Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)
.pdf90
Лекция 11
2.6.2. Фазовое пространство |
|
|
z |
|
Состояние частицы определяется 6 микропа- |
|
раметрами: xi, yi, zi; vxi, vyi, vzi (РИС. 11.1). Микро- |
|
mi |
|
|
|
состояние системы определяется 6N парамет- |
|
|
|
|
|
|
рами (N – число частиц в системе). |
|
|
Фазовое пространство – 6-мерное простран- |
|
|
ство координат и скоростей (импульсов). Фа- |
|
|
зовое пространство можно разбить на ячейки. |
|
|
Размер ячейки не детерминирован в классиче- |
O |
y |
ской физике, но определён в квантовой меха- |
|
|
нике (см. РАЗДЕЛ 6.1.5). |
|
|
Изобразительная точка – точка в фазовом |
x |
|
пространстве, эквивалентная молекуле. |
Рис. 11.1 |
|
В классической физике тождественные части- |
|
|
цы различимы – изобразительные точки мож- |
но пронумеровать. |
|
|
Микросостояние задаётся распределением изобразительных точек (по номерам) по фазовым ячейкам.
Макросостояние задаётся количеством изобразительных точек в каждой фазовой ячейке.
2.6.3. Термодинамическая вероятность
Термодинамическая вероятность (статистический вес) W макросостояния – число микросостояний, которым может быть реализовано данное макросостояние. Термодинамическая вероятность – функция состояния системы.
Все микросостояния считаются равновероятными. Вероятность i-го макросостояния
P |
W |
|
i |
||
|
||
i |
W |
|
|
||
|
0 |
,
где W0 – статистический вес макросистемы – число возможных микросостояний данной макросистемы.
Равновесному состоянию соответствует макросостояние, которое реализуется наибольшим числом микросостояний (статистический вес Wmax).
Любая термодинамическая система стремится к состоянию с максимальной термодинамической вероятностью. Любой самопроизвольный термодинамический процесс идёт в сторону возрастания термодинамической вероятности.
ПРИМЕР
1) Распределение четырёх изобразительных точек по двум фазовым ячейкам
Число изобразительных точек (молекул) N = 4, число фазовых ячеек n = 2 Распределение показано в ТАБЛ. 11.1.
|
|
91 |
|
|
Таблица 11.1 |
|
Левая |
Правая |
Число изобразительных точек в ячейке |
|
|
0 |
4 |
|
|
|
1 микросостояние |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 микросостояния |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
6 микросостояний |
||
|
|
|
|
|
|
С |
2 |
|
4! |
|
|
2 3 4 |
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2! 4 |
2 ! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 микросостояния |
||
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 микросостояние |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Микросостояние |
|
Число микросостояний = |
|
Вероятность |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= статистический вес |
|
||||||||
|
левая ячейка |
|
правая ячейка |
|
макросостояния |
||||||||||||
|
|
|
|
макросостояния |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1/16 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1/4 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3/8 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1/4 |
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1/16 |
Статистический вес макросистемы
W0 16 24
nN
.
Видно, что наиболее упорядоченные макросостояния (0 и 4, 4 и 0) наименее вероятны, а наименее упорядоченное (5 и 5) – наиболее вероятно.
2) Распределение десяти изобразительных точек по двум фазовым ячейкам
N = 10, n = 2
Статистический вес макросистемы
W0
210
1024
.
Наиболее вероятное макросостояние:
5 5
Статистический вес этого макросостояния
92
W |
С |
5 |
|
10! |
|
5,5 |
|
10 |
|
5! 10 |
5 ! |
|
|
|
|
Наименее вероятные макросостояния:
252
.
0 |
10 |
|
10 |
0 |
Статистический вес этих макросостояний
W |
W |
|
0,10 |
10,0 |
|
3) Распределение 1025 изобразительных точек по
N = 1025, n = 2
Статистический вес макросистемы
25 W0 210 .
1.
двум фазовым ячейкам
(Студентам предлагается самостоятельно найти вероятности отдельных макросостояний в ПРИМЕРЕ 2, вероятность наименее вероятного состояния в ПРИМЕРЕ
3.)
