Іноді зустрічаються задачі, в процесі розв’язування яких треба розглянути всі можливі випадки, тоді на основі цього можна зробити цілком обґрунтований висновок.

Якщо при доведенні теореми її поділяють на скінчене число тверджень і доводять кожне з них окремо, то такий метод доведення називається методом повної індукції.

Основою методу повної індукції є слідуюча аксіома логіки:

Якщо якусь властивість мають всі елементи множини А і всі елементи множини B і якщо , то цю саму властивість має і кожен елемент множини M.

Наведемо приклади доведень за допомогою методу повної індукції.

Приклад №1

У 1742 р. член Петербурзької Академії наук Х.Гольдбах у листі до Леонарда Ейлера висловив гіпотезу, що кожне парне число, більше від 2, можна подати як суму двох простих чисел. Ця гіпотеза досі не доведена і не спростована. Але, якщо обмежитись числами, меншими від певного числа, то таке твердження можна довести.

Доведення

Доведемо, наприклад, що всяке парне число, яке задовольняє нерівність , можна представити у вигляді суми двох простих чисел. Оскільки таких чисел скінчене число, то це твердження можна довести методом повної індукції, розглянувши всі можливі випадки:

4=2+2; 10=3+7; 16=5+11; 22=5+17; 28=5+23;

6=3+3; 12=5+7; 18=5+13; 24=7+17; 30=7+23;

8=3+5; 14=3+11; 20=3+17; 26=13+13; 32=29+3.

Твердження доведено.

Приклад №2

Довести, що коли n – довільне число, то серед трьох чисел n, n+10, n+14 обов’язково є число, яке ділиться на 3.

Доведення

Зазначимо, що довільне число n або ділиться на 3, або дає при діленні на 3 остачу, що дорівнює 1 або 2.

n=3k або n=3k+1, або n=3k+2. Тому розглянемо відповідні три випадки:

1) n=3k, тобто , де k – натуральне число.

У цьому випадку твердження виконується – одне з чисел (число n) ділиться на 3;

2) n дає при діленні на 3 остачу 1, тобто n=3k+1.

Тоді , твердження виконується;

3) n дає при діленні на 3 остачу 2, тобто n=3k+2.

Тоді n+10=3k+2+10=3k+13=3(k+4)3.

Отже, в усіх можливих випадках одне з даних чисел ділиться на 3 і тому твердження доведено.

Приклад №3

Довести, що при кожному цілому n число .

Доведення

n-n²=(n-1)n – це добуток двох послідовних цілих чисел. Одне з них обов’язково парне і ділиться на 2.

Кожне ціле число n при діленні на 2 дає остачу 0 або 1:

1) Якщо остача r=0, то n=2k, .

2) Якщо остача r=1, тоді n=2k+1

n-1=2k+1-1=2k. Отже, . Інших випадків немає. Отже, яким би не було ціле число n, один із співмножників n, n-1, а тоді їх добутокділиться на 2.

Приклад №4

Довести методом повної математичної індукції, що кожне натуральне число, яке задовольняє подвійну нерівність є або простим, або можна його записати не більше, як трьома простими співмножниками.

Доведення

Запишемо всі числа, які задовольняють дану нерівність

n=2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15.

Серед даних чисел простими є числа 2; 3; 5; 7; 11; 13/

З останніх: 4=22; 6=23; 8=222; 9=33; 10=25; 12=223; 15=35.

Теорему доведено.

Неповна індукція

Інколи загальний висновок можна зробити після розгляду не всіх можливих випадків, а тільки деяких. Таке міркування не є строгим доведенням і називається неповною індукцією.

Результат, одержаний неповною індукцією, це гіпотеза, яка вимагає строгого доведення. Наведемо декілька прикладів.