Лекция 2 Случайные события
2.1 Испытание. Поле событий. Операции над событиями [4]
множество называется полем событий связанным с испытанием, а события этого поля называются случайными событиями.
Поле может содержать равновозможные события: Е1, E2, …Еn. Эти события называются элементарными исходами испытаний. Каждому возможному событию Al поля событий отвечает некоторая часть или подмножество элементарных исходов, из которых как бы составлено Al..
События могут быть взаимообусловленными. В этом случае говорят, что событие А влечет за собой событие В, если при наступлении А неизбежно наступает В: A€B.
Если A€B и одновременно B€A, то события А и В называют эквивалентными, что обозначается знаком равенства А=В.
Можно сказать, что каждое событие поля представляет логическую сумму некоторых событий из множества (Е1, E2, …Еn). Так событие А (7, 10, 12) можно записать так: А=Е7 + Е10 + Е12,
здесь знак + заменяет союз «или».
Сумма S=A1 + A2 + …+Ak представляет событие, заключающееся в появлении A1 или A2 или…или Ak., или некоторых из них вместе.
Пример: события (1, 2, 3) и (3, 4, 5) совместимы: они наступают вместе в тех испытаниях, в которых исход имеет номер 3.
Сумме событий отвечает подмножество элементов, полученных объединением исходов. Так сумма событий (1, 2, 3) + (1, 2) будет равна (1, 2, 3). Каждый элемент входит в сумму один раз.
Два события поля А и А- называются противоположными (взаимно дополнительными), если они несовместимы и в сумме составляют достоверное событие. Так два события: «появление отказа в ЭВМ» и «отсутствие отказа в ЭВМ» в течение рабочего времени – противоположны. По определению
А + А- =U.
Таким образом, достоверно, что наступит А или не А-.
Невозможное событие V противоположно достоверному, т.е U+V = U.
2.2 Частость и вероятность [4]
Рассмотрим серию из N испытаний, произведенных в одних и тех же условиях. Допустим, что нас интересует определенное событие А поля испытаний. Если в нашей серии испытаний событие А произошло kN(A) раз, то отношение kN(A) = WN(A) называется частостью: 0≤ WN(A)≤ 1.
Если событие А невозможно WN(A)=0, если событие достоверно, то WN(A)= 1. Если событие А невозможно, A = V, то в любой серии
2.3 Основные аксиомы теории вероятностей [4]. Из того, что
При любых i, j (i,j = 1,2,..m), то:
P(S=A1+ A2+… Am) = P(A1) + P(A2) +…+ P(Am),
вероятность суммы несовместимых событий поля равна сумме их вероятностей.
Наступление события S согласно аксиоме III может осуществляться или в виде A1 или в виде A2, …в виде Am.
Аксиома III называется правилом сложения вероятностей несовместимых событий.
Если некоторые два события A1 и A2 не являются несовместимыми, то
P( A1 + A2) ≤ P(A1) + P(A2).
2.4 Элементы теории вероятностей [4]
Случайные события
Контрольные вопросы:
1) Что называется испытанием и событием в испытании?
2) Какие бывают события в испытаниях?
3) Что собой представляет сумма событий, в чем оно заключается?
4) Что понимается под произведением событий?
5) Графическая интерпретация операций над событиями.
6) Свойства поля событий.
7) Что называется частостью и вероятностью событий?
8) Как влияет объем выборки на частость?
9) Основные аксиомы теории вероятностей.
10) Свойства суммы вероятностей.
11) Сущность классического определения вероятности.