Тренировочные задания

1. Из партии муки в порядке случайной повторной выборки было взято 30 проб. В результате проверки установлена средняя влажность муки в выборке, равная 14,5% (при среднем квадратическом отклонении, равном 2%). С вероятностью 0,683 определите пределы средней влажности во всей партии муки.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться следующим соотношением:

где и- генеральная и выборочная средние соответственно;

- предельная ошибка выборочной средней.

Чтобы рассчитать среднюю ошибку при случайном повторном отборе воспользуемся формулой:

Для расчета предельной ошибки воспользуемся следующей формулой:

при этом t=1, т.к. р=0,683; =2;n=30.

Отсюда получаем следующее соотношение:

14,5 - 0,37

14,13

Таким образом, средняя влажность муки во всей партии колеблется в следующих пределах: 14,13

2. Для определения средней продолжительности поездки на работу планируется провести выборочное обследование населения г. Белгорода методом случайного бесповторного отбора. Численность работающего населения г. Белгорода составляет 153,4 тыс. чел. Каков должен быть необходимый объем выборочной совокупности, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 мин. При среднем квадратическом отклонении 15 мин.

Решение:

;

t=2, т.к. р=0,954;

=15; N=153,4; =5;

3. За одну смену АО «Колос» выпустил 15000 буханок хлеба, каждая по 800 грамм. Предполагается провести обследование среднего веса буханки методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка не превышала 20 грамм, если по данным пробного обследования дисперсия составила 240?

4. Для обследования качества, продукция была распределена на 75 равновеликих серий. На основе механического отбора было проверено 15 серий, в которых удельный вес недоброкачественной продукции составил 15%. С вероятностью 0,683 установите границы качества всей продукции, если межсерийная дисперсия равна 860.

5. Для изучения общественного мнения населения области о проведении определённых мероприятий методом случайного отбора было опрошено 1000 человек. Из числа опрошенных 540 человек одобрили мероприятия.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля лиц, одобривших мероприятия.

6. При планировании выборочного обследования занятости населения сельских районов региона имеются следующие данные:

Район	Численность населения в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятого населения, % (оценка)
1	4,2	70
2	7,3	82
3	3,5	75
4	5,8	80

С вероятностью 0,997 определите необходимый объём типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли, чтобы ошибка выборки не превышала 5%.

7. Партия елочных гирлянд упакована в 300 коробок по 20 шт. в каждой. Средняя длительность горения гирлянд составляет 1100 ч, а межсерийная дисперсия – 250. Качество гирлянд проверяется на основе серийного 2%-ного случайного бесповторного отбора.

Определите:

а) предельную ошибку при установлении средней длительности горения гирлянд;

б) пределы контролируемого параметра в генеральной совокупности.

Выводы сделайте с вероятностью 0,997.

8. Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

9. По данным 20% выборочного обследования 100 семей переселенцев из зоны строгого радиационного контроля, количество детей в семьях составляет:

Количество детей	0	1	2	3	4	Итого
Количество семей	10	32	33	18	7	100

Определите:

1) среднее количество детей в семьях переселенцев и доверительный интервал для средней с вероятностью 0,954;

2) с той же вероятностью определите предельную ошибку, и доверительный интервал для доли семей, имеющих 3 и более детей.

10. При случайном способе отбора из партии было взято 100 проб продукта А. В результате обследования установлено, что доля брака продукта А в выборке составляет 2%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля брака продукта А в партии.

11. Для определения среднего возраста рабочих предприятия была произведена 10%-ная механическая выборка рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования были получены следующие данные:

Рабочие в возрасте, лет	20 - 30	30 - 40	40 - 50	50 – 60	Итого
Число рабочих, чел.	20	60	15	5	100

С вероятностью 0,997 определите:

1) пределы, в которых находится средний возраст рабочих предприятия;

2) пределы, в которых находится доля рабочих предприятия в возрасте старше 50 лет.

12. По результатам контрольной проверки налоговыми службами 500 бизнесструктур, у 175 из них в налоговых декларациях не полностью указаны доходы, подлежащие налогообложению.

Определите долю бизнесструктур, скрывших часть доходов от уплаты налогов, и доверительные границы доли с вероятностью 0,997.

13. Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими разной квалификации на предприятии была произведена 10%-я типическая выборка пропорционально численности выделенных групп (внутри типических групп произведён механический отбор). Результаты обследования могут быть представлены следующим образом:

Группы рабочих по разряду	Число рабочих	Средние затраты времени на обработку одной детали, мин.	Среднее квадратическое отклонение, мин.
I	30	10	1
II	50	14	4
III	20	20	2

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находятся средние затраты времени на обработку деталей рабочими.

14. По данным опроса из 400 респондентов, основными источниками информации о недвижимости считают:

Радио и телевидение ...120

Газеты и журналы 180

Интернет…………………. 100

Для каждого источника информации определите его долю и предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997.

15. С целью прогнозирования урожая овса в хозяйстве была произведена 10%-я серийная выборка, в которую попали три участка. В результате обследования установлено, что урожайность овса на участках составила 26, 30 и 34 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средняя урожайность овса в хозяйстве.

16. При обследовании семейных бюджетов населения города была организована 10%-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Группы населения по семейному положению	Объем выборки	Доля расходов на оплату жилья, %
Одинокие Семейные	55 145	9 6

С вероятностью 0,683 установите границы доли расходов на оплату жилья населением города.

Тест

1. Как называется статистическая совокупность, из которой производится отбор?

а) генеральная;

б) выборочная.

