Пример 1

Определить запас устойчивости для стального стержня (Ст. 3) круглого поперечного сечения диаметром d = 32 мм, шарнирно закрепленного концами, длиной м, сжимаемого силойкН.

Решение

1. Определяем гибкость стержня.

Радиус инерции см.

Приведенная длина см.

Гибкость .

Гибкость оказалась меньше 100, но больше 40, следовательно, стержень относится к разряду средней гибкости.

2. Определяем критическое напряжение по формуле Ясинского–Тетмайера:

МПа,

коэффициенты а и b определяем из справочных таблиц.

3. Определяем действующее напряжение:

Па = 62,2 МПа,

.

Проектировочный расчет, связанный с подбором сечений, – это процесс более трудоемкий. Задача решается методом последовательных приближений.

Пример 2

Подобрать прямоугольное сечение с отношением сторон для стержня с жестко закрепленным одним концом и шарнирно опертым другим. Коэффициент запаса [n]_у = 2, длина стержня . Стержень центрально сжимается силойкН. Материал Ст.3, МПа.

Решение

1. Определяем площадь поперечного сечения

, м = 17 см²,

см, принимаем см.

2. Вычисляем гибкость.

Радиус инерции

см.

Гибкость .

Стержень относится к разряду стержней большой гибкости.

3. Проверяем правильность выбора сечения по уровню 5 %-го отклонения от заданного запаса устойчивости.

,

критическое напряжение находим по формуле Эйлера.

МПа,

МПа,

1,05МПа,

Па = 111,0 МПа > 40 МПа.

Проверка показывает, что стержень перегружен более, чем на 5 %, что недопустимо.

Следовательно, проводим второе приближение.

Принимаем см,

см;

МПа;

МПа;

1,05МПа;

МПа;

> 63,8 МПа;

= 63,8 МПа < 63,88 МПа.

Подобранное сечение удовлетворяет условию устойчивости.

14.5. Практические методы расчета на продольный изгиб

В предыдущем разделе указывалось, что расчет на устойчивость в зависимости от гибкости проводится по трем различным формулам. Такой подход весьма нежелателен, так как является возможным источником некоторых ошибок.

Анализируя формулы критических напряжений для стержней средней и большой гибкости, можно сделать вывод, что центрально сжатые стержни теряют свою несущую способность из-за потери устойчивости раньше, чем из-за потери прочности, так как критическое напряжение всегда меньше предела прочности:

σ_кр < σ_оп,

где σ_оп = σ_т  для пластичных материалов; σ_оп = σ_в  для хрупких материалов, где σ_в – предел прочности.

Для стержней малой гибкости несущая способность стержней определяется прочностью материала:

σ =  ≤ [σ],

где [σ] = ; [n] – запас прочности.

При продольном изгибе условие устойчивости, как было рассмотрено выше, записывается в виде

F ≤ .

Поделив левую и правую части неравенства на площадь поперечного сечения A, получим

 =  ≤  . (14.24)

Меньшие значения [n]_у принимают при большей гибкости.

Принимая= [σ_y], получим формулу

 =  ≤  [σ_у]. (14.25)

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость можно сопоставить с допускаемым напряжением при расчете на простое сжатие [σ_сж]

 = =. (14.26)

Здесь  – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе по сравнению с допускаемым напряжением при простом сжатии.

В этой формуле величины [n], [n]_у и σ_оп постоянны для каждой конкретной задачи, а величина σ_кр зависит от гибкости стержня. Отсюда следует, что коэффициент  всегда меньше единицы, зависит, в первую очередь, от гибкости стержня (геометрического фактора) и от механических свойств материала (σ_пч, кривая устойчивости):

 = f(λ,σ_пч). (14.27)

Учитывая выражение (13.27), получим

[σ]_у = [σ_сж]. (14.28)

Коэффициент  в зависимости от гибкости λ может быть вычислен для разных материалов и представлен в виде табл. 14.1.

Таблица 14.1

Гибкость λ	Коэффициент 
	Ст2, Ст3, Ст4	Ст5	Чугун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48

Окончание табл. 13.1

Гибкость λ	Коэффициент 
	Ст2, Ст3, Ст4	Ст5	Чугун	Дерево
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43	–	0,25
120	0,45	0,36	–	0,22
130	0,40	0,33	–	0,18
140	0,36	0,29	–	0,16
150	0,32	0,26	–	0,14
160	0,29	0,24	–	0,12
170	0,26	0,21	–	0,11
180	0,23	0,19	–	0,10
190	0,21	0,17	–	0,09
200	0,19	0,16	–	0,08

При наличии аналогичных таблиц можно достаточно просто рассчитывать стержни на устойчивость.

Условие устойчивости имеет вид

 ≤  [σ_у]. (14.29)

Так как σ = , а [σ]_у =  [σ]_сж, то условие устойчивости принимает вид

 =  ≤  [σ]_сж, (14.30)

или

σ = ≤ [σ]_сж. (14.31)

При расчете на устойчивость вводится полная площадь А_бр поперечного сечения, местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы.