994

другими величинами той же размерности) определяет «степень

DaНТOваности» рассматриваемой физической системы.

h имеет размеРllOСТЬ «действия}>, Т.е. «энергия» х «время» (эрг'с или дж с). h называют «элементарным (или универсальным) квантом действия».

Классическая физика применима для объяснения тех или иных явлений

ЛИШь тогда, когда все величины действия велики по сравнению с элементарным квантом действия.

И, наконец, в опытах Франка и Герца было показано, что электроны

В атоме могут поглощать или испускать энергию только определенными

порциями или квантами.

ilE = hv.

Рис.l.2.

в этих опытах пролускали через газ (например пары Hg) пучок электронов. При этом было обнаружено, что, при возрастании энергии

влетающих в газ электронов, СИJlа регистрируемого тока резко

уменьшается каждый раз, когда их энергия оказывается равной энсргии

возбуждения атома. Т.е. электроны в атомах ртути могут поглощать

энергию только определенными порциями.

Эти явления были открыты и осмыслены в первой четверти 20 века.

К этому же времсни относятся попытки дать модель атома с помощью

массической теории, добавив к ней )\ОIIOЛIIИТeJIЫiые условия.

Замечательной моделью атома стала модель Бора, который объяснил

'Строение атома используя классическую физику и введя свои знаменитые

постулаты о квантовании момента количества движения электрона.

Баровекая модель позволяла хорошо вычислить уровни энергии для атома

водорода и водородоподобных атомов, хорошо объясняла спектры

.водорода и водородоподобllЫХ атомов, конечно, была гениалыIмM

11

предвидением новой квантовой теории. Однако, ее несостоятелыlOСТЬ

очень быстро выяснилась при рассмотрении строения простейших молекул

итогда усилиями целой плеяды блестящих физиков (Шредингером,

Гейзенбергом, Дираком и де-Бройдем) была создана кваllтовая механика - основа всей современной физики. Квантовая механика оказала огромное

влияние на развитие естествознания, в том числе и на химию и особенно

на ту область химии, которая включает в себя учеlluе о строении

вещества. И чтобы покончить с этапами становления квантовой механики и перейти к ее основам, следует остановиться еще IIа очень важном и вместе с тем самом необычном представлении, которое по существу лежит в основе квантовой механики -::по представление о том, что в микромире

нельзя точно определить координату микрочастицы и ее импульс

(одновременно) - Т.е. нельзя детально описать поведение частицы в

пространстве.

Точность определения координаты и импульса OJ'раничивается

равенством	м· Ых ~ n, Т.е. соотношением неопределеНIIОСТИ Гейзенберга.
Здесь f'..x	(а также Ау и 62) дают предел точности в определении

координат частицы, а ЛРх (а также Ы'у и Mz) - предел точности определения составляющих импульса вдоль координат, Т.е. от "Р;' до "Рх + АР;' и Т.Д.

JTO значит, что если мы хотим иметь точное представление об

импульсе частицы, то мы должны отказаться от ВО1МОЖНОСТИ знать точно

ее местоположенис и наоборот.

Из соотношения неопреДСJIенности вытекает самое важное и самое

трудное для восприятия положенис, а именно то, что мы не имеем права

детально описывать поведение частиц в пространстве. Или другими

словами наши знания о состоянии микрочастицы в I1ространствс носят

вероятностный характер.

Если неопределенность в координате Х опредсляется координатой

дХ, в импульсе Ы'х и так !JO все координата:.1:

Ду·А.Ругп

f:.,z·Мzгп

то состояние микрочастицы в I1ростравстве можно ОIlределить конечным

объемом - ячейкой фазового пространства

L1x. Ау· f:.,z. Мх· Му· Mz г п3

12

Внутри hJ - не имеют смысла понятия макромеханики, Т.е.

«коорл;ината», «скорость» и л;ругие. Как это можно понять? Что значит,

точно знать координату и импульс (или скорость)? В классической физике

- это значит, в кажды й момент времени иметь возможность замерить

скорость и зафиксировать положение тела.

Можно ли это сделать для микрочастицы, например электрона в

атоме? Для этого нужно «осветить» электрон светом, длина волны

которого соизмерима с размером хотя бы атома - 10-&см (это частота

рентгеновских лучей). Энергия кванта

Е -= h v	hc	6.62 ·10-27 ·3·1010	-- 20 . 1О -9 эрг
	-= - л, -=	1О -8

или 6,62 . 10-34 ·3 ·108

------- = 20 ·\0··16 Дж

10-10

Потенциал ионизации атома волорода 1 = 20·1 0·1) эрг = 20·1 О l'Дж, Т.е.

на три порядка меньше энергии кванта рентгеновских пучеЙ.

