5. Поведение гибридного автомата

Строя некоторый математический формализм мы стремимся в качестве его прототипа выбрать некоторый класс реальных объектов, свойства которых он должен воспроизводить. Примером содержательного поведения гибридного автомата может служить полет и отскок мячика. Характерными особенностями рассматриваемых нами реальных процессов и соответствующих им моделей являются их бесконечное развитие во времени и детерминированность. Возможность бесконечного движения системы и детерминированность свойственна естественно и классической динамической системе, что обеспечивается существованием и единственностью решения в окрестности начальной точки и его продолжаемостью на всю временную ось. Возникает вопрос, при каких условиях эти свойства будут и у траекторий гибридной системы.

5.1. Бесконечные траектории примитивного гибридного автомата

Очевидно, что в примитивном гибридном автомате бесконечное движение системы будет наблюдаться либо при бесконечном срабатывании перехода, либо при вырождении системы в некоторый момент времени в классическую динамическую систему. При очевидном условии, что инвариант будет истинным на решении с любым начальным условием, выбранным с помощью функции Init. В противном случае поведение автомата следует считать недопустимым, и он должен вырабатывать специальный символ, говорящий о невозможности дальнейшей работы. В этом случае, с точки зрения внешнего наблюдателя, происходит, как иногда говорят, блокировка автомата.

Для вырождения в классическую динамическую систему достаточно, чтобы на очередном временном промежутке при выбранных начальных условиях никогда бы не стал истинным предикат, обеспечивающий очередное срабатывание перехода, и всегда обеспечивалась бы истинность инварианта на решении.

Будем называть примитивный автомат реализуемым на множестве S₀, если для любых начальных условий , вырабатываемых функциейInit, существует единственное решение задачи, удовлетворяющее заданным с помощью функции Inv свойствам. Или иначе, функция Init вырабатывает только допустимые в указанном смысле начальные условия.

Множество начальных условий S₀ можно разбить на два непересекающихся подмножества S_0d и S_0c, называемых подобластями длительных (непрерывных) и вырожденных длительных (дискретных) состояний, таких что и. Существование непустого подмножестваможет приводить к тому, что в последовательностиможет найтись номерN, начиная с которого i >N все окажутся нулевыми, и автомат начнет демонстрировать чисто дискретное поведение. Для этого достаточно, чтобы в множествесуществовало инвариантное подмножество функцииInit и одна из точек этого подмножества стала бы начальной в некоторый момент гибридного времени.

Примитивный гибридный автомат может, тем самым, демонстрировать, как нетривиальное непрерывное поведение, так и нетривиальное дискретное, сводящееся не только к назначению новых начальных условий, но и поиску начальных условий, приводящих к новому длительному поведению. Несмотря на это замечание, мы все равно непрерывное поведение автомата, связанное с решением дифференциальных уравнений, будем называть длительным. Во многих языках моделирования, для описания длительных и мгновенных действий применяются различные синтаксические конструкции: длительные поведения описываются функциональными зависимостями и различными уравнениями, а дискретные – алгоритмически.