16.2.4. Динамические системы, вращающиеся вокруг оси, лежащей в плоскости системы

Для заданного ломаного стержня (рис. 16.5, а), вращающегося вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью , требуется найти допускаемое число оборотов в минуту, если известны геометрические характеристики динамической системы, физические и механические характеристики материала.

Для решения задачи определим величины и распределение инерционной нагрузки во всех элементах ломаного стержня (см. рис. 16.5). В стержнях 1 и 5 инерционные силы принимаем равными нулю.

В стержнях 2, 4 выделим элемент длиной dz на расстоянии z от оси вращения, определим величину элементарной центробежной силы dF_ин, действующей на этот элемент.

(16.18)

Так как инерционная нагрузка направлена по радиусу от центра, то она создает только продольную составляющую силу, интенсивность которой составляет

(16.19)

где

В стержнях 2 и 4 интенсивность инерционной нагрузки изменяется по линейному закону, достигая максимума в предельном удалении от оси вращения. В стержне 3 интенсивность инерционной нагрузки будет постоянной.

(16.20)

Эпюра инерционных нагрузок в стержнях приведена на рис. 16.5, б. Направление инерционной нагрузки показано стрелками.

Продольная сила в произвольном сечении стержней 2 и 4 имеет зависимость параболы второго порядка.

(16.21)

При расчете динамической системы собственным весом стержней обычно пренебрегают по причине, указанной выше.

Для определения реакций на опорах запишем уравнение статического равновесия системы.

Примем , тогда:

Проверка:

Запишем выражения силовых факторов (N, Q, M_изг) на участках.

Определим экстремальное значение изгибающего момента на 3-м участке.

Эпюры силовых факторов приведены на рис. 16.5, в, г, д.

При определении опасного сечения из анализа эпюры силовых факторов следует, что наиболее опасными сечениями могут быть два сечения: сечение I стержня 3 с наибольшим изгибающим моментом М_изг = 2,65a² и сечение II стержня 4 с моментом М_изг = 2,4a² и продольной силой N = 1,2a².

Условие прочности для сечения 1 (сечение круглое):

Учитывая и, определим допускаемое число оборотовn.

(16.21)

Для определения предельного значения скорости вращения в формуле (16.21) вместо допускаемого напряжения [] необходимо подставить предел текучести _т.

Условие прочности для сечения II:

(16.22)

Из полученных двух значений чисел оборотов, рассчитанных по условиям прочности сечений I и II, в качестве допускаемой величины берем наименьшее.

Вопросы для самопроверки

1. Какие задачи в курсе сопротивления материалов относятся к задачам динамики?

2. Что учитывает динамический коэффициент?

3. Почему при вращательном движении не учитывают собственный вес системы?

4. Какие дополнительные задачи решаются в задачах динамики в сравнении с задачами статическими?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источники [1] (гл. 13, § 91); [2] (гл. 16, § 49).

Контрольная работа № 16. Расчет динамических систем. Вращающийся ломаный стержень

Вал и жестко соединенная с ним рама того же поперечного сечения вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси вала (рис. 16.6, табл. 16.1).

Требуется:

1. Определить силы инерции, действующие на элементы конструкции. Построить эпюру сил инерции.

2. Построить эпюры силовых факторов (N, Q, M).

3. Определить возможные опасные сечения.

4. Вычислить допускаемое и предельное число оборотов вала.

Таблица 16.1

Цифра шифра	Номер схемы	а, см	l, см	d, мм	, кН/м^3	[], МПа
1	1	50	40	20	78,5	80
2	2	60	50	22	–	100
3	3	40	60	24	–	120
4	4	30	70	25	–	140
5	5	35	30	30	–	160
6	6	45	45	26	–	180
7	7	55	55	32	–	90
8	8	65	65	35	–	110
9	9	70	75	28	–	150
0	10	75	35	34	–	130