uchebnik10

	, Вопрос о том,				распреде-				Таблица 5
	пять ли собранные данные в
	интервальный			или	безынтер­			Число иаблюдеиий	Число классов
	вальный ряд, решают в зави­							n (от-до)	К
	симости от характера и разма­
	ха	варьирования			признака.			25-40	5-6
	Если	признак		варьирует			дис­	40-60	6-8
	кретно и		слабо, т.		е.	в	узких	60-100	7-10
	границах		(величииа		А	оказы­		100-200	8-12
								>200	10-15
	вается равной единице или мо­
	жет	быть	приравнена			к	еди­

нице), данные распределяются в безынтервальный вариацион­ нЫй ряд. Если же признак варьирует в широких границах, то

независимо от того, как он варьирует -	дискретно или непре-
•	•

рывно, по данным строят интервальныи вариационныи ряд.

Техника построения вариационных рядов. Приступая к пост­

роению вариационного ряда, нужно в сводке исходных данных

отыскать минимальную Xmln И максимальную Хтах варианты. За­

тем, используя формулу (1), определить величину классового

интервала л. Если окажется, что л= 1, собранный материал рас­

пределяется в безынтервальный вариационный ряд; если же л==F =F 1, исходные данные необходимо распределять в интервальный ряд. При этом точность величины классового интервала должна

соответствовать точности, принятой при измерении признака.

Например, жирномолочность коров (n=60), содержащихся на

ферме, варьирует от 3,21 до 4,55%. в таком случае классовый

интервал устанавливается следующим образом:

л= 4,55 -	3 ,21	1,34	= О	194 ~ О 19.
1+3,32	Ig60	1 + 5,90	'	,

Если точность измерения данного признака ограничить десятыми

долями единицы, величина классового интервала окажется сле­

дующей:

4,6-3,2=02.

6,9 I

Вобоих случаях результаты наблюдений должны распределяться

винтервальный вариационный ряд.

При построении интервального вариационного ряда следует

Поступать так, чтобы минимальная варианта совокупности попа­

дала примерно в середину первого классового интервала. Выпол­

нение этого требования гарантирует построение вариационного

ряда, наиболее полно отвечающего природе изучаемого явления,

М. Кендэла (1960), следует ВЫделять 15-20 классовых интервалов незави­

СИмо от числа наблюдений, что обеспечит достаточную компактность вычисле­

Ний и практическую их точность. (Прu",. ред.)

29

а следовательно, и наименьшие потери информации о точности

вычисляемых статистических характеристик ряда. Этому требо­

ванию удовлетворяет формула

(2)

где ХН - нижняя граница первого классового интервала; ХШIn­

минимальная варианта исследуемой совокупности; л - величина

классового интервала.

Так, при xmln =3,21 И л=0,19 нижняя граница первого класса

XH=3,21-0,19/2=3,115~3,12. Прибавив к этой величине л=

=0,19, определяем верхнюю границу первого класса: 3,12+ +0,19=3,31. Затем находим верхнюю границу второго класса: 3,31+0,19=3,50 и т. д., пока не получим интервал, в который

попадает максимальная варианта совокупности (хтах=4,55).

Наметив классовые интервалы, остается распределить по ним

все варианты совокупности, т. е. определить частоты каждого

класса. Тут, однако, возникает вопрос: в какие классы относить

варианты, которые по своей величине совпадают с верхней гра­

ницей одного и нижней границей другого, соседнего класса?

Например, в какой класс следует отнести варианту 3, 31- в пер­ вый или во второй? Этот вопрос решается по-разному. Можно

помещать в один и тот же класс варианты, которые больше ниж~

ней, но меньше или равны его верхней границе, т. е. по принципу

«от и до включительно». Чаще, однако, поступают таким обра­

зом: верхние границы классов уменьшают на величину, равную

точности, принятой при измерении признака, чем и достигается

необходимое разграничение классов.

Следующий шаг ведет к замене классовых интервалов на их

центральные или срединные значения. В результате интерваль~

ный вариационный ряд превращается в безынтервальный ряд.

Необходимость такой замены вызывается тем, что обобщающие

числовЫе характеристики (средняя, дисперсия и др.) вычисляют­

ся по безынтервальным рядам. Срединные значения классовых

интервалов Xi, как это следует из формулы (2), отстоят от ИХ

нижних границ ХН на величину, равную половине классового ин­

тервала.

Наиболее точно центральную величину классового интервала

можно получить по формуле

X i = тI(Хн+Хк),

(3)

где ХК - конечная точка интервала, равная XH+l-е, т. е. началу следующего класса, уменьшенному на точность измерения приз­

нака.

