Приклад №3

На площині проведено n кіл так, що кожні два з них перетинаються і жодні три не мають спільної точки. Довести, що вони ділять площину на n²-n+2 частин.

Доведення

1. При n=1 коло ділить площину на дві частини та n²-n+2=1-2+2=2. Отже,

при n=1 твердження істине.

2. Нехай k кіл ділять площину на k²-k+2 частини.

Доведемо, що (k+1) коло ділить площину на (k+1)²-(k+1)+2 частини.

(k+1)^ше коло має 2k спільних точок з іншими k колами (з кожним колом по дві спільні точки). Ці 2k точок розбивають (k+1)^ше коло на 2k дуг. Кожна з цих дуг ділить на дві частини одну з 2k частин площини, на які вона була розбита k колами. Отже, число частин збільшилось на 2k і дорівнює k²-k+2+2k=

=k²+2k+1-(k+1)+2=(k+1)²-(k-1)+2. Значить твердження істине і при n=k+1.

За припущенням математичної індукції воно істине і при будь-якому натуральному n.

Варіанти індивідуальних завдань.

Варіант 1. Визначити суму за допомогою методу математичної індукції.

№ п/п	Завдання	Відповіді
1.	1+2+3+4+…+n
2.	1+3+5+…+
3.	1+2++…+
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.

Варіант 2.

Довести, використовуючи метод математичної індукції, що для довільного натурального числа n істинні твердження:

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

14).

15).

16).

17).

18).

19).

20).

21).

22).

23).

24).

25).

26).

27).

28).

29).

30).

31).

32).

33).

34).

35). для

36).

37).

38).

39).

40). де

41).

42).

43).

44).

45).

Варіант 3.

Довести, використовуючи метод математичної індукції, нерівності.

1. для всіх дійсних .

2. при

3. при

4. при

5. при

6.

7.

8. при

9. при

10. при

11. при

12. при

13. якщо

14. при

15. ,

16.

17. при

18.

19. при

20. при

21. при

22. при

23. при

24. при

Варіант 4.

Подільність чисел і метод математичної індукції.

Довести, що для будь якого натурального .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. , якщо -непарне

10. якщо -парне

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. для

42. 

43. 

44. при

45. 

46. де - парне

47. де -парне

Список літератури

1. Ш.Г.Горделадзе, М.М.Кухарчук, Ф.П.Яремчук “Збірник конкурсних задач з математики”. “Вища школа”, К., 1976, стор 201, 202, 173.

2. М.Б.Балк, Г.Д.Балк “Математика после уроков”. “Просвещение”,1971, стр 277, 282.

3. Р.Курант, Г.Роббинс “Что такое математика ?”. М., 1967 стр 34 – 44.

4. А.В.Шевченко “Математична індукція”. Київ, 1996.

5. Г.И.Глейзер “История математики в школе IX – X классы” стр 53.

6. В.А.Кречмар “Задачник по алгнбре”, М., 1968 стр. 92, 335.

7. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин, А.Г.Мордкович “Математика” Минск, 1996, стр 471.

8. И.А.Галицкий, А.М.Гольдман “Сборник задач по алгебре”. М,1995, стр 8.

9. И.А.Кушнир “Математика для поступающих в вузы”. Киев, 1996, стр 409.

10. И.А.Кушнир “Математическая энциклопедия”, К., 1995, стр389.

11. И.А.Кушнир “Шедевры школьной математики”, кн.1, стр 471, 476.

12. И.А.Кушнир “Неравенства”, стр 345.

13. Т.В.Коваль “400 задач з математичних олімпіад”. Тернопіль, 1998.

14. “Энциклопедический словарь юного математика” М, 1989,

стр 178 – 180, 214, 313.

15. А.Д.Кутасов, Т.С.Пиголкина, В,И,Чехлов, Т.Х.Яковлева “Пособие по математике для поступающих в вузы ”, М., стр 331.