14.4. Предел применимости формулы Эйлера. Продольный изгиб за пределами пропорциональности

Определяем критические напряжения при продольном изгибе.

Дальнейший анализ проведем для шарнирно опертых стержней, как наиболее широко встречающихся; все же остальные случаи при расчетах будем сводить к этому случаю изменением длины стержня за счет введения приведенной длины вместо действительной.

Так как при действии критической нагрузки стержень все еще сохраняет первоначальную прямолинейную форму упругого равновесия, то критическое напряжение в нем определяется, как при простом сжатии, т.е.

.

Учитывая, что осевой момент инерции и подставляя это выражение в формулу для критического напряжения, получим

. (14.14)

Отношение называют гибкостью стержня. Она равна отношению длины стержня к минимальному радиусу инерции. Обозначим гибкость через λ.

Тогда

, (14.15)

формула для критического напряжения имеет вид

. (14.16)

Для стержней с другими условиями закрепления:

. (14.17)

Из формулы (14.16) следует, что критическое напряжение прямо пропорционально модулю упругости материала стержня и обратно пропорционально квадрату его гибкости.

Кроме того, формула (14.16) свидетельствует о том, что большое влияние на величину критических напряжений оказывает длина стержня, т.к. она входит в эту формулу в квадрате.

Если увеличивать длину стойки, сохраняя неизменным геометрические размеры его поперечного сечения, то опасность продольного изгиба быстро возрастает. Так, при увеличении длины в три раза критическое напряжение уменьшается в девять раз, т.е. стержень теряет устойчивость при очень низком значении напряжений.

Как указывалось выше, формула Эйлера применима лишь в том случае, если критическое напряжение не превосходит предел пропорциональности материала. Это следует из того, что в основу вывода формулы положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Учитывая, что границей применимости формулы Эйлера является тот случай, когда , можно записать:

,

где _пц – предел пропорциональности материала.

Решая это уравнение относительно λ, получим:

. (14.18)

Правая часть формулы (14.18) представляет собой наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима – это так называемая предельная гибкость λ_пред:

.

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня, его модуля упругости и предела пропорциональности.

Условие применимости формулы Эйлера с учетом выражения (14.18) можно записать в следующем виде:

. (14.19)

Следовательно, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что гибкость больше предельной.

Для стали Ст3 Е = 2·10⁵ МПа, МПа, тогда

.

Для сталей с повышенным значением предельная гибкость уменьшается. Для некоторых марок легированных сталей60–70, для сосны, ели, для чугуна, для дюралюминия60–80.

При гибкости стержня, меньшей предельной, критическое напряжение, если его определять по формуле Эйлера, получается выше предела пропорциональности При гибкости λ = 60 по формуле

МПа,

т.е. величина значительно больше не только предела пропорциональности, но также предела текучести и временного сопротивления разрыва (предела прочности).

Такое различие связано с тем, что для определения критического напряжения по формуле (14.16) предполагается постоянным угловой коэффициент схематизированной диаграммы испытания материала. Для действительной же диаграммы угловой коэффициент зависит от напряжения и может рассматриваться как текущий, переменный модуль упругости. Этот мгновенный модуль должен учитываться в выражении для эйлеровой критической силы. Из этого следует, что реальная критическая сила будет отличаться от той, которую дает схематизированная линейная диаграмма соответственно в том отношении, в каком мгновенный модульЕ^* отличается от модуля Е. Мгновенный модуль Е^* всегда меньше Е.

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критическое напряжение определяется по эмпирическим формулам. Наиболее широкое распространение получили эмпирические формулы Тетмайера–Ясинского, в основу которых положен линейный закон изменения критических напряжений в следующем виде:

. (14.20)

Коэффициенты а и b определяются на основании экспериментальных данных. Для стали Ст. 3 при гибкости   100 МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

, (14.21)

где с = 0,53.

При некотором значении гибкости (₀) величина вычисленная по формулам (14.20) и (14.21), становится равной предельному напряжению при сжатии, т.е.

, (14.22)

а для хрупких материалов

. (14.23)

Стержни, у которых   ₀, называют стержнями малой гибкости, т.е. их рассчитывают только на прочность.

На рис. 14.7 изображен график критических напряжений для Ст. 3.

График критических и допускаемых напряжений

Он состоит из трех частей: гиперболы Эйлера, определяемой по формуле (14.16) для стержней большой гибкости (), наклонной прямой линии, построенной по формуле (14.20) для стержней средней гибкости () и прямой параллельной оси при малых гибкостях оси (  40), где опасным является достижение критическим напряжением предела текучести, , (14.22, 14.23).

Из приведенного графика видно, что при  < 100 формула Эйлера дает завышенное значение критических напряжений (пунктирное продолжение гиперболы Эйлера), и, следовательно, потеря устойчивости произойдет при меньшей нагрузке и меньших критических напряжениях, чем это следует из формулы Эйлера. Аналогичные графики могут быть построены и для других материалов, которые по характеру будут соответствовать вышеприведенному и отличаться от него только числовыми значениями. Задаваясь коэффициентом запаса для стержней средней и большой гибкости, который принимают обычно для металлов 2–3, для дерева –3–4, можно построить график допускаемых напряжений (см. рис. 14.7). Этим коэффициентом запаса учитывается, кроме чистого продольного изгиба, еще целый ряд побочных факторов: возможный небольшой эксцентриситет приложения нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и т.д.