Середины классов приобретают значения отдельных вари~

ант и называются классовыми вариантами в отличие от кон­

I<peTHblx вариант, составляющих данную совокупность. Описан~

30

аую методику можно продемонстрировать на конкретных при­

мерах.

Пример 1. На свиноферме зарегистрировано 64 опороса. Ко­

личество поросят, полученных от каждой свиноматки, варьиро­

вало следующим образом:

8	10	6	10	8	5	11	7	10	6	9	7	8	7	9	11	8	9	10
8	7	8	11	8	7	10	8	8	5	I1	8	10	12	7	5	7	9	7
10 5 8 9 7 12						8 9		6 7 8 7				lJ	8 6 7 9 10
в этой совокупности Xmln =5 И хтах=12. Отсюда
					л = __12_-_5____"_'_ = 1.
						1 + З,321g 64					1+6

Так как признак варьирует дискретно и л= 1, совокупность наблюдений следует распределить в безынтервальный вариаци­

онный ряд, т. е. непосIfедственно по ранжированным значени­ ям признака, которые и будут классами данного ряда.

Чтобы при определении частот каждого класса не сбиться

со счета, нужно построить вспомогательную (расчетную) таб­

лицу, в которой первая графа заполняется классами (в данном

случае ранжированными значениями признака), а вторая­ служит Д,,'lя учета частот fi, распреде,,'lяемых по этим классам.

Разноску частот по классам производят следующим обра­

зом. Просматривая сводку результатов наблюдений, во второй

графе расчетной таблицы с помощью условных знаков отмеча­

ЮТ повторяемость вариант для каждого класса. При этом ре­ комендуется не выискивать одинаковые варианты в общей сово­

купиости чисел, а разносить их по кдассам, что не одно и то

же. Пренебрежение этой рекомендацией приводит к ошибкам,

лишней затрате труда и времени на выполнение работы. Услов­

ными знаками при разноске наблюдений по классам могут быть точки, черточки и другие условные знаки. Удобным, особенно при обработке больших совокупностей, оказывается следующий шифр частот:

•	• •	• •	•	•	е-о
		•	•	•	•	•
	2	3		4	5	6	7	8	9	10

Наилучшим способом разноски BaptlaHT является расклад­

ка бланков, каждый из которых соответствует отдельному наб­

Людению и содержит значения признаков. В этом случае зна­

чения признака, попадающие в один класс ряда, образуют от·

дельную стопку бланков. Всего таких стопок окажется столь·

КО, сколько образовано интервалов вариационного ряда. После

Оkончания разноски ее результаты можно неоднократно прове­

рать просмотром каждой из стопок бланков, т. е. просмотром

31

тех вариант, которые попали в каждый класс ряда. Это позв,

ляет полностью исключить ошибки, возможные при иных сп(

собах подсчета классовых частот.

Закончив разноску вариант по классам, переводят шиф

частот в числа. В результате получается третья графа вспом,

гательной таблицы, содержащая частоты безынтервального в,­ риационного ряда (табл. 6).

	Таблица 6
Классы	Частоты
х 1	Шифр частот
	Pj

•	•
5	4

	• •
	.-.
б	1 1	7
	• •

7	ixi		•	•	J3
	.-.			•
	.-. .-.
8	IXI		•	•	15
	.-.
	.--
9	I	I			7
	•	•
	.-.
	.-.
10	1/1				9
	.-.
11	•	•I			б
12	•	•			3
		•
Сумма					б4

Полученный вариационный ряд выражает зависимость мел­

ду отдельными вариантами и частотой их встречаемости в да!>

ной совокупности, т. е. закономерность варьирования учитываt:­

мого признака.

Пример 2. На основании многолетних клинических наблк,­

дений, проводившихся в Сухумском питомнике обезьян, cocTat<

лена следующая выборка, включающая 100 анализов на содес,

жание кальция (мг%) в сыворотке крови низших обезьян (Па­

вианов-гамадрилов) :

32

3,6	12,9	12,3	9,9	12,7	11,7	10,8	10,4	10,9	10,2
4,7	10,4	11,6	11,7	12,1	10,9	12,1	9,2	10,7	11,5
3,1	10,9	12,0	11,1	13,5	11,2	13,5	10,1	14,0	10,0
11,6	12,4	11,9	11,4	12,8	11,4	10,9	12,7	13,8	13,2
11,9	10,8	11,0	12,6	10,0	10,3	12,7	11,7	12,1	13,8
12,2	11,9	11,6	10,6	11,1	10,7	12,3	11,5	11,2	11,5
12,7	10,5	11,2	11,9	9,7	13,0	9,6	12,5	11,6	9.0
11,5	12,3	12,8	12,6	12,8	12,5	12,8	11,4	12,5	12,3
14,5	12,3	12,6	11,7	12,2	12,3	11,6	12,0	13,5	12,5
11,6	11,9	12,0	11,4	14,7	11,3	13,2	14,3	13,2	14,2
Нужно		сгруппировать		эти	данные	в	вариационный		ряд.

