487_Algebra_11

Б о б и II

ФУНКСИЯЊОИ НИШОНДИЊАНДАГЇ ВА ЛОГАРИФМЇ. МУОДИЛА ВАНОБАРОБАРИЊОИ НИШОНДИЊАНДАГИЮ ЛОГАРИФМЇ

§3. ФУНКСИЯИ НИШОНДИЊАНДАГЇ. ГРАФИК ВА ХОСИЯТЊОИ ОН

9. ТАЪРИФ ВА ГРАФИКИ ФУНКСИЯИ НИШОНДИЊАНДАГЇ

Мо ба омўзиши функсияе шурўъ мекунем, ки вай дар математика ва татбиќи он дар физика, техника, иќтисодиёт, сотсиология ва экология роли муњим мебозад.

Т а ъ р и ф. Функсияе, ки бо формулаи y ax ифода

мешавад, функсияи нишондињандагї ном дорад.

Дар ин љо a адади додашуда буда, асос ном дорад. Таѓйирёбандаи x ќиматњои њаќиќї ќабул мекунад, яъне њам ратсионалї ва њам ирратсионалї шуда метавонад. Вай нишондињандаи дараља ё дараља ном дорад. Чї тавре медонем, барои он ки ифодаи ax барои њамаи ќиматњои таѓйирёбанда маъно дошта бошад, зарур аст, ки

		1
a 0	шавад.	(Масалан, ифодаи ( 1)	2	маъно надорад).	Њангоми
a 1	будан	ќимати функсия доимї аст (барои њамаи			ќиматњои

аргумент ќимати функсия ба 1 баробар аст). Аз њамин сабаб њисоб карда мешавад, ки a 0 ва a 1 аст.

Барои айёнї дарк кардани графики функсияи y ax , графики

функсияњои, масалан, y 2	x			1	x
		ва	y			-ро месозем. Бо маќсади
				2
ёфтани якчанд нуќтањои графики			y 2x			љадвали ќиматњояшро бо

ќадами 1 тартиб медињем.

Ин нуќтањоро дар њамвории координатавии (x; y) ќайд ва баъд онњоро бо хати муназзами яклухт пайваст карда графикро њосил мекунем (расми 21).

51

	-3			-2			-1			0	1	2	3
y 2x		1			1			1		1	2	4	8
	8			4			2

у

Расми 21. 8

4

2

1

-4 -3 -2 -1 о

1

Барои

сохтани

графики

1

x

x

2

y

худи њамин љадвалро

y

=

2

истифода

кардан

мумкин

аст.

1

x

x

Барои ин аз баробарии

2

2

истифода

бурда

мебинем,

ки

2 3 4

х ќимати

ин

функсия дар

нуќтаи

x 3 ба ќимати

y 2x дар

нуќтаи x 3 баробар аст ва њоказо. Яъне љадвали ќиматњои

1 x

y чунин аст.

2

			-3	-2	-1	0	1			2			3
	1	x	8	4	2	1	1			1			1
y
							2			4			8
	2

	у
	8		Расми 22.
	4
	2				1	x
		1		y	2
	1
	2
-3 -2 -1	о	1	2	3		х

Дар њамвории координатавї ин нуќтањоро ќайд мекунем ва онњоро бо хати муназзам пайваст намуда,

1 x

графики y -ро њосил меку-

2

нем (расми 22).

Муоинаи даќиќи ин ду график ба хулоса меорад, ки графики функсияи y ax : а) њангоми a 1

52

будан;		б)	њангоми		0 a 1
(расмњои 23 ва 24):
				у
Расми 23.
			ac
	x		1)
y=a		(a>		1
				о	c	х

будан схемавї намуди зеринро дорад
	у
		ac	Расми 24.
		1	y=ax (0<a<1)
c	о		х

Сохтани ду графикро, ки ба сохтани графики функсияи нишон-
дињандагї оварда мешаванд, дида мебароем.
М и с о л и 1. Графики y 2x -ро месозем.
Мо аллакай графики y 2x -ро медонем. Агар нуќтаи (a; b) ба
у		он тааллуќ дошта бошад, пас
		b 2a			аст.			Аз		ин	љо
Расми 25.
		b 2a .
						Аз		ин	баробарї
2		бармеояд,				ки нуќтаи				(a; b)
							y 2x
		дар графики								љойгир
1		аст.	Баръакс,					агар		нуќтаи
		(c; d) дар графики								y 2x
о	х	љойгир			бошад,			пас	d 2c ,
		яъне		d 2c .				Аз		ин	љо
		бармеояд,				ки нуќтаи				(c; d)
		ба	графики				y 2x			тааллуќ
y		дорад.
			Њамин тариќ, барои сох-
=
-
2		тани			графики				функсияи
x
		y 2x			кифоя			аст,		ки	гра-
фики y 2x нисбати тири OX		симметрї инъикос карда шавад
(расми 25).
М и с о л и 2. Графики y 2 x	-ро месозем.
53

