994
.pdfв разных книгах по квантовой механике формулируется разное количество
постулатов. Три, отмеченные выше, обязательны. Еше в качестве
постулата формулируют и следующее свойство микросистемы:
Dостулат4
в квантовой механике собственное значение какого-либо оператора
получается в том случае, если функция 'р, описывающая состояние
системы, является собственной функцией данного оператора. Во всех
других случаях приходится иметь дело со средними значениями (ипи
ожидаемыми) механических величин:
-JЧ'*F'Pd!"
.tl :::~---
JЧ"Ч'dТ
Если функция нормирована, то
А = J'l'*F'I'dr
Если функция 'f известна, то среднее значение механической
величины можно определить, используя оператор F |
данной |
механической величины. Если же ФУНКЦИЯ 'f является собственной
функцией оператора F , то
Х::: JЧ"F'I'dТ::: JЧ'*,iЧ'dТ:::,iJ'P'Y'd!"=A
т.е. IIолучается собственное значение оператора F .
Например, можно определить среднее значение (или ожидаемое)
импульса частицы или одной из его компонент:
р= JЧ{-jh-~)'Р'dТ
ХJqAJI'dT
Такая ситуация может возникнуть в том случае, если система из n
частиц характеризуется волновой функцией 'f'.А мы для каждой из частиц
будем определять ипи координату х, или кинетическую энергию Т, ЮIИ
Компонент импульса Р" или импульс р . Вот тогда мы сможем найти
ОЖИдаемое или среднее значение всех этих величин.
19
1.3.Некоторые простые задачи квантовой механики и
уравнение Шредингера
1.3.1.Электрон в nотетlЦUалъном ящuке
вквантовой механике рассмотрение различных физических систем
сводится к решению уравнения Шредингера. При этом сначала нужно:
составить оператор Гамильтона, подставить его в уравнение и решить его.
Рассмотрим сначала некоторые простые системы, которые имеют большое
значение для изучения молекулярных и кристаллических систем и для
спектроскопии, а также решим задачу, связанную с движением электрона в
оrpаниченном замкнутом пространстве. Представим себе мысленно (физики любят ставить такие «мысленные» опыты), что мы поместили электрон в ящик с бесконечно высокими стенками, внутри которого
потенциальная энергия равно нулю. Вне ящика она настолько велика, что
электрон не может выйти из ящика. Допустим он двигается только вдоль
оси Х.
V;:.()
~---1, ---.------?" х
Рис.l.3 а.
Его состояние описывается волновой функцией '1'. Тогда уравнение
Шредингера для него запишется так:
Если это уравнение решить, то получим, что Ч' может иметь
следующий вид:
ч' == А . sin kx 'JI=в .cos kx; 'JI:::: А . sin kx + В . cos kx
Какое выбрать? Для этого нужно определить какое из этих решений
удовлетворяет rpаничным условиям: '1' =0, когда Х =о и Х =L (т.е.
20
ЭЛеКТРОН не может покинуть ящик). Таким требованиям удовлетворяет 'р;: А. sin kx (так как '1'=В ·coskx удовлетворяет этим требованиям только
при В =О, и тогда '1'всегда будет равна О, это не годится).
При Х = L |
'1'= О, |
если |
kL = т; ; |
nл |
тогда |
|
. |
ПЯ |
х. Если |
k =- |
'Jl= А . sш |
_. |
|||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
подставить '1'в уравнение Шредингера, то получим |
|
|
|
||||||
d'P |
N" |
n7t |
d 2'Jl |
n2,,2 |
• |
n" |
n2 ,,2 |
|
|
-:::::-Acos-x· --=---Аsш-х=---'Jl |
|||||||||
dx |
L |
L' dx 2 |
L2 |
|
L |
L2 |
|
|
|
|
|
_ n27(2 'Jl+ 2т E'V =О |
|
|
|
|
|||
|
|
|
L2 |
п2 |
|
|
|
|
|
|
|
n27(2 |
8,,2т |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 'Jl= -- E'V |
|
|
|
|
|||
|
|
|
L2 |
h2 |
|
|
|
|
|
n2h2
Е=-
8mL2
Это значит, что энергия электрона в ящике I<вантуется - принимает
значения пропорциональные квадрату целых чисел п=I,2,З,... Если
пространство буде велико (L велико), то
Еn+1 - Еn -j- О
( |
Е |
М1 |
-Еn=~[(n+lY_n2 ]1 ~O |
|
|
8тL |
IJ |
||
Если масса частицы велика, то |
Еn+, - Еn -+ О и квантования энергии |
|||
тоже не будет.