В данном случае признак варьирует непрерывно в пределах от

9,0 до 14,7 мг%. Устанавливаем величину классового интер-

вала:

л= 14,7-9,0	5,7	=0,75~0,8.
1 + 3,32 Ig 100	7,6

Так как выборку приходится группировать в интервальный ва­

риационный ряд, определяем нижнюю границу первого класса:

хн=9,0 - 0~8 = 8,6.

Затем намечаем следующие классовые интервалы: 8,6-9,4-

10,2-11,0-11,8-12,6-13,4-14,2-15,0. Получилось восемь ин­

тервалов. Разграничиваем их на величину, равную точности из­

мерения признака, т. е. уменьшаем верхние границы интервалов

на 0,1 мг%. Строим вспомогательную расчетную таблицу и раз­

носим все 100 вариант по намеченным классовым интервалам

(табл. 7).

Переводим шифр частот в числа, сумма которых должна

быть равна объему данной выборки, т. е. Щi= 100. В резуль­

тате получается интервальный вариационный ряд.

, . Срединные значения классов, приведенные в табл. 7, полу­ ,чены прибавлением к нижним границам классов 1/2 классово­ го интервала - величины, равной 0,8/2=0,4, т. е., по формуле

(3), 8,6+0,4=9,0; 9,4+0,4=9,8 и т. д. Таким образом, интер­

вальный вариационный ряд превращен в ряд безынтервальныЙ.

Прuмер 3. В результате учета яйценоскости 80 кур, содер­

жащихся на птицеферме, было установлено, что признак варь­

ирует от 208 до 250 яиц, полученных от несушки за 1 ГОд. Оп­

ределяем классовый интервал:

л = 250 - 208	__--.;...42_ 5,75~ 6.
f + 3,321g80	1+ 6,3

Так как классовый интервал не равен единице, результаты на­

блюдений нужно распределять в интервальный вариационный

ряд, несмотря на то что признак варьирует дискретно. Уста­

навливаем нижнюю границу первого класса: хн=208-6/2=

2--1674

33

										Таблица ~
Классы	Срединные								f
по уровню кальция	значения			Шифр частот					IЧастоты
в сыворотке крови,	классов								I	Pi
мго/о	Xj
8,6-9,3	9,0		•	•					i	2
			.-.
									II
				•I					I
9,4-10,1	9,8		•							6
			ixi		о-о
Щ2-1О,9	10,6 .	,			,					15
			о-о			о		•
			0 - '
			.-.		iXi		о
							о
11,0-11,7	11,4		IXI		о-о					23
11,8-12,5	12,2		iXi		ixi		'-0			25
								о
			0 - '		.0--.		•
			I~		о	о
12,6-13,3	13,0			!	I	I				17
13,4-14,1	13,8		I							7
			.-
			•
14,2-14,9	14,6		•I	•						S
			.-
Сумма										100

=205. Намечаем классовые интервалы: 205-211-217-223- 229-235-241-247-253. Уменьшаем верхние границы клаССОF

на единицу: 205-210; 211-216; 217-222; 223-228; 229-23~ 235-240; 241-246; 247-252. Дальнейшие действия, OTHOCS;

щиеся к построению вариационного ряда, понятны из предыд)'

щих примеров.

Графики вариационных рядов. Для того чтобы более не

глядно представить закономерность варьирования количествеh

ных признаков, вариационные ряды принято изображать в вь

де графиков. Так, при построении графика безынтервального Ва

риационного ряда по оси абсцисс откладывают срединные ЗНЕ чения классов, по оси ординат - частоты. Высота перпендик)'

ляров, восставляемых по оси абсцисс, соответствует частотаlo

классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линия

ми, получают геометрическую фигуру в виде многоугольнию.

называемую полигоном распределения частот. Линия, соеДF

няющая вершины перпендикуляров, называется eapuaUsuoHHOt

34

,ривой или кривой распределения частот вариационного ряда 1

рис. 1).