2.6.4. Статистический смысл энтропии
Пусть имеются две термодинамические системы, имеющие статистические веса W1 и W2. Объединим эти системы в одну. Статистический вес объединённой системы
W W W |
|
1 |
2 |
– термодинамическая вероятность не обладает свойством аддитивности. Аддитивная величина – логарифм термодинамической вероятности:
lnW
lnW1
lnW2
.
Энтропия
S klnW
– мера неупорядоченности термодинамической системы.
Можно доказать, что два определения энтропии – термодинамическое (см. РАЗДЕЛ 2.6.1) и статистическое – эквивалентны.
2.6.5. II начало термодинамики
II начало термодинамики указывает направление протекания термодинамических процессов. Оно не следует из фундаментальных физических законов.
Существует много формулировок II начала термодинамики, все они эквивалентны. Приведём три из этих формулировок.
1.В изолированной термодинамической системе все процессы идут в сторону возрастания энтропии.
2.Невозможен термодинамический процесс, единственным результатом которого была бы передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому.
3.Невозможен вечный двигатель II рода31, т. е. двигатель, который превращал бы всё подведённое к нему тепло в работу без каких-либо изменений в других телах.
31 Вечный двигатель I рода – двигатель, совершающий работу без подвода энергии.
93
Возможны (но маловероятны) самопроизвольные отклонения термодинамических систем от равновесного состояния – флуктуации.
2.6.6. Изменение энтропии в термодинамических процессах
В неизолированной системе энтропия может как возрастать, так и убывать.
Обратимые процессы идут при максимальной энтропии, причём
или
|
2 |
δQ |
|
|
S2 S1 |
|
. |
||
T |
||||
|
||||
|
1 |
|
||
|
|
|
δQ |
||
dS |
|
|
|
T |
|
|
обрат |
В необратимом процессе
dS
δQ T
, так как приращение энтропии обусловлено
двумя процессами – подводом тепла и движением системы к равновесному состоянию.
Равновесный адиабатный процесс – изоэнтропический процесс (δQ = 0 → dS = 0).
ПРИМЕР
Изменение энтропии идеального газа
Идеальный газ переходит из состояния с параметрами p1, V1, T1 в состояние с параметрами p2, V2, T2. Найти изменение энтропии газа.
Так как энтропия – функция состояния системы, то результат не должен зависеть от того, каким способом происходит переход из начального в конечное состояние. Перейдём из состояния 1 в состояние 2 обратимым образом. Как обсуждалось РАНЕЕ, возможны два обратимых процесса – квазистатический адиабатный и изотермический процессы. Поэтому точки 1 и 2 на диаграмме РИС. 11.2А мы соединим изотермой и адиабатой через промежуточное состояние 3:
1-3 – изотермический процесс,
3-2 – адиабатный процесс.
На РИС. 11.2Б изображены графики тех же процессов в координатах (T, S).
Рассчитаем изменение энтропии:
|
2 |
δQ |
||
S12 |
T |
|
||
1 |
обрат |
|||
|
3 |
δQ |
|
|
|
|
1 |
T |
1 |
2 |
δQ |
|
|
|
|
3 |
T |
|
0
.
В изотермическом процессе 1-3 δQ = δA = pdV, а pV = p1V1 p p1V1 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
3 |
|
p1V1 |
3 |
|
p1V1 |
lnV3 . |
|
S12 |
pdV |
dV |
(11.1) |
|||||
|
1 |
T |
T |
1 |
V |
T |
V |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
94
p
1 |
2 |
T |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
V |
|
|
|
|
0 |
|
S |
|
а |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
Рис. 11.2 |
|
|
|
|
||
Найдём V3 из уравнений адиабатного и изотермического процессов: |
|
|||||||
|
p V p V |
, |
|
|
|
|||
|
|
1 1 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
p V |
γ |
|
|
|
|
p V |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 2 |
3 3 |
|
|
|
||
Разделим нижнее уравнение на верхнее: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
γ |
|
|
|
p V |
γ |
|
V γ 1 |
|
|
||
2 |
2 |
|||
3 |
|
p |
V |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
p |
γ 1 |
V |
γ 1 |
|
|
|
||||
V |
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|||
3 |
|
p |
|
|
1 |
|
|
γ 1 |
|||
|
1 |
V |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |