487_Algebra_11

cos2x		cos2x C ;		cos2	x sin 2 x	cos2x C ;
2					2
	2cos2 x 1		cos2x C .		Аз ин љо С		1	.
2					2

____________________________?_____________________________

1. Нишонаи доимї будани функсияро баён кунед. 2. Тасвияи теоремаро, ки он ду хосияти функсияи ибтидоиро дар бар мегирад, оред. 3. Графикњои функсияњои ибтидоии як функсия аз якдигар чї тавр њосил мешаванд?

__________________________________________________________

12. Магар функсияњои зерин барои њамон як функсия функсияи ибтидоианд:

а) F(x) x2 , G(x) x2 5				ва	L(x) (x 5)2 ;
б) F(x) cos 2x				ва	(x) 2cos2 x ;
в) F(x)	x 1			ва	(x)	2		?
	x 1					x 1
13. Нишон дињед, ки				функсияњои	F(x) sin2 x ва
(x) 2cos2 x sin2 x			барои	f (x) sin 2x	функсияњои ибтидої
буда, F(x) (x) 2			аст.

14. Оё функсияи ибтидоии функсияи даврї функсияи ѓайридаврї шуда метавонад?

15*. Исбот кунед, ки функсияи ибтидоии функсияи тоќ функсияи љуфт аст.

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

16. Ифодаро содда кунед:

2x		x y					x y
	:
			2	y	2		x	2	y	2
x y x
				11

		17. Соњаи муайянии функсияи y		(1 x)(5 x) -ро ёбед.
		18. Дар прогрессияи геометрї аъзои якум ба 312 ва махраљи он
	ба	1	баробар аст. Суммаи чор аъзои аввалаи ин прогрессияро
		2

ёбед.

19. Ќимати хурдтарини функсияи y x4 2x2 -ро дар порчаи

2; 2 ёбед.

20. Решањои муодилаи квадратии ислоњшуда ба –2 ва 3 баробаранд. Ин муодиларо ёбед.

3. ЁФТАНИ ФУНКСИЯИ ИБТИДОЇ. ЉАДВАЛИ ОНЊО

Теоремаи дар пункти пешина исбот кардаамонро асос карда, намуди умумии функсияњои ибтидоиро барои якчанд функсияи додашуда меёбем. Баъд љадвали функсияњои ибтидоиро меорем.

I

М и с о л и 1. Намуди умумии функсияи ибтидоиро барои функсияи f (x) x2 дар фосилаи ( ; ) меёбем.

Њ а л. Мебинем, ки яке аз функсияњои ибтидоии функсияи f (x)

	x	3			x	3
									1	(x3 )	1
функсияи			аст, чунки									3x2	x2 . Дар асоси
	3				3			3			3

теорема намуди умумии функсияњои ибтидої барои ин функсия чунин аст:

F(x) x3 C .

3

1

М и с о л и 2. Барои функсияи f (x) x3 дар фосилаи (0; )

функсияи ибтидоии F(x) -ро меёбем, ки ќиматаш њангоми x 1

будан ба 2 баробар аст.

	Њ а л. Ба осонї дидан мумкин аст, ки функсияи	1	барои	1
		2x2		x3
	12

дар

фосилаи

( 0; )

функсияи

ибтидої

аст,

чунки

1

1

( 2)x

2 1

x

3

1

. Пас мувофиќи теорема

њар

2

x3

2x2

1

гуна

функсияи

ибтидої

намуди

F(x)

C -ро

дорад.

2x2

1

Мувофиќи

шарт

F(1) 2

аст,

пас

F(1)

C 2

ё

2

1

2 1

C 2

1,5.

Њамин

тариќ,

функсияи

ибтидоии

матлуб

2

F(x)

1

1,5 мебошад.

2x2

М и с о л и

3. Маълум аст, ки графики функсияи ибтидоии

функсияи

f (x) cos x аз нуќтаи

(

; 12)

мегузарад. Ин функ-

сияро меёбем.

2

cos x

Њ а л.