Значит, освещение атома длинной волны - 10-R CM приведет к тому,

что электрон будет выбит из атома, и о его состоянии (его импульсе) мы

ничего сказать нс можем. Т. е. соотношение неопредсленности, это не результат того, что мы не можем создать ТОЧНЫЙ прибор и все измерить. Это связано с природой частиц, это особенность микромира.

Если мы хотим одноврсменно измерить Е и t (время), когда электрон (или фотон) имеет эту энергию, то точность этих измерений тоже

ограничена IIРИНЦИПОМ неопрсдслснности в таком виде: М . /).{ ~ 11 .

Огромная заслуга в установлении общих принципов описания

явлений микромира принадлежит Нильсу Бору. Бор сформулировал

знаменитый nринциn доnолlfumелыlсmu,' который включаст в себя

особенности постановки задачи о наблюдении. «ДОIlОЛНИТСЛЫЮСТЬ

характеризует новую ситуацию в отношении описания физических

явлений - нельзя точно опрсдеjlИТЬ две взаимно дополнительные

физические величины». При этом I:>op писал, что «как бы далеко не

выходили явления за рамки классического физического объяснения все

опытные данные должны описываться при !JOмощи классических

понятиЙ».

Итак, в первой трети 20 столетия усилиями цслой плсяды б:Iестящих

физиков создание квантовой механики, которая по праву считается

основой вссй современной физики, было завсршено.

Существуют разные методы построения квантовой механики. Они отличаются друг от друга различной сложностью математического

аппарата. Самый распространенный метод - это метод l1lредuнгера. Он наиболее нрост в математическом отношении и мы будем пользоваться

13

тоже именно этим методом квантовой механики. Основы квантовой

механики принято представлять в виде совокупности ряда постулатов или

положений.

1.2. Постулаты квантовой механики

Постулат 1

Систему частиц можно характеризовать функцией 'Р (QJ, ... Qnt),

которая называется волновой функцией, и через которую определяются все

измеримые величины ДЛЯ системы из n частиц, где q - I!ространственные

координаты и t - время. дЛЯ стационарных систем 'Р является функцией

только координат.

Физический смысл имеет произведение 'I! .'I!' .d, (чаще пишут

'I!',!Jd,), эта величина определяет вероятность нахождения координат частиц в объеме dr. Такую интерпретацию дал Борн. А поскольку каждая

частица обязатсльно ДОJlжна быть в какой-то точке пространства, то интегрирование по вссму 3n-мерному пространству дает:

f'1! *'Pdz-::: 1

Т.С. достовсрность

Это условие называется нормировкой. 'I! * - комплексно-сопряженная

волновая функция. Дело в том, что волновую ФУНКЦИЮ часто удобно

выражать в виде комплексного числа			\f'::: а + ib, тогда этому
комплексному	числу	соответствует	комплсксно-сонряжснное
\"f1* ::: а - ib. rIроизведсние		Ч"Ч' всегда будет действительнос число, и

поэтому мы, для упрощения будем пользоваться действительными

ФУНКЦИЯМИ. Итак, Ч"Ч' =',!11 2 - эту величину часто называют ПЛОТНОСТЬЮ

вероятности координат частицы и тогда сама 'f'-амплитуда плотности

вероятности, а 'f"'Jldr -вероятность нахоЖДсния частпцы в объеме dr

Такая интсрпретация '\р12 как IIJЮТНОСТИ вероятности нахо/щтся в

согласии с основным ПРИIllЩПОМ квантовой механики - принципом

псопреДСЛСН!lОСТИ ГсЙзенберга. Исходя из СМЫС.lа '\р12 • dr, волновая

функция должна обладать рядом свойств. Она должна быть:

•однозначной

•непрерывной

•конечной

14

Функции, удовлетворяющие этим требованиям, называются

1егуЛЯрНblМU.

Постулат 2

Каждой физически наблюдаемой в классической механике величине I квантовой механике сопоставляется линейный оператор.

Оператор - это значок (или символ), который показывает какое

~ействие нужно произвести над функцией, чтобы ПОЛУЧИТЬ новую

af(x)

I>ункцию. Например, когда мы функцию дифференцируем, то в дх

()

шачок fu является оператором дифференцирования и тогда можно

lаписать:

Bf(x) = af(x)	B=~
ах ,где	ах

Очень важным оператором в квантовой механике является оператор

Тlаnласа, который обозначается А или v2 (набла). Этот оператор

]Оказывает, что от функции нужно взять сумму вторых производных по юординатам x,y,Z:

2

82 f

82 f

82 f

V f(x,y,z)=--~ +--::;-Z+-2

ах"

су

8z

в квантовой механике применя\Отся линейные операторы, т. е. такие

:шсраторы, которые удовлетворяют условиям:

1. P[~(x)+ f2 (x)]=Ffj (x)+Ff2 (x)

F[cf(x)]=cFf(x) и

F[c\~(х)+С2Г2(х)]= c\Ff\ (х)+c2Ff2 (х)

где f, (х) И t; (х) - ПРОИЗВОЛЬНblС функции И С, И С, - произвольные

постоянные. Jlинейныс операторы можно складывать и умножать:

2.Если А и В являются линейными операторами, то:

А+ В =S (т. е. их линейная комбинация)

"""В=Р s и р тоже линейные операторы.