Как себе это можно llредставить (рис.l.3 6)?
в силу двойственной природы, движение электрона носит волновой
характер. В ограниченном пространстве волна может распространяться
Только в том случае, если вдоль длины укладывается целое число
IIОЛУВОЛН, Т.е.
А
L = n--
2
где 11 - любое целое положительное число (рис. l.3б)
При движении в трехмерном ящике (с длинами сторон а,Ь,с) элеКТРОII
Имеет три степени свободы и его энергию можно рассматривать как сумму
составляющих по трем координатным осям, Т.е.
E=Ex+Ey+Ez.
21
Волновую функцию, описывающую состояние электрона, можно представить как произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты (исходя из вероятностных представлений в
описании состояния микрочастиц. Вероятность сложного события равна произведению вероятностей отдельных событий).
!
y~o:> !
I
Рис.l.3 б.
tp = Х(х). У(у). Z(z).
Тогда при решении уравнение Шредингера преобразуетсSl в три
обыкновенных дифференциальных уравнения, которые могут быть легко
решены.
В соответствии е (раничными условиями
х=о и х=а, у=о и у =Ь, z=O и z=c
энергия электрона в трехмерном ящике будет определяться:
2 h2 |
n 2 h 2 |
2 h2 |
Е= nX__ +..2.._+~_ |
||
8mа2 |
8mЬ2 |
8mс2 , |
где nх' nу' n, - квантовые числа.
Таким образом, решение уравнения Шредингера для элеюрона в
потенциальном ящике привело к очень важному результату:
энергия электрона в ограниченном пространстве может принимать лишь
определенные дискретные значения, Т.е. квантуется. Это справедливо, не
только для электрона, но и для любой микрочастицы.
22
/.3.2. Гармонический линейный осциллятор
Гармоническим линейным осциллятором называют колебательную систему, представляющую собой частицу с массой m и совершающую
движение вдоль по прямой линии под действием силы F, пропорциональной смещению Х от ПО1l0ження равновесия. Сила F
стремитсЯ вернуть частицу в положение равновесия F = -kx. Теория
гармонического осциллятора имеет в физике большое значение, т.к. многие системы можно рассматривать как совокупность осцилляторов. Все молекулы имеют колебательные степени свободы, которые можно описать
с помощью теории гармонического осциллятора.
Рис.1.4.
Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора можно представить следующим образом:
Потенциальная энергия осциллятора будет:
х |
х |
1 |
2 |
итогда: |
|
V = - JFdx =k Jxdx = - |
kx |
|
|||
о |
о |
2 |
2) |
|
|
d 0/ |
2m( |
1 |
|
|
|
2 |
+fi2 E--ikx |
|
|
|
|
dx2 |
|
0/=0 |
|||
Если решить это уравнение, то получаются следующие результаты:
Собственные ВОлновые функции 'Vбудут иметь следующий вид:
0/0 = (-2a)li7r е_ш2
HJ |
|
_ |
(2a)li |
|
yz |
_ах2 |
|
Т |
1 |
- |
- |
7r |
а хе |
итд |
|
|
|
|
2 |
|
.. |
||
23
2.Собственные значения оператора Й , т.е. разрешенные
энергетические уровни:
Еу = (v + 12~vo
Очень важные результаты квантомеханического рассмотрения можно обобщить следующим образом:
1. Гармонический осциллятор может иметь лишь определенные
разрешенные значения энергии, при этом расстояния между
уравнями энергии одинаковые.
2.Целые числа v являются колебательными квантовыми числами.
3.В нижнем квантовом состоянии при v=O энергия осциллятора не
обращается в пуль: Ео ::: 12 hvo; это нулевая энергия.
/3. 3. Жесткий ротатор
Систему, состоящую из двух масс т! и m2 , находящихся друг от
друга на фиксированном расстоянии r , и вращающихся вокруг общего
центра масс, называют жестким ротатором. Момент инерции ротатора
2 |
2 |
|
2 |
|
I =mlr1 |
+m2r2 =mr |
|
где |
|
|
|
т = |
т'·Ш2 |
|
|
|
- --- |
||
|
|
|
|
т 1 + m 2 - приведенная масса. |
Для такой системы потенциальная энергия V =о и в декартовых
координатах уравнение Шредингера запишется следующим образом:
24
1
Поскольку для жесткого ротатора m = 2 ' то данное уравнение
r
моЖНО рассматривать, как уравнение Шредингера для ОДНОЙ частицы с
массой J и r =I , вращающейся вокруг начала координат по поверхности
сферы:
:r
Рис. 1.5.