	у			Агар x 0 бошад, он гоњ x						x
		y 2 x	ва	y 2x		аст. Барои			њамин	дар
			чоряки		якум		графики		матлуб	бо
	2		графики функсияи y 2					x	якхела аст.
			Агар		x 0		бошад,		x x	ва
	1		y 2 x		2 x		мешавад.		Яъне	дар
-1	о	1	х
			чоряки дуюм график айнан графики
		Расми 26.					x аст (расми 26).
			функсияи y 2
____________________________?_____________________________

1. Таърифи функсияи нишондињандагиро дињед. 2. Чаро асосро мусбат ва нобаробари 1 њисоб мекунанд. 3. Оё графики функсияи нишондињандагї тири абсиссаро мебурад?

__________________________________________________________

94. Аз

байни функсияњои

y 3x 6; y (0,2)x ;

y

x 3

;

x

1

x

x

x

y

( 2)

;

y

;

y 1 , y 3

функсияњои нишондињанда-

7

гиро нишон дињед.

95. Љадвали ќиматњои функсияи y 3x -ро аз –3 то 3 бо ќадами

ба

1 баробар сохта,

аз рўи

он графики функсияњои

y 3x ва

1 x

y -ро созед.

3

96. Дар як њамвории координатавї графикњои функсияњои:

а) y 2	x		y 4	x			1	x	1		x
		ва			;	б) y			ва y
							2
									4
-ро кашед.
97. Графики функсияњои						y 5x ва	y 5x -ро дар як њамвории

координативї созед.

54

	МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР
98.	Соњаи муайянии функсияи y					5x 2x2			-ро ёбед.
	0,25		1		0,75							1	1,4				0,1
			6								7
99.	Њисоб кунед: а) 81 27			9		;	б)			2						4 .
								1						2				2

100.Ба зарбкунандањо људо кунед: а) a 4a 2 ; б) a3 b3 .

101.Ќимати калонтарини сеаъзогии квадратии x2 5x 4 -ро

ёбед.

10.ХОСИЯТЊОИ ФУНКСИЯИ НИШОНДИЊАНДАГЇ

Боз ба муоинаи графики функсияњои y 2	x		1	x
		ва y
			2

бармегардем (расми 21 ва 22). Графикњо нишон медињанд, ки ин функсияњо дар тамоми тири ададї муайян буда, ќиматашон њамеша мусбат аст. Ѓайр аз ин онњо њар як ќимати худро танњо як маротиба

(дар як нуќта) ќабул мекунанд. Бо ибораи дигар, муодилањои 2x y

1		x	y њангоми	y 0 будан њал надошта, њангоми	y 0
ва
2

будан танњо якто њал доранд. Њангоми афзудани аргумент функсияи

y 2	x			1	x
		афзуда, функсияи y			кам мешавад.
				2
Ин		андешањо	ба фикре		меоранд,	ки	y ax - функсияи
нишондињандагии			асосаш адади дилхоњи			a 0	ва a 1, дорои

хосиятњои зерин аст (азбаски исботи ин хосиятњо аз доираи курси математикаи мактабї берун аст, исботњоро намеорем):

10. Соњаи муайянии функсия тамоми маљмўи ададњои њаќиќї

R ( ; ) аст.

20. Соњаи ќиматњои функсия маљмўи ададњои њаќиќии мусбат R (0; ) мебошад. Яъне барои њар гуна ќимати таѓйирёбан-даи x ќимати функсия мусбат аст.

55

30. Функсия њар як ќимати худро расо як маротиба ќабул мекунад. Аз њамин сабаб вай на даврї, на љуфт ва на тоќ аст.

40. Функсия ќиматњои хурдтарин ва калонтарин надорад.

50. Графики функсия тири абсиссаро намебурад. Нуќтаи буриши графики функсияи нишондињандагї бо тири ордината нуќтаи (0; 1) аст. Координатањои ин нуќта аз асоси функсияи нишондињандагї вобастагї надоранд, чунки дараљаи нулии њар гуна адади a 0 ба воњид баробар аст.

60. Њангоми a 1 будан, функсия дар тамоми хати рости ададии R меафзояд (афзуншаванда аст), њангоми 0 a 1 будан дар R кам мешавад (камшаванда аст).

