- •Супрун Артем Олександрович
- •Супрун Валентина Єфремівна
- •Індукція
- •Принцип. Метод. Задачі.
- •Іноді зустрічаються задачі, в процесі розв’язування яких треба розглянути всі можливі випадки, тоді на основі цього можна зробити цілком обґрунтований висновок.
- •Приклад №1
- •Доведення
- •Приклад №2
- •Доведення
- •Приклад №3
- •Приклад №4
- •Доведення
- •Приклад №1
- •Доведення
- •Приклад №2
- •Доведення
- •Приклад №3
- •Доведення
- •“Знання людей заслуговує ім’я Науки залежно
- •Неповна індукція і метод математичної індукції
- •1 Спосіб доведення.
- •2 Спосіб доведення.
- •Приклад №5
- •Приклад №6
- •Приклад №1
- •Приклад №2
- •Доведення
- •Приклад №3
- •Доведення
- •Приклад №4
- •Доведення
- •Приклад №5
- •Доведення
- •Приклад №6
- •Доведення.
- •1 Спосіб доведення нерівності Коші
- •Приклад 4
- •Доведення
- •Очевидно, що:
- •Приклад №2
- •Доведення
- •Приклад №3
- •Доведення
- •Доведення
- •Приклад №5
- •Доведення
- •Приклад №6
- •Доведення
- •Приклад №7
- •Доведення
- •Приклад №8
- •Доведення
- •Доведення
- •Приклад №10
- •Доведення
- •Приклад №11
- •Приклад №12
- •Довести методом математичної індукції, що для nєN
- •Приклад №9
- •Приклад №1
- •Доведення
- •Приклад №2
- •Одна пряма ділить площину на дві
- •Приклад №3
- •Доведення
- •Варіанти індивідуальних завдань.
- •Нотатки
- •Методичний посібник
- •25006, М.Кіровоград, вул.Леніна, 7
Неповна індукція і метод математичної індукції
в прикладах і задачах на обчислення сум, добутків
Приклад №1
Знайти формулу для обчислення суми Sn=.
Використаємо неповну індукцію. Розглянемо частинні випадки:
n=1 S1=
n=2 S2=
n=3 S3=
n=4 S4=
n=5 S5=
Можна зробити припущення, тобто виказати гіпотезу, що Sn=.
Доведемо цю формулу методом математичної індукції.
Доведення
1) Базис індукції: При n=1 S1==формула вірна.
2) Індуктивний перехід:
Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто Sk=.()
Виходячи із цього припущення. Доведемо, що воно істине і для n=k+1, тобто, що
Sk+1=, Sk+1= Sk+.
Враховуючи припущення () маємо: Sk+1==.
Отже, формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n.
Приклад №2
Знайти формулу для обчислення суми Sn=.
Використаємо неповну індукцію. Розглянемо частинні випадки:
n=1 S1=n=2 S2=
n=3 S3=n=4 S4=
Можна зробити припущення, тобто виказати гіпотезу, що Sn=.
Доведемо цю формулу методом математичної індукції.
Доведення
1) Базис індукції: При n=1 S1==формула вірна.
2) Індуктивний перехід:
Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто =.
Виходячи із цього припущення. Доведемо, що воно істине і для n=k+1, тобто, що
Sk+1=
Враховуючи припущення маємо: Sk+1==.
Отже формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n.
Приклад №3
Знайти формулу для обчислення суми Sn=.
Використаємо неповну індукцію. Розглянемо частинні випадки:
n=1 S1=
n=2 S2=
n=3 S3=
Розглядаючи ці суми, бачимо, що в чисельнику стоять числа, що виражають кількість доданків даної суми, а в знаменнику – другий множник знаменника останнього доданку. Тому випливає гіпотеза, що Sn==.
Доведемо цю рівність методом математичної індукції.
Доведення
1) Базис індукції:
При n=1, з одного боку S1=і, з другого – S1=формула вірна.
2) Індуктивний перехід:
Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто Sk=.
Доведемо, що рівність має місце і при n=k+1, тобто, що
Отже, формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n.
За допомогою методу неповної математичної індукції можна одержати і формули для добутків, а потім довести їх методом математичної індукції.
Приклад №4
Нехай де
Із рівностей
; n=2 ; n=3; n=4 Робимо індукційний висновок, що
Доведемо цю формулу
1 Спосіб доведення.
1) При n=2 маємо . Формула вірна.
Припустимо, що при n=k, k>2 формула формула справджується, тобто
.
Враховуючи це припущення, доведемо, що вона вірна і при n=k+1.
Формула справджується і при n=k+1.
Отже, за принципом повної математичної індукції, вона вірна і при ,
2 Спосіб доведення.
При доведенні даної тотожності за допомогою методу математичної індукції корисно було б зробити так:
Записати цю тотожність при n=k. (1)
потім при n=k+1. (2)
Поділити (2) на (1), ліву частину на ліву, праву на праву
.
Одержали один і той самий вираз , а це значить, що за методом математичної індукції можна сказати, що дана тотожність справджується при всіх натуральних n.