2.6. Исследование модели

Воспроизведение поведения моделируемой системы при фиксированных значениях параметров модели мы будем называть элементарным опытом, «прогоном» или «выполнением» («execution») модели. Результатом прогона является нахождение значений всех переменных модели в заданный момент времени и построение таблиц значений переменных на указанном интервале для промежуточных значений времени. Конечный момент может быть косвенно привязан к какому-то конкретному событию, например, «времени, когда амплитуда колебаний маятника уменьшится вдвое».

Естественно, что в большинстве случаев одного опыта или однократного прогона модели окажется недостаточным для достижения искомого результата. Например, для того, чтобы найти параметрическую зависимость времени затухания амплитуды колебаний маятника на пятьдесят процентов от исходного значения как функцию от плотности воздуха придется выполнить серию прогонов с различными значениями плотности.

Еще одной типовой задачей исследования является параметрическая оптимизация. При решении этой задачи для вычисления целевой функции также используется отдельный прогон модели. Например, мы хотим найти угол бросания, при котором материальная точка, брошенная под углом к горизонту, падает максимально далеко. Целевой функцией этой задачи является значение горизонтальной координаты в момент падения (определяется дискретным событием – пересечением вертикальной координатой нуля сверху). Алгоритм оптимизации задает некоторое значение угла, выполняет прогон модели до дискретного события «падение», замеряет координату точки падения, определяет новое значение угла и повторяет эти операции многократно пока не найдет оптимальную точку.

Наконец, отдельной задачей является нахождение особых значений коэффициентов уравнений модели, качественно меняющих характер ее поведения. Такие исследования обычно проводят, когда хотят выяснить, насколько рабочий режим «далек» от аварийного.

Успех исследования во многом зависит от возможности автоматизировать вычислительный эксперимент. Современные пакеты моделирования организуют его, опираясь на концепцию виртуального стенда. Вычислительный эксперимент можно трактовать как работу на виртуальном испытательном стенде, где размещаются блоки моделируемой системы, а также виртуальная «измерительная аппаратура» (всякого рода индикаторы, «осциллографы» и «самописцы»), только вместо блоков и кабелей «в металле» пользователь имеет дело с прямоугольниками и линиями на экране дисплея.

3. Динамическая система. Основные подходы к моделированию

3.1. Понятие динамической системы

Термин «динамическая система» первоначально отождествлялся с автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой удовлетворяет условиям, гарантирующих существование и единственность решения. Позже он стал использоваться для обозначения все большего числа математических моделей и теперь нередко употребляется во всех случаях, когда речь заходит о системах, чье поведение зависит от времени. Среди динамических систем особо выделяют гибридные системы, простейшие примеры которых мы сейчас и рассмотрим.

При изучении окружающих нас физических и технических объектов наблюдаемые явления часто, для упрощения моделирования, делят на длительные и мгновенные и пытаются воспроизвести и те, и другие в рамках одной модели. Для моделирования длительных процессов используются классические динамические системы, описывающие процессы, протекающие с конечными скоростями. Мгновенные процессы возникают, как результат упрощения сложных явлений, длительностью которых можно пренебречь. В определенных временных точках, связанных с событиями, течение непрерывного модельного времени приостанавливается и отдельным переменным разрешается меняться мгновенно, с бесконечной скоростью, или скачками. В модели возникают скорости, не свойственные природе, и она перестает относиться к классическим динамическим системам. Эти модели часто называют кусочными или непрерывно-дискретными. В последнее время их принято называть пришедшим к нам из-за рубежа термином гибридные системы. В основе поведения гибридных систем лежат классические динамические системы, мгновенно сменяющие друг друга.

Определение:

Под динамической системой понимают семейство отображений любого множества в себя, если выполняются условия:

1) непрерывности x по совокупности переменных;

2) ;

3) .

В частности система дифференциальных уравнений:

,

правая часть которой определена во всем пространстве x и удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументам называется динамической (автономной) системой.

Специальная вещественная переменная t играет роль времени. Будем считать, что 0 < t < , то есть решение системы, заведомо существующее в некоторой окрестности точкиt =0, продолжаемо на всю полуось.

Наряду с автономной, можно рассматривать неавтономные системы:

; ,

помня о том, что неавтономную систему можно привести к системе автономной, увеличив размерность фазового вектора х на единицу.

; ;

; .

Таким образом, динамическая система (такие системы часто также называют непрерывными) может быть представлена следующими различными формами:

• в виде явной функциональной зависимости;

• в виде автономной системы уравнений.

Предположим, что мы хотим построить модель для изучения полета тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью V₀ (рис.10). Обозначим через s и f (s) векторы

;

где l(t) – дальность полета, h(t) – высота, (V_l ,V_h ) – соответствующие скорости, l(0) = h(0) = 0 и V_l (0) = V₀ cos(α); V_h (0) =V₀ sin(α). Решение написанных уравнений можно интерпретировать как длительный полет тела на промежутке до момента падения на землю.