Намуди умумии функсияи ибтидоии функсияи

функсияи

F(x) sin x C мебошад. Пас, барои ёфтани доимии

C муодилаи F(

) 12 ё

sin

C 12 ,

ё ки

1 С 12 -ро

2

2

њосил мекунем. Аз ин љо С 13

ва F(x) sin x 13 .

М и с о л и

4. Нуќта аз рўи хати рост бо шитоби a(t) 4t

њаракат мекунад.

Дар лањзаи ибтидоии t0 1 координатааш

x0 2

ва суръаташ ба

0 1 баробар

аст. Координатаи

нуќта

x(t) -ро

њамчун функсияи ваќт меёбем.

Њ а л.

Ин масъала мисоли типии масъалаи баръакс,

ки дар

пункти 1 ќайд карда будем мебошад: аз рўи (t) a(t) аввал (t) -

ро, баъд аз рўи x

функсияи x(t) -ро меёбем.

(t) (t)

Функсияи ибтидої

барои

a(t) 4t

функсияи

(t) 2t 2

C

мебошад.

Вале 0 (1) 1,

пас

2 12

C 1,

C 1.

Инак,

(t) 2t 2

1. Функсияи ибтидої

барои (t) бошад, функсияи

13

x(t)		2			t3 t C аст. Мувофиќи шарти масъала									x0 x(t			0)
3					2						1				1			7
x(1)						13	1 C 2 . Пас					C 2 ,	C 2							ва
					3
	2							7		3				3			3
x(t)			t3 t						.
3							3

II

Акнун љадвали функсияњои ибтидоиро меорем. Дар сатри якум функсияи f (x) ва дар сатри дуюм намуди умумии функсияи

ибтидоии он F(x) оварда шудааст:

f (x)	k	x , R		1	sin x		1	1
	(доимї)	( 1)		x			cos2 x	sin2 x
F(x)		x 1	2	x C	cos x С	sin x С	tgx C	ctgx C
	kx+C	C
		1

Дурустии ин љадвал бо гирифтани њосила нишон дода мешавад. Масалан,

sin x

sin x

tgx C

tgx C

0

cos x

cos x

cos x sin x(cos x)

cos x cos x sin x( sin x)

(sin x)

cos2 x

cos2 x

cos2 x sin2

x

1

.

cos2 x

cos2

x

Чї тавре дар оянда хоњем дид, истифодаи ин љадвал ёфтани функсияи ибтидоиро барои баъзе функсияњо осон менамояд.

Э з

о

њ. Функсияњои

1

дар

0; ,

1

дар

cos2 x

x

1

k; (k 1) ,

k;

k , k Z ва

дар

k Z

2

2

sin2

x

14

муайянанд. Функсияњои ибтидоии онњо 2x C , tgx C ва

ctgx C низ дар њамин фосилањо муайян њисоб карда мешаванд.

____________________________?_____________________________

1. Чї тавр санљидан мумкин аст, ки функсияи F(x) барои функ-

сияи f (x) функсияи ибтидої аст? 2. Оё аз нуќтаи додашуда ду

функсияи ибтидої мегузарад?

__________________________________________________________

21.

Намуди

умумии

функсияњои ибтидоиро

барои функсияи

f (x) ёбед:

а)

f (x) 2 ;

б)

f (x) cos x ;

в)

f (x) x5 ;

г)

f (x)

1

;

д)

f (x) sin x ;

е)

f (x) 4 .

x4

22. Барои функсияи

f (x) функсияи ибтидоии F(x) -ро ёбед, ки

он ќимати додашударо дар нуќтаи додашуда ќабул намояд:

а) f (x)

1

,

F(1) 10 ;

x3

б) f (x)

1

,

F(

) 2 ;

sin2

x

4

в) f (x) x6 ,

F( 1) 3;

г)

f (x) sin x ,

F( ) 3.

23. Барои функсияи f (x) функсияи ибтидоиро ёбед, ки

графикаш аз нуќтаи M мегузарад:

а) f (x) x3 ,	M (2;1) ;	б) f (x) sin x , M (0; 3) ;
		15

в)

f (x)

1

,

M (

; 0) ;

г)

f (x) 2 ,

M (3; 5) ;

cos2

x

4

д)

f (x)

1

,

M (

1

; 3) ;

е)

f (x) cos x ,

M (

; 0) .

x

2

2

24. Нуќта аз рўи хати рост бо шитоби a(t)

њаракат мекунад. Дар

лањзаи ибтидоии

t0 координатааш

ба x0

ва суръаташ ба 0

баробар аст. Координатаи x(t) -ро чун функсияи ваќт ёбед:

а) a(t) t ,	t0 2 ,	x0 4 ,	0 3 ;
б) a(t) cost ,	t0 ,	x0 0 ,	0 0.

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

25.Экстремали функсияи y 2 2x x2 -ро ёбед.

26.Ифодаро содда кунед:

sin 3 cos

1

.

sin 2 cos2

cos( 300 )

27. Системаро њал намоед:

y 1,

x

xy 2.

x

28. Соњаи муайянии функсияи y

5 x

6

-ро ёбед.

x

16

4. ЌОИДАЊОИ СОДДАТАРИНИЁФТАНИ ФУНКСИЯЊОИ ИБТИДОЇ

Аз сабаби он ки масъалаи ёфтани функсияи ибтидої нисбати масъалаи ёфтани њосила баръакс аст, њар яке аз ин се ќоида ба ќоидањои мувофиќи дифферентсиронї монанданд.

10. Функсияи ибтидоии суммаи ду функсия. Агар F(x) барои

f (x) ва

G(x) барои

g(x)

функсияи ибтидої бошанд, он гоњ

F(x) + G(x) барои

f (x) + g(x) функсияи ибтидої аст.

Дар њаќиќат, азбаски F (x) f (x) ва G (x) g(x) аст, пас

F

f (x) g(x) .

F(x) G(x)

(x) G

(x)

М и с о л и

1.

Намуди умумии функсияи ибтидоиро барои

функсияи

f (x) x2 cos x

меёбем.

Њ а л.

Азбаски

x3

яке аз функсияњои ибтидоии функсияи

x2 ,

3

sin x яке

cos x

аз функсияњои ибтидоии функсияи

аст,

пас

0

x3

мувофиќи

ќоидаи

1

мебинем,

ки

функсияи

sin x

яке

аз

3

f (x) x2 cos x

функсияњои ибтидоии функсияи

мебошад.

Љ а в о б:

F(x)

x3

sin x C .

3

М и с о л и

2.

Намуди умумии функсияи ибтидоиро барои

функсияи

1

1

F(x)

.

cos2x

x

меёбем.

Њ а л. Монанди њалли мисоли пешина мулоњиза ронда, љадвали функсияњои ибтидоиро (ниг. ба сањ.14) истифода карда мебинем, ки

функсияи tgx 2x барои f (x) яке аз функсияњои ибтидоист.

Љ а в о б:	F(x) 2	x tgx C .
		17

20. Функсияи ибтидоии функсияи њосили зарби адад бар

функсия. Агар F(x) барои			f (x) функсияи ибтидої ва k бузургии
доимї бошад, он гоњ kF(x)			барои kf (x) функсияи ибтидої аст.
Дар њаќиќат, азбаски зарбшавандаро аз зери аломати њосила
баровардан мумкин аст, пас
	kF(x)		k F(x) k f (x) .
Ин баробарї дурустии ќоидаро нишон медињад.
М и с о л и	3.	Барои функсияи f (x) 7sin x функсияи
ибтидоиро меёбем.		яке аз функсияњои ибтидої cos x аст. Пас
Њ а л. Барои sin x
мувофиќи ин ќоида 7 cos x яке аз функсияњои ибтидоист.
Љ а в о б:	F(x) 7cos x C .

М и с о л и 4. Функсияи ибтидоиро барои f (x) 5cos x 2x4

меёбем.