3. Если

сумма

двух

операторов

S'" А + В,

то

Sf(x) = (А + B)f(x) = АЛх) + Bf(x)

Произведение l' '"А· R

15

Pf(x) = ABf(x) = A[Bf(x)]

в общем случае порядок расположения двух операторов в

произведении не безразличен, т. е. линейные операторы не обязательно

коммутируют. Если же А· В == В . А, то операторы обладают свойствами

коммуmаmи8110сmи.

Важным

свойством

операторов

является

свойство

самосопряженности поскольку операторы должны приводить к

вещественным значениям веJfИЧИН, то должно выполняться условие

fЧJ*РРdr = f\fF*\f*dr,

т.е. если в операторе есть i, то перед ним меняется знак. Если в

результате применения оператора F к регулярной функции f получается

вновь та же фупкция, умноженная на некоторое число }., т.е. F . f =}! то

все члены указанного класса функций наэываются собственными

функциями оператора F а различные возможные значения ),

соответствующие собственным функциям, называются собственными

зна'lениями этого опсратора.

Как же определить какой оператор нужно сопоставить той или иной динамической персменной? Есть правило нахождения квантово­

механических операторов, которое состоит в следующем:

Вклассической механике все динамичсские величины можно

выразить в !lсременных р и q , т.с. через пространетвенную координату и

импульс. Если динамическая перемеllНая являстся пространственной координатой q, то соответствующий ей оператор будет оператор

умножения Q , т.к. ОI1срация состоит в умножении функции Н3 эту

координату

"

Q\f1 q\f1

Q-оператор, соответствующий q

ПотеНJЩалыlOЙ энергии тоже сопоставлястся оператор умножения на эту величину, т.к. потенциальная энергия являстся функцией координат

V(q) - V(q) . Оператор, соответствующий количеству движения или

импульса обозначается

P== -lгt- =-1п v

~ ./;. д ·t.п

aq

и является дифференциальным оператором псрвого порядка.

16

. дЧ'

Он переводит функцию I.f' в - ln -aq. Если взять компоненты

IЫПYльса, то соответствующие им операторы будут:

•	д" .д.				а
Р	=-in--	Р	=-zn-	Р	=-in-
х	ах;	у	ау;	Z	Bz

lJnepaTopbI tpx, pJ lpx, р=J и lpy'pz j -коммутируют между собой (такжс

5u и операторы координаты), а операторы импульса и	координаты не
Ioммyтируют. Разность А·fзfз·А = [А,fзJ называется	коммутатором.

[}ператоры коммутируют если коммутатор равен нулю (или "исчезает") .

[Рх , х] = рхХ - хРх = - ifz и Т.д.

Важно, что две физические величины могут быть одновременно

намерены, если их операторы коммутируют. Принцип неопредсленности

,именим к тем величинам (или "наблюдаемым"), опсраторы которых не

рмутируют. Кинетическая энсргия

2	р2
Т= mv	= _
2	2т

Составляющие кинетической энергии по координатным осям

Р 2	Р 2	т =	pz2
Т =_Х_	т =_у_
х 2т	у 2т	z	2т

Операторы, соответствующие компонснтам кинетических энсргий в

[llnpавлснии трех осей:

ГЛ= (-Пi~;У'2т= -л~~2

Т,о

2т д}/

Оператор кинетической энергии:

i =- _n~(~+~+~)=_!CV2 =_!Ct\.

2т дх2

д}/

az2

2т

2т -

Полная энергия классичсской систсмы равна сумме кинетической

и

~нциалыюй ЭIIСРI'ИЙ:

E=T+V

Оператор

полной

энергии

или

оператор

Гамильтона

Н

~деляется как

сумма

операторов

кинетической

и

потенциальной

~гий:

" п2 (

82

82

82 )

+ V.

n2

2

+ V.

