Содержание и порядок выполнения работы

1. Вычислить значения максимальных нормальных и касательных напряжений в опасном сечении вала.

2. Определить расчетные характеристики сопротивления усталости элементов вала с учетом влияния основных факторов.

3. Рассчитать коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

4. Вычислить общий коэффициент запаса циклической прочности и сравнить с нормированным значением коэффициента запаса [n] = 1,3.

5. При необходимости рекомендуется сменить марку стали или ввести упрочняющую обработку поверхности.

Глава XIII.Основы механики разрушения

Несмотря на бурное развитие науки и техники, в середине XX века мир стал свидетелем ряда крупных катастроф. Из 2500 кораблей типа «Либерти» 145 разломились пополам, а около 700 претерпели серьезные разрушения. Взрывались ракеты, наблюдались многочисленные разрушения газопроводов и т.д. Общим для всех этих происшествий было катастрофическое развитие трещин. Такие случаи стали встречаться все чаще по мере увеличения габаритов конструкций и увеличения прочности материалов.

В 1957 году в США сформировалось новое направление механики, которое получило название «Механика разрушения».

Из физики твердого тела известно, что теоретическая прочность материалов на порядок и более превышает их фактическую прочность. Немаловажную роль в этом феномене играют различного рода дефекты, присущие материалу, начиная от дефектов кристаллической решетки (дислокации, вакансии, внедренные атомы различных элементов и т. д.) и кончая макроскопическими дефектами, в том числе и трещинами различного происхождения.

В узком смысле слова «Механика разрушения» изучает условия разрушения твердых тел при наличии в них макроскопических трещин.

13.1 Проблема оценки прочности тел с трещинами

Если рассматривать трещину в рамках линейной теории упругости как математический разрез, то она представляет собой концентратор напряжений с теоретическим коэффициентом концентрации, равным бесконечности. В этом случае классический подход к оценке прочности по допускаемым напряжениям теряет смысл, так как при любой самой малой нагрузке всегда найдутся точки в материале, эквивалентные напряжения в которых будут превышать любое критическое значение. Таким образом, с точки зрения этой теории, тело с трещиной должно иметь нулевую прочность, что явно противоречит опыту.

Тот же опыт показывает, что существуют материалы, называемые хрупкими, которые разрушаются без заметных пластических деформаций, при этом, если в материале имеется трещина, последняя с ростом нагрузки до поры до времени не увеличивается в размерах, а после достижения нагрузкой некоторого критического значения почти мгновенно распространяется, приводя тело к разрушению.

13.1.1 Теория Гриффитса

В 1920 году появилась основополагающая работа английского ученого А.А. Гриффитса, который провел серию научных экспериментов на стекле и дал теоретическое обоснование влияния размеров трещин на величину разрушающих напряжений.

Для теоретического анализа Гриффитс воспользовался решением задачи о бесконечной пластине с эллиптическим отверстием, нагруженной на бесконечности напряжениями σ. Трещина моделируется эллипсом, малая полуось которого равна нулю, а большая - половине длины трещины l (рис.13.1). Перемещения берегов трещины для этого случая описываются формулой:

. (13.1)

Гриффитс рассмотрел изменение потенциальной энергии системы при переходе от цельной пластины к пластине с трещиной.

После нагружения цельной пластины закрепим ее на бесконечности и введем математический разрез длиной 2l, моделируя реальную трещину. Берега трещины получат перемещения v, описываемые приведенной формулой (13.1). Чтобы захлопнуть трещину, к ее берегам необходимо приложить напряжения σ, так как в этом случае напряженное состояние пластины с трещиной будет полностью эквивалентно напряженному состоянию цельной пластины.

Подсчитаем работу, приходящуюся на единицу толщины пластины, которую надо затратить на эту процедуру. Если за обобщенную силу принять интенсивность сил, приложенных к берегам трещины, равную напряжению σ, то за обобщенное перемещение следует принять площадь эллипса с полуосями l и v_max. Эта площадь будет равна

,

а затраченная на закрытие трещины работа может быть найдена как

.

Потенциальная энергия системы при возникновении трещины уменьшится на величину .

Далее Гриффитс рассуждал так. Пусть для образования единицы свободной поверхности необходимо затратить работу γ, равную плотности поверхностной энергии. С другой стороны при переходе от трещины с полудлиной l к трещине с полудлиной l+dl высвобождается потенциальная энергия

.

Разрушение возможно без дополнительного подвода энергии, если высвобождающейся энергии достаточно для образования дополнительной свободной поверхности. Так как высвобождающаяся потенциальная энергия зависит от напряжения σ, можно определить критическое напряжение σ_с, при котором возможно начало нестабильного разрушения, из уравнения

Отсюда вытекает уравнение, связывающее критическое напряжение и длину трещины в виде:

.

Гриффитс провел обширные эксперименты на стекле по проверке своей теории. Обнаруженные отклонения не превышали 5%.

Подобные решения для большинства практически важных случаев нагружения долгое время встречали непреодолимые математические трудности, кроме того, считалось, что предложенная теория годится только для хрупких материалов.

В 50-х годах теория Гриффитса была распространена и на пластичные материалы при условии, что размер пластической зоны в области вершины трещины мал по сравнению с размерами трещины и, тем более, размерами самого тела. Было введено понятие интенсивности освобожденной энергии G, т.е. величины освободившейся энергии, приходящейся на единицу дополнительно образовавшейся площади трещины.

.

Так для пластины, растягиваемой на бесконечности напряжениями σ при плоском напряженном состоянии

,

а при плоской деформации

.

Если предположить, что для образования единицы площади трещины надо затратить некоторую работу , включающую как работу на создание свободной поверхности, так и работу на пластическое деформирование приповерхностной области, то условие начала нестабильного разрушения примет вид: