7.5 Стационарные случайные процессы

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие в вероятностном отношении однородно при изменении параметра времени t. К числу таких процессов относятся помехи в линиях связи, ошибки в системах автоматического регулирования и др. Вероятностный режим таких процессов не изменяется при любом сдвиге всей группы точек t₁, t₂, ..t_s вдоль числовой оси, т.е. при переходе к точкам t₁+τ, t₂+τ, ..t_s+τ, где τ произвольно выбранное время. Поэтому, прежде всего, случайная величина X(t) для любого момента имеет одно и то же распределение и, значит, имеет одинаковые математические ожидания и дисперсии. Для процесса в целом M[X(t)]=const, D[X(t)]=const, а автокорреляционная функция процесса непрерывна и зависит только от разности t₂ – t₁=τ, т.е. является непрерывной функцией R_X(τ) одного аргумента τ. Такие случайные процессы называются стационарными случайными процессами. Для стационарных процессов доказана сходимость по вероятности среднего по времени от случайной функции:

X^cp _T = 1/2T x(t)dt

к математическому ожиданию M[X(t)] при T→∞.

Аналогично этому и для корреляционной функции доказана сходимость по вероятности к величине

1/2Tx(t)x(t+τ)dt → R_X(τ) при T→∞.

Точно так же для двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов X(t) и Y(t) доказывается сходимость по вероятности к величине:

1/2T x(t)y(t+τ)dt → R_XY (τ) при T→∞,

если x(t) и y(t) – возможные реализации процессов соответственно X(t) и Y(t).

Определение статистических оценок стационарного случайного процесса можно производить не по множеству реализаций, а по единственной записи, если она охватывает большой интервал значений параметра времени t. При этом на оси t откладывают n равных отрезков и в конце каждого из них определяются значения x₁, x₂., …x_n.

Средняя арифметическая х^ср из них дает статистическую оценку математического ожидания случайного процесса.

Статистическая оценка автокорреляционной функции находится по формуле:

R_X(τ) = 1/(n-τ) (x_l – x^cp)(x_l+τ – x^cp).

Взаимная корреляционная функция двух стационарных процессов рассчитывается по формуле:

R_XY(τ) = 1/ (n-τ)(x_l+τ – x^cp)(y_l – y^cp).

Контрольные вопросы

1. Дайте определение случайного процесса.

2. Чем характеризуется случайный процесс. Сечение случайного процесса.

3. Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики.

4. Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики.

5. Гауссовский случайный процесс и его характеристики.

6. Определение статистических оценок математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса.

7. Стационарные случайные процессы и их характеристики.

Лекция 8 Корреляционный анализ

Корреляционный анализ, разработанный К. Пирсоном и Дж. Юлом является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких переменных – компонент случайного вектора.

Одним из основных показателей взаимосвязи двух случайных величин является парный коэффициент корреляции, служащий мерой линейной статистической зависимости между этими величинами, когда статистическая связь между соответствующими признаками в генеральной совокупности линейна.

Указанное условие выполняется, если генеральная совокупность распределена по многомерному нормальному закону.