- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Глава XIII.Основы механики разрушения
- •13.1 Проблема оценки прочности тел с трещинами
- •13.1.1 Теория Гриффитса
- •13.1.2 Метод податливости
- •13.1.3 Напряженное состояние вблизи вершины трещины понятие коэффициентов интенсивности напряжений
- •13.1.4 Связь между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений
- •13.1.5 Оценка размеров и формы пластической зоны
- •13.1.6 Критерий хрупкого разрушения
- •13.2 Определение характеристик статической трещиностойкости
- •13.3 Характеристики трещиностойкости при циклическом нагружении
- •Глава XIV. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •14.1. Понятие об устойчивости и критической силе
- •14.2. Устойчивость центрального сжатого стержня в пределах пропорциональности (упругости)
- •14.3. Зависимость критической силы от условий закрепления
- •14.4. Предел применимости формулы Эйлера. Продольный изгиб за пределами пропорциональности
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •14.6. Расчет на продольный изгиб по методу предельного состояния
- •14.7. Проверочный расчет на устойчивость
- •14.7.1. Определение допускаемой силы
- •14.7.2. Проектировочный расчет
- •14.8. Выбор материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •14.9. Расчет составных стержней на устойчивость
- •14.10. Пример расчета на устойчивость составных стержней
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Глава XV. Безмоментная теория тонкостенных осесимметричных оболочек
- •15.1. Основные понятия
- •15.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории
- •15.3. Методика расчета на прочность (проектировочный расчет)
- •15.4. Примеры расчета осесимметричных оболочек Пример 1
- •Пример 2
- •Вопросы для самопроверки
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Глава XVI. Задачи динамики в сопротивлении материалов
- •16.1. Основные понятия
- •16.2. Влияние сил инерции
- •16.2.1. Стержень, движущийся по направлению своей продольной оси
- •16.2.2. Вращающийся стержень
- •16.2.3. Вращающееся кольцо (обод маховика)
- •16.2.4. Динамические системы, вращающиеся вокруг оси, лежащей в плоскости системы
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава XVII. Расчеты на ударную нагрузку
- •17.1. Вертикальный удар
- •16.2. Горизонтальный удар
- •17.3. Примеры расчета на ударные нагрузки Пример 1
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки
- •Содержание и порядок выполнения работы
14.3. Зависимость критической силы от условий закрепления
От рассмотренной задачи легко перейти и к некоторым другим случаям продольного изгиба. Возьмем, например, стержень, оба конца которого при выпучивании могут свободно поворачиваться (рис. 14.2), т.е. шарнирное закрепление. Касательная в середине выпучивающегося стержня будет параллельна первоначальной оси стержня, и, следовательно, обе половины изогнувшегося стержня будут в таких же условиях, как и в рассмотренном выше случае. Критическая сжимающая сила будет равна
. (14.9)
До сих пор мы рассматривали первую форму, которой соответствует наименьшее значение сжимающей силы. Рассмотрим теперь другие формы искривления.
В общем виде упругая линия определяется уравнением
,
где .
Мы рассмотрели случай и получили первую возможную форму. Полагаяили, найдем
, или .
Соответствующие кривые представлены на фигурах а и б (рис. 14.3, а, б).
Распространяя эти кривые симметрично в сторону отрицательных направлений z, как это показано на рисунке пунктиром, получим различные искривления формы равновесия с опертыми концами. В местах пересечения сил F с искривленной осью будем иметь точки перегиба; изгибающей момент для этих точек равен нулю. Все эти высшие формы возможны при больших значениях сжимающей силы, и все они, как показывает опыт, неустойчивы.
|
|
Рассмотрим еще один случай, могущий иметь критическое значение – случай сжатия стержня с заделанными концами (рис. 14.4).
Чтобы помешать концам поворачиваться, нужно приложить моменты в плоскостях заделки. Это равносильно приложению сжимающих сил F с некоторым эксцентриситетом. На линии действия сил F должны лежать точки прогиба изогнутой оси стержня. Видно, что полученную кривую опять можно привести к первому разобранному случаю, если взять длину ; тогда получим формулу
, (14.10)
т.е. критические сжимающие силы в этом случае в 16 раз больше, чем в первом случае, и в четыре раза больше, чем для шарнирного закрепления (см. формулу (14.9)).
Д
Рис. 14.5
,
где R – реакция шарнирного закрепления.
или
,
общим решением этого уравнения будет
, (14.11)
где
.
Для определения постоянных С1 и С2 , а также реакции R рассмотрим условия на концах: приипри.
Соответственно этим условиям запишем три уравнения:
, ,
(14.12)
Все эти уравнения удовлетворяются при С1 = С2 = R = 0; в этом случае прогиб отсутствует и имеет место тривиальная форма равновесия. Для возможности возникновения выпученной формы равновесия необходимо существование решения системы уравнения (14.12), отличного от тривиального (нулевого) решения. Уравнения (14.12) являются однородными и содержат неизвестные С1, С2 и R. Подобная система уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Таким образом, получаем так называемое «уравнение выпучивания»:
или, раскрывая определитель, получим трансцендентное уравнение
,
которое определяет критическую нагрузку.
Наименьший корень, удовлетворяющий уравнению, равен .
Следовательно,
.
Тогда
.
Приведенные формулы Fкр для различных случаев можно объединить в одну:
, (14.13)
где – приведенная длина стержня, определяемая по формуле, а – коэффициент приведения, с помощью которого стержень любого типа сводят к стержню, шарнирно опертому на концах, для которого при наименьшем значения Fкр потеря устойчивости сопровождается изгибом с одной полуволной.
Понятие приведенной длины впервые было введено Ф.Е. Ясинским.
На рис. 14.6 приведены коэффициенты и для четырех рассмотренных случаев.