ ческих масштабах за основание берется обычно один или два сантиметра (черт. 4). Против каждого деления линейного мас­ штаба проставляются числа, соответствующие расстоянию на местности. Таким образом, с математической точки зрения ли-

11

Железная дорога		*	Шоссе
Улучшенная грунто»			Просёлочная дорога
вая дорога
Полевая дорога		_______________	Пешеходная тропа
Деревянные и	каменные
строения
Мост и	труба

Черт. 3. Условные знаки.

нейный масштаб представляет функциональную шкалу у=— х,

причем на шкале откладываются расстояния на плане у, а над­ писи соответствуют расстояниям на местности х. На это обстоя­ тельство следует обратить внимание в старших классах при по­ строении более сложной функциональной логарифмической шкалы.

Цифра нуль на линейном масштабе ставится в конце первого отрезка основания масштаба, и он делится на десять частей. Над­ пись над линейным масштабом делается, например, так: 100 м в 1 см или 1 : 10 000. Для измерения по масштабу ножки измери­ тельного циркуля с двумя острыми концами прикладываются та­ ким образом, чтобы правая ножка находилась на каком-либо крупном делении, а левая —на мелких делениях первого отрезка.

f'JOODO

МО

о

too

200

300^00______ 509

Черт. 4. Линейный масштаб

Таким образом, ножки циркуля попадают на разные точки, и ну­ левая точка масштаба на бумаге не разнашивается.

Приучая учащихся средней школы переводить метрический

. численный масштаб в линейный и обратно, удобно исходить из миллиметра. Так, например, численный масштаб 1 :10 000 обозна­

чает, что 1 мм на плане соответствует	10 000 мм, т. е. 10 м на
местности или 1 см соответствует 100 м.	Линейный масштаб 5 м
в 1 см соответствует 500 мм в 1 мм и равен 1:500.

Выбор масштаба определяется погрешностями измерения длин в натуре и максимальным расстоянием, которое может быть взято циркулем с плана, а также размерами листа бумаги, на ко­ тором изображается план данного участка. Пределом отсчета рас­ стояний на бумаге при помощи циркуля с двумя остриями счита­ ется 0,1 мм, так как при разрешающей способности глаза прибли­ зительно в одну минуту на расстоянии нормального зрения в 250 мм меньшие расстояния не будут различаться. Действитель­ но 250 arc 1' = 250 • 0,00029^0,07 мм 0,1 мм.

Поэтому при выборе, например, масштаба для плана, на кото­ ром можно было бы измерять расстояния начиная с 0,1 м, на пла­ не для расстояния в 0,1 м надо взять 0,1 мм, т. е. выбрать мас­ штаб 1 м в 1 мм, 10 л в 1 см, или 1:1000.

Имея в виду указанный предел точности отсчета расстояний на бумаге, можно некоторые второстепенные расстояния даже при достаточно точных работах определять при помощи измере­ ния шагами или даже на глаз. Действительно, например, при до­ вольно крупном масштабе 1:10000, т. е. 100 м в 1 см, предельная точность масштаба 0,1 мм будет соответствовать 1 м на местнос­ ти. Поэтому все расстояния, меньшие одного метра, могут быть отмечены только приближенно.

13

Предельной точностью масштаба называется длина отрезка на местности, соответствующая наименьшему делению масштаба. Учащиеся V—VII классов средней школы при построении линей­ ного масштаба с основанием в 1 см могут разделить это основа­ ние только на 10 частей. Поэтому предельной точностью масшта­ ба для учащихся этих классов будет длина отрезка на местности, соответствующая длине 1 мм масштаба.

Предельная точность графического масштаба может быть повышена при помощи построения поперечного масштаба, кото­ рый может быть введен в школе после изучения в курсе геомет­ рии раздела о подобии треугольников.

Для построения поперечного масштаба, так же как и для по­ строения линейного масштаба, на прямой откладывают равные отрезки, являющиеся основанием масштаба (черт. 5). В качестве основания масштаба берут один или два сантиметра. Во всех

Черт. 5. Поперечный масштаб

точках отложенных отрезков восставляют перпендикуляры и на двух крайних перпендикулярах откладывают по десяти произ­ вольной длины равных отрезков, раза в два больших 0,1 основа­ ния масштаба. Через концы отрезков на крайних перпендикуля­ рах проводят 10 параллельных прямых. Левое основание мас­ штаба делят на 10 равных частей и конец первого малого ртрезка соединяют с левым концом верхнего основания, а через концы других малых отрезков проводят прямые, параллельные получен­ ной наклонной. На построенном таким образо’м масштабе подпи­ сывают против концов оснований числа, соответствующие рас­ стояниям на местности. В технике употребляют обычно масштаб с основанием в 2 см. На школьных ученических транспортирах внизу нанесен поперечный масштаб с основанием в один санти­ метр.

