14.6. Расчет на продольный изгиб по методу предельного состояния

При расчете на продольный изгиб по методу предельных состояний сохраняются те же значения коэффициентов , что и при расчете по допускаемым напряжениям, но в данном случае на этот коэффициент умножают не допускаемое напряжение, а расчетное сопротивление R. Тогда расчетная формула принимает вид

(14.32)

где N – расчетное усилие в сжатом стержне, стойке или колонне; m – коэффициент условий работы;  – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при расчете на прочность; R – расчетное сопротивление при простом сжатии; – площадь поперечного сечения (брутто).

Расчеты на продольный изгиб по коэффициенту  делятся на три основные группы:

1. Известны длина стержня, его поперечное сечение (размеры и форма), условие закрепления концов и допускаемое напряжение на сжатие. Необходимо определить допускаемую силу.

2. Заданы размеры и форма сечения стержня (стойки), задана сила F, допускаемое напряжение для материала. Необходимо проверить на устойчивость.

3. Заданы длина стержня, условия закрепления концов, допускаемое напряжение на сжатие и величина сжимающей силы. Следует определить сечение стойки.

14.7. Проверочный расчет на устойчивость

1. Учитывая размеры и форму сечения, определяют наименьший осевой момент инерции, площадь , минимальный радиус инерции, гибкость.

2. По таблице находят коэффициент  и вычисляют допускаемое напряжение на устойчивость по формуле .

3. Сравнивают действительное напряжение с допускаемым напряжениемна устойчивость:.

14.7.1. Определение допускаемой силы

1. Определяется площадь сечения, осевой момент инерциирадиус инерции, гибкость стойки.

2. По таблицам, применяя линейную интерполяцию, определяют коэффициент для найденного значения гибкости.

3. Определяется допускаемое напряжение на устойчивость .

4. Определяется допускаемая сила .

14.7.2. Проектировочный расчет

Анализ расчетной формулы на устойчивость

указывает на то, что в формуле имеются две неизвестные:  и Они связанны между собой, однако зависимость между ними не выражается простой формулой. Исключить одну из этих величин и заменить ее на другую невозможно. В связи с этим подбор сечений сжатых стержней приходится проводить методом последовательных приближений. Сущность этого метода заключается в следующем.

В начале расчета задаются значением коэффициента , которое принимают обычно равным . По принятомузначению определяют требуемую площадь и затем подбирают само сечение. После того как сечение подобрано, вычисляется гибкость стержня, по таблицам находят точное значение коэффициента. Если полученная величина значительно отличается от принятой в начале расчета, то необходимо сделать второе приближение, приняв среднее значение между и –

(14.33)

и затем снова повторить все вычисления, в результате чего получим величину . Разница междуиуменьшается, но если она будет все же достаточно велика (более 5 %), то проводится следующее приближение

и т.д. Обычно при подборе требуется не более двух-трех приближений.

14.8. Выбор материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней

В случае стержней большой гибкости, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности материала, модуль упругости Е является единственной механической характеристикой, от которой зависит сопротивляемость стержня потере устойчивости, и тогда становится явной нецелесообразность применения сталей повышенной прочности, так как модуль упругости для различных сталей практически одинаков.

Для стержней с малой и средней гибкостью применение высокопрочных сталей целесообразно, так как в этом случае повышение предела текучести стали приводит и к повышению критического напряжения, а следовательно, и повышению запаса прочности.

С точки зрения экономии материала наиболее рациональна такая форма поперечного сечения стержня, при которой величина наименьшего радиуса инерции при определенной площади будет величиной наибольшей:

, (14.34)

где – удельный радиус инерции.

Наиболее рациональными будут трубчатые и коробчатые тонкостенные сечения. При проектировании трубчатых и коробчатых сечений необходимо предусматривать ребра жесткости на определенных расстояниях по длине стержня. Ребра жесткости препятствуют появлению местных деформаций (короблений) стенок. Как показывает анализ формулы (14.34), наименее рациональным сечением является прямоугольное.

При проектировании сжатых стержней на устойчивость необходимо стремиться к тому, чтобы они были равноустойчивы во всех направлениях, т.е. главные моменты инерции были по возможности одинаковы.

Если приведенные длины в главных плоскостях различаются, то и главные моменты инерции также следует проектировать разными с той целью, чтобы величины гибкости стержня в обеих главных плоскостях были одинаковыми или близкими по значению. В случае, если это не представляется возможным, то расчет следует вести по максимальной гибкости.