Если теперь представить себе волновую функцию, как функцию двух
сферических координат (третья координата r=1)
'Р(9, <р)== В(9). ф(q;)
и взять оператор Лапласа в сферических координатах, то решение уравнения Шредингера даст возможные значения энергии, которые может
принимать ротатор
n?
Е«ращ == 21 J(J + 1)
где J = 0,\,2,3... |
Целочисленность квантового числа J определяет |
дискретность энергии ротатора. Этот результат имеет существенное
значение при рассмотрении вращательного движения двухатомных
молекул.
ГЛАВА 2. Строение атомов
2.1. Атом водорода в квантовой механике
Итак, именно квантовая механика стала той современной фИЗИКОЙ,
Которая смогла объяснить строение вещества и в первую очередь строения
аТома. Естественно начать рассмотрение строения атомов с простейшеr'О
аТО1'.1аатома водорода. Рассмотреть строение атома водорода в квантовой механике - это значит решить для него уравнение Шредингера.
эта задача для двух частиц, так как атом состоит из протона и
электрона. Но известно, что масса протона почти в 2000 раз больше массы ЗJ1ектрона. Поэтому можно считать, что протон закреплен в центре атома, а
25
движение электрона рассматривать в поле фиксированного ядра. Таким
образом задачу можно свести к одной частице, движущейся вокруг неподвижного ядра под влиянием заряда ядра, но с лриведенной массой
теМп =
m =----------- те
mе+М п
т.е. в случае электрона и ядра приведенная масса может быть принята за массу электрона. Это хорошее приближение.
Запишем уравнение Шредингера для атома водорода
v 2 '1'+ 2пт2 -(E-V)Ч'=О
|
е2 |
потенциальная энергия |
V::O - -r (Z = 1) |
и тогда |
|
п=~
2JТ
решить уравненне в таком виде математически довольно сложно. Но мы всс-таки проследим по этапам решение и обсудим результаты, которые
получаются при этом. Поскольку потенциальная энергия выражается как
е2
--- И электрон движется в поле сферической симметрии, то нам вообще
r
удобнее перейти от декартовых координат к полярным, которые
выбираются следующим образом:
Полярная система координат характеризуется параметрами
" 9 rp , которые связанны с декартовыми координатами следующими
соотношениями:
z=r· cos.9
х= r . sin 9 . cos qJ
у=r . sin .9 .sin rp
у =tgrp
х
26
z
Оператор Лапласа в полярных координатах
, 1д(2д) |
+ |
1 (i |
+ |
1 |
- |
д(. д) |
||
'\1-=-- |
r - |
г2 sin 2 f} д(/ |
г2 sin.9 |
|
sш.9- |
|||
г2 дr |
дг |
|
|
д!} |
д8 |
|||
Мы не будим заниматься этим переводом, а сразу им воспользуемся. Уравнение Шредингера в полярных координатах будет выглядеть так:
Чтобы решить это уравнение нужно разделить переменные. Для эт()го сначала нужно 'l' выразить как функцию полярных координат и
найти частные производные по всем переменным (полярным координатам)
'V(r, .9,Ф)= R(r )0(t9)t/{ф) = R· О . Ф
B'V = BR оф
Br дr
!Э'Р.. = де Rф
д.9 д8 |
и Т.д. |
дЧJ = Е..?"'ЯО
дгр дгр
lIодставим в уравнение Шредингера
27
r 2 sin 2 ,9
Умножим равенство на -щ
Одно из слагаемых зависит только от 'р, перенесем его в правую
часть
Теперь в левой части все величины зависят от r И ,9, а в правой
только от (jJ. Если при всех значениях переменных обе части уравнения:
равны между собой, это значит они равны nосmояюlOй величине.
Обозначим ее т,2 . Тогда
1 д2ф |
2 |
- Ф a«i |
=т, (l) |
Пока оставим это в таком виде, и разделим еще две перемеНl1ЫС.
Левая часть уравнения тоже равна т,2, разделим ее на sin 2 .9
и опять можно разделить переменныс
Та же самая ситуация. Мы обозначим эти части как с = 1(1 + 1)
~_ |
1 ~(Siпsд(})::::С=Z(I+l) |
|
|
sin 2 S |
(}sinSaS |
дS |
(2) |
28