Пользуются поперечным масштабом следующим образом. Пусть при помощи поперечного масштаба 1:1000, имеющегося на школьном транспортире, требуется отложить 34,7 м. Правую ножку циркуля ставят на деление с обозначением 30 м, левую — на деление левого основания с обозначением 4 м и, постепенно раскрывая циркуль, ведут его ножки вверх по соответствующим линиям (правую ножку по перпендикуляру, левую по наклон­ ной) до тех пор, пока ножки циркуля не окажутся на 7-й парал­ лели. Тогда расстояние между ножками циркуля будет равно 34,7 м в масштабе 1:1000. Аналогичным образом поступают при измерении длины отрезка по плану.

14

Масштаб шагов строится на основании измерения длины шага. Допустим, 100 м равно 140 шагам и желательно построить масштаб

50 м в 1		см, т. е. 1 :	5000.
	.		100		местности;
	1 шаг	соответствует-------м на
		J	140
1ПП			10000						10000	см на плане:
100	шагов соответствуют-------ж на местности или								--------
			140						140.50
			10000	10	,	,4	.	см.
			-------- = — яИ
			140-50	7

Выбирая 1,4 см за основание, получаем масштаб шагов, соот­ ветствующий 50 м в 1 см (1 : 5000). Пользуясь этим масштабом, можно откладывать на плане расстояния, измеренные в шагах. Если же под составленным таким образом масштабом шагов вы­ чертить обычный метрический масштаб (в данном случае 1 : 5000), то при помощи его можно определять расстояния на плане в метрах. Так же строятся вспомогательные масштабы оборотов колеса, мас­ штаб хода лошади (определенным аллюром — шагом или рысью) или масштаб времени.

Всредней школе учащиеся встречаются с линейным масштабом

вкурсе географии V класса. В курсе арифметики после введения понятия отношения они изучают численный масштаб и должны

научиться быстро и уверенно переходить от линейного масштаба к численному, и наоборот, а также выбирать масштаб для построе­ ния чертежей геометрических и технических конструкций и земель­ ных участков. Предельная точность масштаба в этих случаях не будет превышать 1 мм, и нужно воспитывать у учащихся ответст­ венность в измерениях и откладываниях на плане расстояний с этой степенью точности.

Введение поперечного масштаба в старших классах необходимо мотивировать большей точностью измерения на местности и нане­ сения на план. На школьном ученическом транспортире обычно нанесен поперечный масштаб 10 м в 1 см, или 1 : 1000. Пользуясь этим крупным масштабом, можно отмечать на плане расстояния до О', 1 м. Дом размером 9 м X 10 м изобразится на плане прямо­ угольником 9 мм X 10 мм.

В производстве в зависимости от цели, для которой предназна­ чается план, выбирают разные масштабы. Так, планы отдельных зданий обычно выполняются в масштабе 1 : 100 или 1 : 200, при съемках городов для составления планов проездов и улиц 1 : 500, общие планы городов составляются в масштабе 1 : 5000 и 1 : 10 000.

Карты классифицируются по масштабу, содержанию, назна­ чению, охвату территории и другим признакам. По масштабу раз­

личают: 1)		карты	крупных масштабов — 1			: 200 000	и крупнее,
2)	карты	среднего	масштаба — от 1	:	300 000 до		1:1 000 000,
3)	карты мелкого масштаба — мельче			1	: 1	000 000.

15

По содержанию карты бывают общегеографические и специаль­ ные. Общегеографические карты делятся на топографические карты масштаба 1 : 1 000 000 и крупнее и обзорные общегеографические масштаба мельче 1 : 1 000 000. К специальным картам относятся физико-географические (общие физико-географиче­ ские, геологические, почвенные, карты рельефа, ботанические, зоогеографические, геофизические, гидрологические, карты атмо­ сферных явлений), социально-экономические (об­ щие социально-экономические, экономические, политико-админи­ стративные, исторические, населения) и технические (ин­ женерные, землеустроительные, морские, военные и полетные).

По назначению карты делятся на справочные, учебные, военные, полетные, морские и т. д.

.По.объекту территории карты делятся на карты мира, полуша­ рий, материков, океанов, морей, отдельных государств и частей государств.

Карты средних и крупных размеров (масштаба до 1 : 1 000 000 включительно) обычно представляют серию листов одного масштаба, разграниченных между собой линиями меридианов и параллелей.

