Приклад №5

Довести методом математичної індукції, що число виду (7ⁿ⁺¹+8^2n-1) 19 при

будь-якому натуральному n.

Доведення

1)Базис індукції:

Переконаємося, що дане твердження має місце при n=1. 7²+8=5719

2)Індуктивний перехід:

Припустимо, що твердження має місце при n=k, тобто (7^k+1+8^2k-1) 19.

Виходячи з данного припущення доведемо, що дане твердження має місце і при n=k+1.

7^k+1+1+8^2(k+1)-1=7^k+17+8^2k-18²=7^k+17+648^2k-1=77^k+1+78^2k-1+578^2k-1=

=7(7^k+1+8^2k-1)+578^2k-1.

Враховуючи припущення і те, що 5719, робимо висновок, що одержана сума ділиться на 19. Отже, твердження виконується і при n=k+1. Тоді за принципом математичної індукції число виду (7ⁿ⁺¹+8^2n-1) 19 при будь-якому натуральному n.

Приклад №6

Довести, що сума кубів трьох послідовних натуральних чисел ділиться без остачі на 9.

Доведення

Нехай це числа n, n+1, n+2. Доведемо, що (n³+(n+1)³+(n+2)³)9.

1)Базис індукції:

При n=1 маємо: 1+8+27=369.

2)Індуктивний перехід:

Припустимо, що при n=k число виду (k³+(k+1)³+(k+2)³)9.

Доведемо, що і при n=k+1 сума буде ділитися на 9.

При n=k+1 маємо: (k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=(k+1)³+(k+2)³+k³+9k²+27k+27=

=( k³+(k+1)³+(k+2)³)+9(k²+3k+3).

K³+(k+1)³+(k+2)³ за припущенням кратно 9.

9(k²+3k+3) 9 бо один з множників цього числа є число 9.

Кожен доданок суми ділиться на 9, тому вся сума ділиться на 9.

За припущенням математичної індукції при будь-якому натуральному n сума кубів трьох послідовних натуральних чисел кратна 9.

Приклад №7

Довести, що число (n³+5n) ділиться на 6, де n – довільне натуральне число.

Доведення

1)Базис індукції:

при n=1 маємо 1+5=66.

2)Індуктивний перехід:

Припустимо, що при n=k число ділиться на 6.

(k³+5k) 6. Доведемо, що і при n=k+1 це число кратне 6.

(k+1)³+5(k+1)=k³+3k²+3k+1+5k+5=k³+5k+3k²+6=k³⁺5k+3k(k+1)+6.

3k(k+1) – цей добуток ділиться і на 3, і на 2 (одне з двох послідовних чисел: k або k+1 є число парне), тому він ділиться і на 6.

Отже, кожен доданок останньої суми ділиться на 6, тому вся сума кратна 6.

За принципом математичної індукції число виду (n³+5n) кратне 6.

Приклад №8

Довести, що для nчисло виду (11ⁿ⁺¹+12^2n-1) кратне 133.

Доведення

1)Базис індукції:

Переконаємося, що при n=1 твердження справджується:

11¹⁺¹+12^2-1=121+12=133133.

2)Індуктивний перехід:

Припустимо, що при n=k (11^k+1+12^2k-1)133.

Виходячи з цього припущення, доведемо, що твердження справджується і при n=k+1.

11^k+1+1+12^2(k+1)-1=11^k+1 11+12²12^2k-1=11^k+111+14412^2k-1=

=11^k+111+1112^2k-1+13312^2k-1=11(11^k+1+12^2k-1)+13312^2k-1.

Кожен доданок одержаної суми ділиться на 133, тому і сума кратна 133.

Отже, при будь-якому натуральному n число (11ⁿ⁺¹+12^2n-1)133.

Приклад №9

Довести, що для nчисло виду (3²ⁿ⁺¹+12ⁿ⁺²) кратне 7.

Доведення

1)Базис індукції:

Переконаємося, що при n=1 твердження справджується: 3²⁺¹+2³=27+8=357.

2)Індуктивний перехід:

Припустимо, що при n=k (3^2k+1+2^k+2)7.

Виходячи з цього припущення, доведемо, що і при n=k+1 число такого виду ділиться на 7.

3^(2k+1)+1+2^(k+1)+2=3^2k+13²+2^k+22=3^2k+19+2^k+22+92^k+2-92^k+2=(3^2k+1-2^k+2) 9-72^k+2

Остання різниця ділиться на 7, тому що (3^2k+1-2^k+2) 7 за припущенням, а 72^k+2

Має множник 7 і весь добуток ділиться на 7.

Число кратне 7 і при n=k+1. за припущенням математичної індукції число виду

(3²ⁿ⁺¹+12ⁿ⁺²) кратне 7 для n.

Часто метод математичної індукції використовують при доведенні деяких теорем абонаслідківз них, в яких йде мова про натуральні числа. Наприклад при доведеннінаслідкузтеореми Безу.