4. Гибридная система

4.1. Определение гибридной системы

Гибридной системой называется математический объект

где: s – вектор переменных состояния размерности n ; f(s), g(s) – заданные вектор-функции или правая часть алгебро-дифференциального уравнения;

; ; , ,

со свойствами, обеспечивающими существование и единственность решения s(t).

Составляющие вектора s₁, s₂ называют дифференциальной и алгебраической компонентами решения соответственно. Учитывая, что любая неавтономная система может быть приведена к автономной, мы в дальнейшем не будем различать их, и записывать правые части уравнений в приведенной выше форме: S₀ – множество начальных условий, включающее в себя все начальные условия, порождаемые функций инициализации в процессе функционирования гибридной системы; – булевская функция, определенная на решениях алгебро-дифференциального уравнения, выделяющей особые состояния, или события, приводящие к смене поведения;– булевская функция, определяющая свойства решения;– вещественная функция, ставящая в соответствие значению решения в правой, конечной точкетекущего промежутка интегрирования значение новых начальных условий на новом временном промежутке в его левой, начальной точке;– гибридное время.

В этом определении пояснения требуют два момента – необходимость введения системы алгебро-дифференциальных уравнений, вместо обсуждавшихся до сих пор систем дифференциальных уравнений, и новый термин – гибридное время. Начнем с последнего, так обоснование необходимости введения систем алгебро-дифференциальных уравнений будет дано при рассмотрении компонентных моделей.

4.2. Гибридное время

Ньютоновская модель времени родилась при формулировании законов классической механики. В представлении Ньютона время является самостоятельной сущностью реального мира, что позволяет говорить о его математических моделях. Ньютон различал:

• физическое (астрономическое) время:

«…относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как-то час, день, месяц, год»;

• абсолютное (математическое) время:

«Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью».

Ньютоновское время характеризуется непрерывным направленным течением с постоянной скоростью. Еще одно важное свойство этой модели – абсолютность времени, позволяющая синхронизировать все параллельно протекающие процессы. Математической моделью ньютоновского времени является вещественная ось, по которой с постоянной скоростью пробегает переменная t (время), двигаясь из прошлого в будущее, в пределах от –до + .

С непрерывным временем неразрывно связаны обыкновенные дифференциальные уравнения, применяющиеся для описания непрерывных во времени процессов. В обыкновенных дифференциальных уравнениях, время – это единственная независимая переменная, от которой зависит положение точки x(t) .

, .

Если мы перейдем от неавтономной к автономной системе, в которой время t трактуется как координата:

, ,

, ,

то в новой записи в явном виде появится уравнение «часов».

В абсолютном непрерывном времени не возникает проблем с синхронизацией параллельно протекающих процессов. При рассмотрении многих реальных физических процессов часто отказываются от свойства непрерывности времени и вводят дискретное время. Под дискретным временем понимают любую упорядоченную, неограниченно возрастающую последовательность вещественных или рациональных чисел, а чаще всего множество целых чисел.

Аналогично тому, как непрерывное время является независимой переменной в дифференциальных уравнениях, дискретное время играет роль независимой переменной в разностных уравнениях.

Говоря о разностных уравнениях, мы будем считать, что некоторая функция z(t) определена только в точках сетки , поэтому она и получила название сеточной. Сеточные функции и разностные уравнения в моделировании возникают как аппроксимации исследуемых непрерывных зависимостей.

Дискретное время, наряду со временем непрерывным, естественным образом появляется там, где наблюдается разделение поведения на «быстрые» (дискретные или мгновенные действия) и «медленные» (непрерывные или длительные) действия. Примером может служить «быстрый» цифровой регулятор (УУ), управляющий движением «медленного» непрерывного объекта (ОУ) (рис 14), где Y – «непрерывная» координата объекта, Y_m – ее квантованное значение, полученное с измерительного прибора, а U – управляющий сигнал.

Рис. 14. Функциональная схема устройства, состоящего из управляющего

устройства (УУ) и объекта управления (ОУ), охваченных

обратной связью

В этом случае при описании совместной системы «объект-регулятор» возникают одновременно дифференциальные (уравнения объекта).

и разностные уравнения (уравнения регулятора)

,

, ,

образующие совместную систему дифференциально-разностных уравнений (объект-регулятор):

где y(t) – вектор, характеризующий состояние объекта управления, а – управляющее воздействие.

В этом примере мы явным образом сталкиваемся с комбинированным способом описания времени, в виде последовательных отрезков, внутри которых наблюдаем длительные действия с конечными скоростями, и последовательности точек, где все действия совершаются с бесконечной скоростью. Однако эта последовательность может превращаться в конечное множество и даже в один единственный полуоткрытый справа интервал , в случае, если гибридная система вырождается в классическую динамическую систему.

Естественным образом такую последовательность отрезков назвать гибридным временем, добавив в нее «временные щели» (time gap) – отрезки нулевой длительности, в которых (и только в которых!) переменные могут меняться скачками.