. При построении графика интервального вариационного ряда

ю оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов,

ю оси ординат - частоты интервалов. В результате получается

'"'~ 12

i 9

~" 6

, J

) о 5 б 7 8 9 Ю 11 ~

JАuчесmВо 170росяm 6оmiJеЛbffЫХ I7Ol1emax

'не. 1. Полигон распределения чнс­

;еиностн поросят в 64 опоросах

свиноматок

.,......

§~.. 25

~20...

...

~ 15

~

....

~ 10

~

~ 5

~

~ о Y~I:--::!-:-7~!-:-:!-:-::~~~

8,6 ~4 10.2 11.0 11.8 12Д 1J,4 14,2 15,0

ГРОНОЦЫ /(лоссоnых UllmерВоло8

Рис. 2. Гистограмма распреде­

ления кальuия (мг%) в сыво­

ротке крови обезьян

"ак называемая гистограмма распределения частот. На рис. 2 !зображена гистограмма распределения кальция в сыворотке

-:рови обезьян. Если из середин верхних сторон прямоугольни­

:ов гистограммы опустить перпендикуляры на ось абсцисс,

~истограмма превращается в полигон распределения, а линия,

:оединяющая середины верхних сторон прямоугольников гисто­

'раммы, будет представлять собой вариационную кривую.

Если по оси абсцисс откладывать значения классов, а по

'си ординат - накопленные частоты с последующим соединени­

~M точек прямыми линиями, получается график, называемый

~t(МУЛЯТОЙ. На рис. 3 изображена кумулята распределения

~альция в сыворотке крови обезьян. В отличие от вариацион­

'iОЙ кривой, имеющей куполообразную форму, кумулята имеет

"ид S-образной кривой. Накопленные частоты находят последо­ ~ательным суммированием, или кумуляцией (от лат. cumulaio - увеличение, скопление) частот в направлении от первого :.ласса до конца вариационного ряда. В данном случае частоты 1яда распределения кальция в сыворотке крови обезьян куму­

.ированы следующим образом:

Частоты fi • • • • . • •	2	6	15	23	25	17	7	5
Кумуляты частот Sfl .•	2	8	23	46	71	88	95	100

Откладывая по оси абсцисс частоты, а по оси ординат­

~начения классов с последующим соединением геометрических

I Это понятие условно, так как такая лнпня является не кривой, а лома­

~oA. (Прuм. ред.)

••

35

точек прямыми линиями, как это показано на рис. 4, получаЮ1 линейный график, называемый огивой.

По сравнению с эмпирическими вариационными кривыми,

которые выглядят обычно в виде ломаных линий, кумулята и

огива имеют более обтекаемую форму. Эта особенность позво­

ляет в ряде случаев отдавать предпочтение этим графикам пе­

ред эмпирической вариационной кривой. Центральная точка ку-

~ 100	~ 14
§ 80	~lJ
~	~
~ 60	:;;j, 12
	~
~	~
~ 40	~ 11
&	~'0
:::. 20	~	I
~	~	О '-'-:'zo':-J':-J/i-:'"o--'---=60::--'-8-='=0:--'--::7:-::00:-
~ о '--....".,9~~-1~1--'--l~3-"&'---:15'::--~
3начеНUfl классоВых Ьорuанm		IrУI1УЛUРо#ilh'h'IJ/f I/OCmilmfJl

Рис. 3. Кумулята распределения каль-	Рис. 4.
ция (мг%) в сыворотке крови обезь-	(мг %)

Огива распределения кальцю

в сыворотке крови обезьян

ян

муляты совпадает с центром распределения совокупности, чтс

дает возможность использовать ее при определении, например

средних доз биологически активных веществ, вызывающих эф­

фект у 50% подопытных индивидов. Огива позволяет сравни­

вать друг с другом одновременно несколько эмпирических рас

пределений неравного объема.

Следует заметить, что неумелое построение графиков при­

водит к тому, что последние получаются либо в виде островер шинных геометрических фигур с узким основанием, либо плос

ковершинными, чрезмерно растянутыми по оси абсцисс. В обо

их случаях графики оказываются плохо обозримыми, нечетк<

отображающими закономерность варьирования.

Избежать этих недостатков позволяет правило «золотого се­

чения», согласно которому основание геометрической фигурь

должно относиться к ее высоте, как 1: 0,62. Применительно I

построению вариационной кривой масштабы на осях прямо

угольных координат следует выбирать с таким расчетом, чтобь основание кривой было в 1,5-2,0 раза больше ее высоты (т. е

максимальной ординаты). Откладывая по оси абсцисс классь

вариационного ряда, следует также доводить крайние из них дс нулевых классов, в которых не содержится ни одной варианты

В результате вариационной кривой придается законченный

хорошо обозримый вид.