2. Доверительный интервал выборочной средней и доли при малой выборке является односторонним или двусторонним?

а) односторонним;

б) двусторонним.

3. При выборочном обследовании бюджета времени работающих отбирается каждое пятое предприятие из общего списка их отрасли, а затем на отобранных предприятиях отбирается каждый десятый рабочий или служащих. Укажите способ такого отбора:

а) механический;

б) типический;

в) многоступенчатый;

г) многофазный;

д) многомерный.

4. Различия между выборочными оценками и характеристиками генеральной совокупности называются:

а) ошибками регистрации;

б) ошибками репрезентативности.

5. Ошибка механической выборки вычисляется по формуле:

а) повторной выборки;

б) бесповторной выборки.

6. Определите предельную ошибку выборки с вероятностью 0,9, если средняя ошибка равна 100:

а) 90; б) 164; в) 200.

7. По данным выборочного обследования 25 фирм (19%-й отбор) средняя продолжительность оборота дебиторской задолженности – 72 дня при среднем квадратическом отклонении 10 дней. Определите предельную ошибку выборки для средней продолжительности оборота с вероятностью 0,954.

а) 1,8; б) 2,0;

в) 3,6; г) 4,0.

8. При вычислении ошибки типической выборки используют:

а) общую дисперсию;

б) среднюю из групповых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию.

9. С вероятностью 0, 954 определить необходимую численность выборки для оценки среднего размера семьи при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,5 чел. при среднем квадратическом отклонении 2,0 чел.

а) 64; б) 45; в) 57.

10. При каком отборе одни и те же единицы подвергаются обследованию по расширенной программе?

а) при комбинированном;

б) при многоступенчатом;

в) при многофазном;

г) при механическом.

11. Определите с вероятностью 0,95 предельную ошибку, если средняя ошибка равна 30:

а) 28,5; б) 58,8; в) 60,0.

12. В каком случае предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях), если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой:

а) при отборе 100 единиц;

б) при отборе 25 серий.

13. Что произойдет с предельной ошибкой выборки, если вероятность, гарантирующую результат, увеличить с 0,683 до 0,954?

а) увеличится на 27%;

б) увеличится в 1,4 раза.

в) увеличится в два раза;

г) уменьшится в два раза;

14. Обследовано 36% продукции предприятия. На сколько процентов ошибка собственно случайной бесповторной выборки меньше ошибки повторной выборки?

а) 36; б) 20;

в) 18; г) 6;

д) предсказать результат невозможно.

15. С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки, если известно, что средняя ошибка равна 50.

а) 100; б) 50,997;

в) 150; г) 49,85.

16. При прочих равных условиях ошибка выборки будет меньше при:

а) механическом отборе;

б) типическом отборе;

в) серийном отборе.

17. Сколько респондентов необходимо опросить, оценивая качество гостиничного обслуживания (удовлетворяет, не удовлетворяет), чтобы предельная ошибка выборки долей с вероятностью 0,954 при этом не превысила 5%?

а) 400; б) 100;

в) 200; г) 20.

18. Из партии готовой продукции в 1000 шт. в случайном бесповторном порядке обследовано 100 штук. Доля забракованных изделий составила 10%. Определите вероятность того, что допущенная погрешность не превысит 5%

а) t=1,67;

б) t=1,76;

в) t=2,0

19. Для каких способов формирования выборочной совокупности ошибка выборки определяется по одинаковым формулам?

а) для собственно-случайного и механического;

б) для собственно–случайного и типического;

в) для механического и типического.

20. По данным выборочного опроса 46% респондентов считают рекламу основным источником информации о товарном рынке. Средняя ошибка выборки этого показателя – 2,5%. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что рекламой пользуются:

а) не менее 43,5% потребителей;

б) не более 48,5%;

в) не менее 41 и не более 51%;

г) не менее 51%.

1.9 Статистические методы изучения взаимосвязей

социально-экономических явлений

1.9.1 Причинность, регрессия, корреляция

Исследование объективно существующих зависимостей и взаимосвязей между явлениями и процессами - важнейшая задача теории статистики, которая играет в экономике значительную роль и позволяет глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между явлениями. Причинно-следственные отношения - это такая связь явлений и процессов, когда изменение одного из них - причины ведет к изменению другого - следствия.

Все социально-экономические явления взаимосвязаны и представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих явлений необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных.

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, характеризующие причины и условия связи, называются факторными (х), а признаки, которые характеризуют следствия связи, – результативными (у).

Между признаками х и у возникают разные по природе и характеру связи, а именно: функциональные и стохастические. При функциональной связи каждому значению признака х соответствует одно определенное значение у. Эта связь проявляется однозначно в каждом отдельном случае. При стохастической связи каждому значению признака х соответствует определенное множество значений у, образующих так называемое условное распределение. Как закон эта связь проявляется только в массе случаев и характеризуется изменением условных распределений у. Если заменить условное распределение средней величиной , то образуется разновидность стохастической связи – корреляционная. В случае корреляционной связи каждому значению признака х соответствует среднее значение результативного признака .

Связи между явлениями и их признаками классифицируются:

• по степени тесноты;

• по направлению;

• по аналитическому выражению.

По степени тесноты связи представлены в таблице 1.9.1.

По направлению выделяют:

• Прямую связь - это такая связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. Так, например, рост производительности труда способствует увеличению уровня рентабельности производства.

• Обратную связь – это такая связь, при которой значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так с увеличением уровня фондоотдачи снижается себестоимость единицы производимой продукции.

Таблица 1.9.1