Рис. 10. Тело, брошенное под углом к горизонту

Теперь предположим, что мы хотим не только следить за полетом, но и моделировать отскок тела от земли, предполагая, что удар – абсолютно упругий. Это допущение в модели реализуется следующим образом: мы выделяем некое особое состояние – касание тела земли и разрешаем вертикальной составляющей скорости в момент его наступления мгновенно сменить знак на противоположный V_h = – V_h , после чего снова начинаем интегрировать исходную систему с новыми начальными условиями (рис. 11).

Рис. 11. Прыгающий мячик

Таким образом, поведение реального прыгающего мячика может быть вполне удовлетворительно описано последовательностью из «склеенных» между собой решений дифференциального уравнения на отдельных промежутках. На стыках длительных полетов мы пренебрегли как длительностью реального отскока, превратив временной промежуток в точку, так и сложными реальными процессами, происходящими в эти короткие, по сравнению с полетом, промежутки, предположив, что для наших целей достаточно считать, что скорость мгновенно меняет знак. Решение уравнения на конкретном промежутке зависит от начальных условий, которые в свою очередь зависят от наступивших событий (касание земли) и поведения решения на предыдущем интервале (значение скорости в момент касания земли). Эта последовательность решений и является той моделью, которой мы будем заниматься в дальнейшем. Порождающий ее механизм вполне может быть назван автоматом, так мы имеем множество состояний, сменяемых под воздействием заданной последовательности сигналов.

При возникновении событий в моделях, длительное поведение которых описано с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, могут измениться:

• начальные условия;

• значения параметров в правых частях;

• сами правые части или число уравнений.

Однако даже самые простые системы, аналогичные модели прыгающего мячика, у которых могут меняться только начальные условия, уже демонстрируют достаточно сложное поведение.

Во многих задачах смена поведения модели связана с мгновенными изменениями параметров правой части динамических систем, что так же можно свести к изменению только начальных условий, но уже другой системы, большей размерности.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 12), у которой в зависимости от положения ключа меняется значение сопротивления.

Рис. 12. Электрическая цепь с переменным сопротивлением

Поведение этой цепи описывается уравнением

Ключ меняет положение периодически, R^* тоже меняется периодически R^*(t) = R^* (t+T).

Выберем T = 2, тогда

Получаем систему с мгновенным изменением параметров. Преобразуем исходное уравнение в систему уравнений

,

,

.

И дополним новым дифференциальным уравнением:

,

,

,

, …

Последнюю запись следует рассматривать как систему, у которой периодически меняются начальные условия последнего уравнения в точках t = 1,2,3… . В этих точках значения переменных i, u «склеиваются», образуя непрерывные функции. Такой прием позволяет рассматривать данную систему с неизменной правой частью и меняющимися начальными условиями.

Таким образом любую систему дифференциальных уравнений с кусочно – постоянным параметром P.

Можно записать в виде:

,

Рассмотрим теперь случай, когда в определенные моменты меняется правая часть уравнений. Изменение вида правой части дифференциальных уравнений возникает во многих практических задачах. В задачах механики, например, возмущающая сила или сила трения могут представлять собой кусочно-непрерывные функции. В теории управления кусочно-постоянные функции возникают при так называемом релейном управлении. И в этом случае, можно построить уравнения, у которых все изменения связаны только с изменением начальных условий. Таким образом, достаточно большой класс систем может быть представлен классической динамической системой, у которой в заданные моменты времени меняются только начальные условия, и нас интересует глобальное поведение такой системы в зависимости от правил формирования новых начальных условий.

Прежде, чем дать формальное определение изучаемых систем, введем еще несколько понятий.

При изучении реальных систем часто требуется проверять некоторые, присущие конкретному объекту свойства, которые должны сохраняться на решении s(t). Будем называть их инвариантами и обозначать Inv(t,s(t)). Для модели "прыгающий мячик" инвариантами являются очевидные свойства решения: t, l(t) > 0 & h(t) > 0.

Члены последовательности решений s(t)={s⁰(t),s¹(t),s²(t)....} исходного дифференциального уравнения, соответствующие решениям с заданными начальными условиями, «отделены» друг от друга событиями, приводящими к смене начальных условий. Эти события в общем случае могут быть описаны предикатами, определенными на решении уравнений – pred(t, s(t)) В дальнейшем такие предикаты будем называть условиями смены поведения. Частым случаем условий смены поведения являются уравнения, корни которых на решении s(t) определяют момент формирования новых начальных условий. При изучении полета с отскоком, смена начальных условий происходит в моменты времени, когда выполняется условие t*: h(t) = 0&Vh<0.

И, наконец, выбор новых начальных условий на новом временном промежутке в его левой, начальной точке может зависеть от значения решения в правой, конечной точкепредыдущего промежутка. Будем называть функцию, с помощью которой задаются новые начальные условия, функцией инициализацииInit: . При отскоках мячика без потери энергии новые начальные условия всегда выбираются одними и теми же –;;;.

Рассмотренную конструкцию будем называть гибридной системой и обозначать ее буквой H.