н =- ---

-

+ -

+ -

=- -- \l

2т

дх2

ду2

8z 2

(х,у,:)

2т

(x,y,z)

17

Pf(x) = ABf(x) = A[Bf(x)]

В общем случае порядок расположения двух операторов в

произведении не безразличен, т. е. линейные операторы не обязательно

коммутируют. Если же А· В = В . А , то операторы обладают свойствами

коммуmаmuвllосmu.
Важным	свойством		операторов		является	свойство
самосопряженности		поскольку		операторы	должны	приводить	К
вещественным значениям величин, то должно выполняться условие
		fЧJ*F'PdТ = J'PF*'P*dT,
Т.е. если в операторе		есть	i, то	перед ним	меняется	знак. Если	в
результате применения оператора F				к регулярной функции f получается

вновь та же функция, умноженная на некоторое число ;., Т.е. F . f = Af то

все члены укюанного класса функций называются собственными

функциями оператора F а рюличные возможные значения А.,

соответствующие собствснным функциям, нюываются собственными

значениями этого оператора.

Как же определить какой оператор нужно сопоставить той или иной

динамической персменной? Есть правило нахождсния квантово­

механических операторов, которос состоит в следующем:

Вклассичсской механике все динамичсские величины можно

вырюить в псременных р и q , Т.е. через пространствснную координату и

импульс. Если динамическая перемспная является пространствснной координатой q, то соответствующий ей оператор будет оператор

умножения Q , Т.К. Оllсрация состоит в умножении функции па эту

координату

"-

Q\f1 q\f1

Q-оператор, соответствующий q

Потенциальной энсргии тоже сопоставляется оператор умножения на эту величину, т.к. потенциальная энергия является функцией координат

V(q) - V(q). Оператор, соответствующий количеству движения или

импульса обозначастся

р"'" -i1i~=-i1i'V

aq

и является дифференциальным опсратором первого порядка.

16

Он персводит функцию \тТ/ В - 1"Р!aq'д У Если взять компоненты

импульса, то соответствующие им операторы будуг:

,	,д'		.д,		д
Р	== -ln-	р	=-ln-	Р	= - j"' -
х	дх',	у	ау",		rt Jz
ОператорЫ lPx, ~.J,	l.px,.pJ и l.Py		, Р.j -коммутируют между собой (также

как и операторы координаты), а операторы импульса и координаты не

коммутируют. Разность А'в-В·А= [А,вj называется коммутатором,

Операторы коммугируют если коммутатор равен нулю (или "исчезает") .

[Рх,х]== Рхх - хРх == -i1i ит.д.

I3ажно, что две физические всличины могут быть одноврсменно измерсны, если их операторы коммугируют. Прющип неопредсленности применим к тем величинам (или "наблюдаемым"), операторы которых не коммутируют. Кинетическая энергия

тv2 р2

Т==-=-

2 2т

Составляющие кинетической энергии по координатным осям

Т	р 2	т	=: Ру	2	Т	~
	== _Х_					== Р•~
х	2т	у	2т		z	2т

ОIlсраторы, соотвстствующие компонентам кинетических энергий в

направлснии трсх осей:

Оllсратор кинетической эпергии:

i~--~~(~+~+2 2		-~1=_~V2 '=-~~
2т дх	qJ	Иz2) 2т	2т

Полная энергия классической системы равна сумме кинетической и

потенциальной энсргий:

E=T+V

Оператор полной энергии или оператор Гамильтона Н

определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной

Энергий:

С этим оператором мы будем работать в будущем.

й- самосопряженный линейный оператор; при этом, ПОСКОЛЬКУ он не

содержит" i", то Й ;: й' и значит

JЧJ·ЙЧ'dт = JЧJЙЧ'·dT

Постулат 3

в общем виде этот постулат утверждает, что если волновая ФУНКЦИЯ

Ч' есть собственная функция оператора F , то можно написать уравнение: ftч1 =,1.Ч'

где ,1. - есть собственное значение оператора fr .

Собственные функции и собственные значения самосопряженных

операторов обладают следующими важными свойствами:

1. Собственные функции любого самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям -- ортогональны

между собой во всем интервале изменения переменных:

S'l'n 'l'm dr =0

2. Если одному собственному значению оператора соответствует

несколько различных линейно-независимых собственных функций, то

ФУНКЦИИ нэзываются вырожденными.

л

Если в качестве F взять оператор полной энергии Н, то для

стационарных систем (т.е. систем для которых энергия не изменяется во

времени) можно записать:

л

Fl'Y = ЕР

где Е - полная энергия системы в данном состоянии - постоянная

величина (не зависящая от координат и времени).

Это и есть уравнение Шредингера в операторной форме.

Если раскрыть оператор Гамильтона, то получится уравнение Шредингера в таком виде:

л li 2	2	'( )
н =--v		+V x,y.z
2т

--п2v2 Ч'+V·'f'=Е·Ч' 2т

1i2

--v2 Ч'-(Е-V)Ч'=0

2т

v2Ч'+ 2m(Е_V)Ч'=О

п2

18