Листы топографических карт (до 1 : 1 000 000 масштаба) пред­ ставляют собой трапеции, которые в принятой проекции изобра­ жают на плоскости листа поверхность земного сфероида, ограни­ ченную справа и слева двумя меридианами, а сверху и снизу — дву­ мя параллелями. В основу берется лист карты масштаба 1 : 1 000 000 с разницей левого и правого меридианов в 6° по долготе и разницей нижней и верхней параллелей в 4° по широте. Для получения та­ кой карты повер-хность земного сфероида меридианами через 6° делится на 60 сферических двусторонников. В картографии эти двусторонники называются колоннами, а в геодезии — зонами. Каждая колонна и зона имеет свой номер. При этом номера колонн считаются от меридиана 180°, а зоны от нулевого Гринвичского меридиана (в обоих случаях к востоку). Таким образом, номера колонн превышают номера зон на 30. Например, Москва, имеющая 37°37' в. д., расположена в 37 колонне или в 7 зоне (черт. 6). Тер­ ритория СССР размещается в колоннах 34—62 или в зонах 4— 32. Кроме того, поверхность земного сфероида параллелями через 4°, считая от экватора к обоим полюсам, разбивается на 22 сфериче­ ских пояса в каждом полушарии с добавлением сферических сег­ ментов у полюсов. Сферические пояса обозначаются 22 буквами (заглавными) латинского алфавита от А до У’. Каждый лист мил­ лионной карты находится в определенной колонне и определенном

поясе. Так, например, Москва				входит в лист миллионной			карты
с обозначением /V — 37 (пояс				N,	колонна 37).
1 Таким образом последние			буквы		латинского алфавита х,	у,	z для
обозначения	поясов	не используются.			Встречающиеся на топографических
картах (см.	стр. 18)	надписи у с	номером колонны надо читать			как	сокра­

щение слова «учебная».

16

Каждая трапеция миллионной карты делится на листы более крупного масштаба: 9 листов масштаба 1:300 000, 36 листов мас­ штаба 1 : 200 000, 144 листа в масштабе 1 : 100 000. Трапеция мас­ штаба 1 : 100 000 имеет размеры в 30' по долготе и 40 'по широте. В дальнейшем листы стотысячных карт делятся на листы в масштабе

1 : 50 000, 1 : 25 000 и 1:10 000.

Для получения одной меридиональной зоны на плоскости в СССР

пользуются равноугольной (конформной) поперечно-цилиндриче­ ской проекцией, предложенной в первый раз в середине XIX века

К. Гауссом. В этой проекции поверхность каждой зоны проекти­ руется на поверхность цилиндра, касающегося поверхности земно­ го сфероида по среднему осевому меридиану зоны (черт. 7). При раз­ вертывании поверхности цилиндра на плоскость осевой меридиан зоны даст прямую, являющуюся осью абсцисс прямоугольной системы координат. Осью ординат является экватор. Такая проек­ ция сохраняет подобие бесконечно малых фигур земного шара и их изображений в проекции.

При рассмотрении каждой топографической карты необходимо внимательно рассматривать ее внешнее оформление. Трапеция

2 М. А. Знаменский

17

карты, ограниченная отрезками меридианов и параллелей, изоб­ ражается тонкими линиями и составляет внутреннюю рамку кар­ ты. У меридианов этой рамки вверху и внизу подписываются долго­ ты меридианов: градусы долготы левее меридиана и минуты — пра­ вее. У параллелей рамки подписываются цифры широты: градусы наверху над параллелью и минуты — внизу под параллелью.

На некотором расстоянии от внутренней рамки имеется вторая рамка из двух тонких линий. Внутри второй рамки жирными от­ резками показаны минутные деления по меридианам и параллелям. Пользуясь этими обозначениями можно определить географиче­ ские координаты любой точки карты. Для получения прямоуголь­ ных координат на топографической карте нанесены прямоугольные

Осевой меридиан.

Черт. 7

сетки прямых линий, параллельных осевому меридиану зоны и эк­ ватору. Эта сетка называется километровой. По ней для положения каждой точки карты можно определить ее промежуточные коорди­ наты. Линии километровой сетки вынесены за внутреннюю рамку трапеции. Абсциссы считаются от экватора, ординаты — от осе­ вого меридиана зоны. При этом против концов каждой линии под­ писаны только две последние цифры координаты в километрах. Первые цифры пишутся только у начальных линий сетки. Чтобы не получать отрицательных ординат в западной половине зоны, ве­ личины всех ординат увеличены на 500 км. Кроме того, координате слева приписывается число, обозначающее номер зоны. Так, на­ пример, на листе учебной карты масштаба 1 : 50 000 с номенклату­ рой У - 35 - 8 - Б по надписям в углах карты можно определить,

что трапеция карты ограничена меридианами	с долготами 27°45'
и 28°00' и параллелями с широтами 55°50' и	55°00'.	Кроме того,
одна из абсцисс в левом нижнем углу имеет надпись		6192 и одна
из ординат надпись £548. Надпись 6192 обозначает,		что все точки

18