14.2. Устойчивость центрального сжатого стержня в пределах пропорциональности (упругости)

Впервые задача, относящаяся к исследованию вопроса об ус- тойчивости равновесия упругого тела, была решена в 1744 г. Леонардом Эйлером, членом Российской Академии наук.

Им было найдено то значение центрально сжимающей нагрузки F, при котором вертикально заделанный нижним концом стержень начинает искривляться (рис. 14.1).

Пока сжимающая силаF не велика, стержень АВ сохраняет устойчиво свою прямолинейную форму, и деформация будет заключаться в простом сжатии. Если какой-либо горизонтальной силой вызвать небольшое искривление стержня, то по удалении этой силы стержень возвратится к своей первоначальной прямолинейной форме равновесия.

Такая устойчивость прямолинейной формы сохраняется только до известных пределов. Постепенно увеличивая силу F, можно достигнуть такого предельного состояния, когда малейшая причина может искривить стержень, и по удалении причины, вызвавшей искривление, стержень к прямолинейной форме не возвращается. Задача заключается в том, чтобы определить это «критическое» значение силы F.

Мы предполагаем, что стержень свободно может искривляться в любом направлении, поэтому, очевидно, искривление должно произойти в направлении наименьшего сопротивления, т.е. в плоскости наименьшей жесткости стержня. Выберем эту плоскость наименьшей жесткости за координатную плоскость x, y.

Пусть при некотором значении силы F, большем критического, стержень АВ изогнулся, как показано на рис. 14.1 пунктиром. Если теперь уменьшать постепенно силу F, то уменьшаться будет и искривление стержня. Когда мы в пределе достигнем критического значения F, т.е. того значения, при котором только становится возможным появление искривления, искривленная форма сольется с прямолинейной. Если сжимающая сила на малую величину превосходит критическое значение, то искривленная форма мало отличается от прямолинейной; этим воспользуемся для нахождения значения F_кр. В данном случае здесь мы идем как бы обратным путем: полагаем, что возможна искривленная форма и определяем, какова для этого должна быть сжимающая сила F.

Возьмем какое-либо сечение и напишем для верхней отсеченной части (см. рис. 14.1) условие равновесия внешних и внутренних сил. Для сечения мы имеем:

М = F(δ – y). (14.2)

При выбранном направлении осей вторая производная положительна. Положителен и моментМ.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид

, (14.3, а)

или

, (14.3, б)

где

. (14.3, в)

Общий интеграл этого уравнения напишем так:

(14.4)

Произвольные постоянные определяются из условий на концах изогнутого стержня:

при I) ,II) ;

при III) .

Из I имеем: .

Из II имеем: ,.

Следовательно,

. (14.6)

Чтобы удовлетворить условию III, необходимо принять

или

Учитывая условие (14.3, в), получим:

. (14.7)

Наименьшее значение F_кр, при котором становится возможным искривление, будет равно

. (14.8)

Полученное значение и будет «критической» сжимающей силой, при которой становится возможной предположенная нами искривленная форма равновесия.

Формула (14.8) показывает, что критическая сила пропорциональна наименьшей жесткости стержня и обратно пропорциональна квадрату его длины.

Впервые вывел эту формулу Эйлер, поэтому ее называют формулой Эйлера для определения критической силы при продольном изгибе.

При выводе этой формулы использовалось дифференциальное уравнение изогнутой оси. Оно было справедливо в пределах пропорциональности материала, следовательно, полученная формула будет действительна только в тех случаях, когда напряжения при критической нагрузке не превосходят предела пропорциональности.