Њ а л. Аввал ќоидаи 20, баъд ќоидаи 10-ро татбиќ намуда, мувофиќи љадвали функсияњои ибтидої њосил мекунем:

F(x) 5sin x 2 x5 C . 5

М и с о л и 5. Ќуввае, ки ба љисми массааш m таъсир мекунад, аз рўи ќонуни синусоидалї таѓйир меёбад: F Asin t , ки A 0 аст. Дар зери таъсири ин ќувва љисм ростхатта њаракат мекунад. Маълум аст, ки њангоми t 0 будан, суръати љисм 0 аст. Ба чанд баробар будани суръатро дар лањзаи дилхоњи t муайян мекунем.

Њ а л. Аз рўи ќувва шитобро мувофиќи ќонуни Нютон меёбем:

a

F

A

sin t . Суръат функсияи ибтидоии шитоб аст, барои

m

m

A

њамин

(t)

cost C , ки

C доимии дилхоњ аст.

m

A

A

Мувофиќи шарт

(0)

C , пас C

. Њамин тариќ,

0

m

0

m

A

A

(t)

cost .

0

m

m

18

30. Функсияи ибтидоии

функсияи

f(k x b) .

Агар F(x)

функсияи ибтидоии

f (x) , k

ва b доимињо k 0 бошанд, он гоњ

1

F(kx b) функсияи ибтидоии функсияи

f (k x b)

мебошад.

k

Дар њаќиќат, мувофиќи шарти F (kx b) f (kx b) ва ќоидаи

дифферентсиронии функсияи мурракаб дорем

1

1

1

F(kx b)

F(kx b)

F (kx b) (kx b)

k

k

k

1 F (kx b) k F (kx b) f (kx b) . k

М и с о л и

6.

Барои функсияи

f (x) cos(7x 9)

яке аз

функсияњои ибтидоиро меёбем.

Њ а л. Барои cos x яке аз функсияњои ибтидої sin x

аст.

Бинобар ин аз рўи ќоидаи 30 F(x)

1

sin(7x 9)

функсияи ибти-

7

доии матлуб аст.

М и с о л и

7.

Барои функсияњои: а)

f (x) (3x 5)7 ; б)

1

f (x)

функсияњои ибтидоиро меёбем.

10x 7

Њ а л. а) Барои функсияи x7 яке аз функсияњои ибтидої

x8

аст.

8

1

8

1

(3x 5)

8

Пас, мувофиќи ќоидаи 30 функсияи

(3x 5)

3

24

8

барои (3x 5)7 яке аз функсияњои ибтидої мебошад. Њамин тариќ,

F(x) 1 (3x 5)8 C . 24

	1
б) Барои функсияи				яке аз функсияњои ибтидої 2										x аст.
		x				1				1
							2
Пас аз рўи ќоидаи 30 функсияи								10x 7				10x 7		барои
					10
									5
					19

1

яке аз функсияњои ибтидої мебошад. Инак,

10x 7

F(x) 1 10x 7 C . 5

__________________________?_______________________________

1. Се ќоидаи ёфтани фуксияњои ибтидоиро баён кунед ва онњоро бо мисолњои мушаххас шарњ дињед. 2. Ин ќоидањо ба кадом ќоидањои дифферентсиронї монанданд.

__________________________________________________________

Намуди умумии фуксияњои ибтидоии f (x) -ро ёбед (29-31):

29. а)

f (x) 4x x2

1

;

б)

f (x) x

4

sin x ;

x2

x4

в)

f (x)

1

sin x ;

г)

f (x)

1

4sin x .

cos2 x

x2

30. а)

f (x) (3x 1)6 ;

б)

f (x) (2 5x)3 ;

в)

f (x) sin(9x 1) ;

г)

f (x) cos(4x 9) .

31*. а)

f (x)

4

;

б)

f (x)

2

;

(2 7x)3

(4 3x)4

в) f (x)

3

;

г) f (x)

2

1

.

cos2 (4x 1)

x5

sin

2 (3x 1)

32.

Барои функсияи f (x)

функсияи ибтидоиеро ёбед, ки

графикаш аз нуќтаи M мегузарад:

а)

f (x) 2x

1

,

M ( 2;1) ;

x3

б)

f (x) x4

1,

M (2;10) ;

20