- •Предисловие
- •Лекция 1 Общие сведения о стохастических системах
- •1.1 Общие сведения о системах
- •1.2. Основные задачи теории стохастических систем
- •1.3. Моделирование сложных (стохастических) систем
- •Лекция 2 Случайные события
- •2.1 Испытание. Поле событий. Операции над событиями [4]
- •2.2 Частость и вероятность [4]
- •2.3 Основные аксиомы теории вероятностей [4]. Из того, что
- •2.4 Элементы теории вероятностей [4]
- •Лекция 3 Случайные величины
- •3.1 Определение случайной величины [5]
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 4. Непрерывные случайные величины
- •4.1. Экспоненциальный закон распределения
- •Контрольные вопросы.
- •Лекция 5
- •5.3. Закон больших чисел
- •5.4. Основные предельные законы теории вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 6
- •Лекция 7Случайные процессы и их аналитическое описание
- •7.4 Определение статистических оценок математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса
- •7.5 Стационарные случайные процессы
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 8 Корреляционный анализ
- •1. Функциональные и корреляционные связи между переменными
- •2. Корреляционный анализ
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 9 Дисперсионный и регрессионный анализы
- •9.1 Дисперсионный анализ
- •9.2 Регрессионный анализ. Множественная регрессия
- •Приложение 9.1. D-статистика Дарбина - Уотсона: d1 и d2, уровень значимости в 5%
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 10 стохастическое программирование
- •1. Линейное программирование.
- •2. Стохастическое программирование
- •3. Формальная постановка стохастической задачи
- •4. Методы решения задач стохастического программирования
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 11 Особенности решения одноэтапных задач стохастического программирования
- •1. Моделирование систем массового обслуживания
- •2. Основы теории статистических решений. Статистические игры
- •Контрольные вопросы
- •2. Задача достижения нечеткой цели
- •Контрольные вопросы
- •2. Методы анализа больших систем, планирование экспериментов
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 14 Адаптационная оптимизация
- •1. Постановка задачи адаптационной оптимизации [14]
- •2. Симплекс планирование
- •Лекция 15 Имитационное моделирование стохастических систем
- •1. Модели и моделирование. Общие понятия
- •2. Методы статистического моделирования
- •3. Имитационное моделирование непрерывных процессов
- •4. Имитационное моделирование процесса стекловарения в производстве листового стекла флоат-способом
- •Контрольные вопросы
- •Список литературы
5.3. Закон больших чисел
1. Неравенство Чебышева
Мы видели, что характеристика σХ=√DX представляет некоторую среднюю меру, стандарт, отклонения от центра распределения. Следует ожидать, что отклонения, значительно превышающие по абсолютной величине σХ, должны быть маловероятны.
В случае нормального распределения эта вероятность равна:
Q(t) = P(|X-mX|>t σХ).
где t>0 изображается площадью под нормальной кривой вне интервала (-t, +t). Для t=3 эта вероятность составляет 0,0027; при t=4 вероятность уменьшается до 0, 000063, при t=6 вероятность уменьшается до 2*10-9 и т.д.
Заслугой Чебышева является доказательство неравенства, показывающего, что убывание вероятности Q(t) при возрастании t хотя и не всегда совершается столь быстро, как в нормальном случае, но оно происходит всегда не медленнее, чем по закону 1/t2.
При любом законе распределения, обладающем моментом двух первых порядков (математическое ожидание и дисперсия) верхняя граница вероятности равна:
Q(t) = P(|X-mX|>t σХ)<=1/t2. (8)
Простота и универсальность позволяет использовать неравенство Чебышева для важных теоретических заключений, хотя для практических расчетов оно оказывается слишком грубым [*].
5.4. Основные предельные законы теории вероятностей
Рассмотрим две фундаментальные теоремы теории вероятностей, имеющие обширный круг приложений. Эти теоремы представляют обобщение теорем Я. Бернулли и Лапласа, относящиеся к закону распределения частот (или числа появлений) случайного события в данной серии независимых испытаний.
Число появлений событий в n независимых испытаниях можно рассматривать как сумму n независимых величин. После каждого испытания наблюдатель записывает результат, ставя 1 или 0, в зависимости от того, появилось или не появилось событие в этом испытании. С испытанием связана случайная двузначная величина Xs, s=1, 2, .. Все величины независимы между собой и одинаково распределены согласно таблице распределений:
0 |
1 |
q=1-p |
p |
X
Мы можем представить величины Xs как разные экземпляры одной и той же величины Х (без номера). Сумма Sn = X1+X2+…Xn равна числу m появлению событий в серии испытаний.
Частота событий m/n представляется средним арифметическим величины Xs:
Sn/n = (X1+X2+…Xn)/n. (9)
Для этого представления частости можно рассчитать основные характеристики ее распределения, которые совпадают с биноминальным распределением:
- математическое ожидание М(Sn/n)=p;
- дисперсия D(Sn/n)=pq/n, (10)
Дисперсия частости согласно (10) стремиться к нулю при неограниченном возрастании n. Опираясь на неравенство Чебышева (8) получаем теорему Якова Бернулли:
P{|Sn/n – p| ≥ ξ} = P{|(X1+X2+..+Xn)/n – M(X1+X2+..+Xn)/n| >ξ}→ 0 при n→ ∞
(11)
Теорема Бернулли (11) утверждает, что среднее арифметическое большого числа независимых величин (частного вида – двухзначных) почти наверное будет как угодно близко к своему математическому ожиданию – постоянной величине р.
То обстоятельство, что дисперсия величины Sn/n стремиться к нулю при n→ ∞, имеет следствием устойчивость среднего арифметического. Распределение среднего (частости) концентрируется в сколь угодно малом интервале (р-ξ, р+ξ), а вероятность, приходящаяся на значения вне этого интервала, как угодно мала при достаточно большом n.
В этом случае говорят, что последовательность средних арифметических при при n→ ∞ «сходится по вероятности» к постоянной величине:
P = M(Sn/n). (12)
Факт устойчивости средних арифметических большого числа одинаково распределенных независимых величин имеет место при произвольном распределении каждого слагаемого, если только при этом распределении величины обладают конечной дисперсией.
В этом случае:
Xncp = (X1+X2+…+Xn)/n имеет место D(Xncp) = D(X)/n, (13)
и поэтому D(Xncp)→0 при n→∞.
На основании неравенства Чебышева получим при сколь угодно малом (но постоянном) ξ>0:
P(|Xncp – mX|>ξ)< D(Xn )/ξ2 → 0, (14)
P(|Xncp – mX|≤ξ) ξ2 → 1,
что доказывает сходимость последовательности Xncp по вероятности к пределу mX при n→∞.
Осредняя достаточно большое число независимых и одинаково распределенных случайных величин, мы получаем с вероятностью, как угодно близкой к единице, значение, сколь угодно мало отличающееся от общего математического ожидания величин. Это положение, называемое «законом больших чисел», было установлено П.Л. Чебышевым (1821 – 1894).
Этот закон выражает основную и общую закономерность, имеющую первостепенное значение, как для обоснования статистических методов, так и для теоретического объяснения большого круга явлений (в области молекулярных процессов).