70. Барои ќиматњои дилхоњи њаќиќии x ва y баробарињои:

1)

ax y ax a y ;

2)

ax

ax y ;

3) (ab)x ax bx ;

ay

a x

ax

5) (a

x

)

y

a

xy

4)

;

.

bx

b

љой доранд (дар ин љо a ва b ададњои мусбати нобаробари яканд). Ин баробарињоро хосиятњои асосии дараља меноманд.

Э з о њ. Дурустии хосиятњои 60 ва 70 њангоми ратсионалї будани нишондињанда исбот карда шуда буд. Акнун ба хулоса меоем, ки ин хосиятњо њангоми адади њаќиќї, аз он љумла ирратсионалї будани дараља низ љой доштаанд.

Ќайд мекунем, ки хосиятњои 10-60 имкон медињанд, ки графики функсияи нишондињандагї схемавї, бе пешакї тартиб додани љадвал сохта шавад. Акнун чанд мисолро дида мебароем, ки њалли онњо ба хосиятњои функсия такя мекунанд.

М и	с о л и 1. Маълум, ки нобаробарии 4m 4n дуруст аст. m
ва n -ро	муќоиса мекунем.
Њ а	л. Ифодањои	4m	ва 4n -ро њамчун ќимати функсияи
нишондињандагии y 4x		њангоми x m ва x n будан њисоб
кардан мумкин аст. Функсияи			y 4x афзуншаванда мебошад ба

ќимати калони функсия ќимати калони аргумент рост меояд. Барои њамин m n .

М и с о л и 2. Нобаробарии a4 a6 дуруст мебошад, a 0 . Асоси a -ро бо воњид муќоиса менамоем.

Њ а л. Мувофиќи шарт ба ќимати хурди аргументи 4 ќимати

56

хурди функсияи ax мувофиќат мекунад. Барои њамин функсия афзуншаванда аст. Пас a 1 мебошад.

М и с о л и 3. Аломати решаи муодилаи 0,9x 4 -ро меёбем.

Њ а л. Азбаски 4 0 аст, пас ин муодила танњо якто реша дорад. Функсияи y 0,9x камшаванда аст ва њангоми x 0 будан

y 1 мебошад. Вале 1 4 аст, пас аломати решаи муодила манфї мебошад.

____________________________?_____________________________

1.Хосиятњои функсияи нишондињандагиро як-як номбар намоед.

2.Њангоми ратсионалї будани аргумент баробарињои 3) ва 4)-ро исбот кенед. 3. Оё функсияи нишондињандагї каниш дошта метавонад?

__________________________________________________________

102.Дараљаи x ва y -ро муќоиса кунед, агар нобаробарї дуруст

бошад:

5 x

5

y

4

x

4 y

; в) 0,2

x

0,2

y

9 x

9 y

а)

; б)

; г)

.

4

4

9

9

2

2

103.

Адади

мусбати

a -ро бо воњид

муќоиса

намоед, агар

маълум бошад, ки:

а) a0,2 a0,5 ;

б) a4,3 a3 ;

в) a

a2 ;

a

a1,4 .

5

г)

2

104.

Графики функсияро схемавї тасвир кунед:

а) y 3x ;

б)

y 0,6x ;

в)

y 1,5x ;

г) y 0,9x .

105.

Соњаи ќиматњои функсияро ёбед:

1 x

б) y 3

x

1 x

г) y 6

x

а) y

1

;

в) y

;

5;

4

3

д) y 2

x 1

2 ;

е) y

1

x 1

y 3

x

3

; з) y

x

2 ; ж)

7

.

5

106.Ќиматњои калонтарин ва хурдтарини функсияро ёбед:

а) y 2

sin x

sin x

1

cos x

1

cos x

;

б) y 1 9

; в) y

;

г) y

6

1.

4

57

107.

Аломати решаи муодиларо муайян намоед:

а) 2,3x 4,5 ;

б)

0,2x 0,3 ;

в)

0,7x 2,9 ;

г)

4,7x

0,2 .

108.

Муодиларо графикї њал намоед:

x

x

3 x ;

1 x

x

1 x .

а) 2

4 ;

б)

2

в)

x 4 ;

г) 3

3

f (x) ва

109.

Барои кадом ќиматњои

x

графики функсияњои

g(x) њамдигарро мебуранд:

а) f (x) 2x ,

g(x) 2 ;

б) f (x) 4x ,

g(x) 16 ;

1 x

1

1 x

g(x) 0,04 ?

в) f

(x)

,

g(x)

;

г) f (x)

,

3

27

5

110. Барои кадом ќиматњои x графики функсияи

f (x)

дар поё-

ни графики функсияи g(x) љойгир аст, агар:

а) f (x) 4x ,

g(x) 16 ;

б)

f (x) 0,3x ,

g(x) 0,027 бошад?

111.

Нобаробариро графикї њал кунед:

x

1 x ;

1 x

а) 2

б)

x 1.