ГЛАВА 11

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРЬИРУЮЩИХ О&ЪЕКТОВ

11.1. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Вариационные ряды и их графики дают наглядное представ­

ление о варьировании признаков, но они недостаточны для

полного описания варьирующих объектов. Для этой цели слу­

жат особые, логически и теоретически обоснованные числовые

показатели, называемые статистическими характеристиками.

К ним относятся прежде всего средние величины и показатели

вариации. «3акономерность,- по словам В. И. Ленина,- не мо­

жет проявляться иначе как в средней,... массовой... закономер­

ности при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту

или другую сторону» 1.

В отличие от индивидуальных числовых характеристик сред­

ние величины обладают большей устойчивостью, способностью

характеризовать целую группу однородных единиц одним (сред­ ним) числом. И хотя средние величины абстрактны, они впол­

не понятны и ощутимы. Средний рост, средняя продуктивность,

средний урожай, средняя успеваемость и другие средние - все

зто понятия абстрактные о конкретном. 3начение средних за­

ключается в их свойстве аккумулировать или уравновешивать

все индивидуальные отклонения, в результате чего проявляется

то наиболее устойчивое и типичное, что характеризует качест­ венное своеобразие варьирующего объекта, позволяет отличать один групповой объект от другого.

В зависимости от того, как распределены первичные дан­

ные - в равноили в неравноинтервальный вариационный

.. ряд,- для их характеристики применяют разные средние вели­

чины. Именно при распределении собранных данных в неравно­

интервальный вариационный ряд более подходящей обобщаю­

щей характеристикой изучаемого объекта служит так называе-

. мая плотность распределения, т. е. отношение частот или час­

тостей к ширине классовых интервалов, как это показано в

табл. 4. Кроме того, числовыми характеристиками таких рядов

могут служить средние из абсолютных или относительных по­

казателей плотности распределения. Средняя ПЛОТНОСТЬ пока­

зывает, сколько единиц данной совокупности приходится в

среднем на интервал, равный единице измерения учитываемого

признака. Так, по табл. 4 находим, что средние из относитель-

ных (процентных) показателей плотности распределения голу­

бей в стае в гнездовой период Х1 и в остальное время года Х2

I Ленин В. И. Полн. собр. соч. Т, 26. С. 68,

37

оказываются следующими: XI= (1/7) (18,20+19,20+2,42+0,16+ +0,30+0,15+0,00) =40,43/7=5,78~6 и Х2= (1/7) (1,70+5,08+

+1,36+ ... +0,31)=13,61/7=1,94~2. Таким образом выясня­

ется, что в среднем относительная плотность численности го­

лубей в стае в гнездовой период в три раза выше, чем в ос­

тальное время года.

В качестве статистических характеристик равноинтерваль­

ных вариационных рядов применяют CTeneHHble и структурные

(нестепенные) средние величины. Степенные средние вычисля­

ют из общей формулы

М= [	1:х:J'1/"	или М=	у1:х:	,
	n		n

ГДе М - средняя величина; Xi - варианта; n - число наблюде­

ний, для которых вычисляют среднюю; k - величина, по кото­

рой определяют вид средней. Так, при k= 1 получается средняя

арифметическая, при k=2-средняя квадратическая, при k=

=-1 образуется средняя гармоническая и т. д. Из структур­

ных средних в биологии применяют медиану, моду и др.

Средние велиЧины могут характеризовать только однород­ ную совокупность вариант. Если средняя получена иа качест­

венно неоднородном материале или выбрана неправильно, без учета специфики характеризуемого явления или процесса, она

окажется фиктивной. При наличии разнородных по составу

данных их необходимо группировать в отдельные качественно

однородные группы и вычислять· групповые или частные сред­

ние.

Средние величины принято обозначать теми же строчными буквами латинского алфавита, что и варианты, с той лишь раз­ ницей, что над буквой, соответствующей средней величине, ста­

вят черту. Так, если признак обозначен через Х, то его число­

вые значения выражают буквой Xi, среднюю арифметическую­

Х, среднюю гармоническую Xh и т. д. I При вычислении сред­

них величин и других статистических характеристик не обяза­

тельно распределять исходные данные в вариационный ряд.

Средняя арифметическая Х. Из общего семейства степенных

средних наиболее часто используют среднюю арифметическую, Этот показатель является центром распределения, вокруг кото­

рого группируются все варианты статистической совокупности.

Средняя арифметическая может быть простой и взвешенной.

Простую среднюю арифметическую определяют как сумму всех

1 В старых руководствах по биометрии средиие величины обозиачали

буквой М,

38