Супрун Артем Олександрович
Супрун Валентина Єфремівна
Індукція
Принцип. Метод. Задачі.
Кіровоград, 2010
Зміст
Зміст
Вступ
Повна індукція. Приклади
Неповна індукція
Аксіоми натуральних чисел. Еквівалентність аксіоми індукції принципу математичної індукції. Історична довідка. Метод математичної індукції
Неповна індукція і метод математичної індукції в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків
Узагальнення принципу математичної індукції
Деякі відомі визначні нерівності і метод математичної індукції
Задачі на подільність чисел і метод математичної індукції
Доведення деяких рівностей і тотожностей методом математичної індукції
Метод математичної індукції при розв’язуванні геометричних задач
Список літератури
“Розуміння і вміння застосовувати принцип математичної індукції
є добрим критерієм зрілості, яка цілковито необхідна математику”
А.М. Колмогоров
Вступ
Сучасність змушує людину займатися пошуком і вирішенням різноманітних виробничих, наукових і побутових проблем. Від того, наскільки вона володіє методами їх розв’язування, залежить її місце в суспільстві. Особливу роль серед них відіграють математичні методи доведення і розв’язування задач.
В основі будь-якого математичного дослідження лежать дедуктивний і індуктивний методи.
Для математики характерна дедукція (від латинського deductio – висновок). Дедуктивний метод міркувань – це міркування від загального до частинного висновку, тобто мислення, вихідним моментом якого є загальний результат, а кінцевим моментом – частинний результат. У математиці ми застосовуємо дедуктивний метод, проводячи міркування такого типу: дана фігура – прямокутник, а у кожного прямокутника діагоналі рівні, отже, і у даного прямокутника діагоналі рівні.
За своїм первинним змістом слово “індукція” застосовується до міркувань, за допомогою яких одержують загальні висновки, зроблені на основі спостережень і досвіду, тобто одержані шляхом розгляду частинних випадків і узагальнення закономірностей на загальний випадок. Слово “індукція” означає “наведення”. В наукових дослідженнях (особливо в експериментальних науках) використовується індуктивне мислення. Індукція широко застосовується у природничих науках. Так, багато фізичних законів (наприклад, закон Ома, закон Джоуля-Ленца, закон Кулона, тощо) були сформульовані саме на основі узагальнення ряду окремих спостережень.
При відкритті нових математичних істин звичайно приймають участь обидві ці форми умовиводу (дедукція і індукція), але при логічному обґрунтуванні, при доведеннях у математиці застосовують дедуктивний метод.
За індукцією не тільки зручно проводити доведення, а і давати деякі означення.
Наприклад:
Нехай є деяка людина А. Її родичами першого порядку назвемо її батьків і дітей. Якщо визначені родичі k-го порядку, тоді родичами (k+1) порядку для А назвемо родичів першого порядку для родичів А k-го порядку, які не є родичами А меншого порядку. Наприклад, брати та сестри при такому означенні є родичами другого порядку.
Індуктивні визначення мають важливу роль у таких науках, як математична логіка і математична лінгвістика. Доведення за індукцією міцно ввійшли у математичну діяльність. Існує велика кількість модифікацій методу, орієнтованих на різні застосування.
Розглядають повну і неповну індукцію.
Повна індукція