2

МАШЌЊО БАРОИ ТАКРОР

112. Ќимати ифодаи ададиро њисоб кунед:

																				64			4				1
																											8
а)	2430,4 ;																б)										;
																				8
																				3
								1					2																		5			1		7
		1
																																				6
						: 243		7 (7			7)3 ;
в)	7																г)	3		100 (							2)3								.
	9																																5
113. Ифодаро содда кунед:
				1		1		2														4
															1						x
а)	x 2					y 2				4xy 2 ;							б)										;
																			x 16
																	58

в)			a b											;							г)					x 8										.
																						2					1
			a								b
																						x 3 2x3												4
114. Кадоме аз ин ададњо калон аст:
			1						3						1,5													1						2,25
																									5
а)							ё 2											;			б) 3						ё										?
				2																								3
115. Њосилаи функсияро ёбед:
а) y										(x 2) ;									y	2x 1	.
								x
																				x
116. Муодиларо њал кунед:
															1																			x			1
а) sin x cos x																	;				б) ctg																			.
															2
																										3								4			3

§4. МУОДИЛА, НОБАРОБАРЇ ВА СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊОИ НИШОНДИЊАНДАГЇ

11.МУОДИЛАЊОИ НИШОНДИЊАНДАГЇ

Та ъ р и ф. Муодилае, ки дар он номаълум дар дараља аст,

муодилаи нишондињандагї номида мешавад.

Муодилаи оддитарини нишондињандагї ин муодилаи

ax b

(1)

мебошад, ки a 0 ва a 1 аст. Чи тавре, ки дар п.10 дидем соњаи ќиматњои функсияи y ax маљмўи ададњои њаќиќии мусбат

R (0; ) аст. Аз њамин сабаб њангоми b 0 будан муодилаи (1)

њал надорад. Њангоми b 0 будан аз сабаби он ки функсия афзуншаванда (дар њолати a 1 будан) ё камшаванда (дар њолати

0 a 1 будан) аст ва њар як ќимати худро расо як маротиба ќабул мекунад, муодилаи (1) танњо як реша дорад. Барои ёфтани ин реша

адади b -ро дар намуди b ac ифода кардан лозим аст. Аз

баробарии ax ac ва хосиятњои функсияи нишондињандагї зоњиран бармеояд, ки x c решаи (1) мебошад (ниг. ба расмњои 23 ва 24).

59

Э з о њ и 1. Муодилањои нишондињандагие, ки бо онњо мо дар курси мактабї сару кор дорем чун ќоида ба муодилањои намуди

a f (x) ag(x) , ки f (x) ва g(x) функсияњои нисбатан соддаанд, оварда мешаванд. Муодиларо бо муодилаи ба он баробарќувваи f (x) g(x) иваз карда, њалли охиринро меёбанд. Аз сабаби баробарќуввагї ин њал њалли матлуби муодилаи аввала аст.

Э з о њ и 2. Фањмост, ки тасвири визуалии (назарраси) њар гуна адади мусбати b дар намуди ac осон нест. Масалан, барои ёфтани

њалли муодилаи 2x 3 адади 3 -ро дар намуди 2c ифода кардан лозим меояд. Гарчанде чунин c вуљуд дошта ягона аст (вай адади ирратсионалї мебошад), мо њанўз тайёр нестем, ки онро аниќ ё таќрибї нависем. Тарзи њалли ин гуна муодилањо дар п.18-и њамин боб оварда мешавад.

М и с о л и 1. Муодилаи 62x 3 336 -ро њал мекунем.

Њ а л. Азбаски 36 62																2
						ва 3						3 62				6
									36
																		3				аст, пас муодиларо
дар намуди 62x 3	2
	6		3	навиштан мумкин аст. Асосњо якхела шуданд,
дараљањои мувофиќро баробар карда 2x 3																			2			-ро њосил мекунем.
Аз ин љо:																3
6x 9 2 ;	6x 11;					x 1		5		.		Љ а в о б. 1											5	.
						6																6
														9x 20
М и с о л и 2. Решаи муодилаи 0,25																	0,5x2
														2											-ро меёбем.
Њ а л. Аввал ќисми чапи муодиларо табдил медињем:
		9x 20					9x 20							2		9x 20
0,25 2					0,52 2							0,5				2						0,59 20 .
Њамин тариќ, њалли муодилаи
						0,59x 20						0,5x2

-ро ёфтан лозим аст. Решањои ин муодила фаќат њамон ададњои x

мебошанд, ки онњо решаи 9x 20 x2 ё x2 9x 20 (x 4)(x 5) 0 њастанд. Реша будани ададњои 4 ва

5 возењ аст. Љ а в о б. 4; 5.

60