Лекция по сопромату

	∫		dϕ		dϕ
бающий момент равен M z =		Ey		ydA. Производная		за-
					dx
			dx
	A

висит только от х, поэтому её можно вынести за знак интеграла

	dϕ	∫	2
вместе с модулем упругости Е: M z = E			y dA . Интеграл
	dx
		A

в соответствии с формулой (2.10) равен моменту инерции отно-

сительно оси z: Jz = ∫y2dA .			Тогда момент равен M z = EJz					dϕ	.
		A						dx
Отсюда производная угла поворота равна				dϕ	=	M z	. Выражение
				dx
						EJz
производной подставляется			в формулу		для напряжений
σ = Ey	M z	или
	EJ z		M z y .
		σ =				(11.1)
			Jz

Таким образом, получена формула для вычисления нормальных напряжений при чистом изгибе. Формула показывает, что нормальные напряжения не зависят от координаты z, т. е. по ширине сечения в точках с одинаковой координатой у напряжения постоянны. По высоте сечения в зависимости от координаты у напряжения изменяются линейно, как показано на рис. 11.3.

y

эп. σ

Нейтральная линия	σmax

z

+

Рис. 11.3. Эпюранормальныхнапряженийпричистом изгибе

91

Для определения положения оси z используется условие N = ∫σdA = 0 . После подстановки формулы (11.1) получается:

		A
M z		∫	ydA = 0 или Sz = 0 . Если статический момент относитель-
J
	z	A

но оси z равен нулю, то ось z является центральной. Таким обра-

зом, доказано, что формула (11.1) справедлива только в сис-

теме главных центральных осей.

Согласно формуле (11.1) наибольшие нормальные напряжения возникают в точках с координатой ymax . Это общее пра-

вило формулируется следующим образом: при изгибе макси-

мальные нормальные напряжения возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии (при плоском изгибе нейтральная линия совпадает с осью z).

После подстановки ymax в формулу (11.1) получается:

σmax	=		M z ,		(11.2)
где			Wz
			Jz
W =				.	(11.3)
z		ymax

Здесь Wz – момент сопротивления поперечного сечения относительно оси z.

Условие прочности записывается в виде

		M z		≤[σ] .	(11.4)
		Wz max

Если сечение балки по всей длине одинаково (Wz = const), то условие прочности принимает вид

	M max
	z	≤[σ] .	(11.5)
	W
	z

92

Условие прочности (11.4) используется не только при чистом изгибе, но и при поперечном изгибе.

11.2. Напряжения при поперечном изгибе

Поперечный изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении действует два внутренних усилия: изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy. Под действием поперечной силы поперечное сечение деформируется (плоскость сечения искривляется). В пределах упругих деформаций искривление сечения незначительно, поэтому принимается, что сечение остаётся почти плоским, а нормальные напряжения определяются, как при чистом изгибе, по формуле (11.1).

Касательные напряжения определяются по формуле, которая выводится из условия равновесия вырезанного из балки элемента (рис. 11.4).

*	σ	(σ + dσ)		*	*
N	τ	τ	(N + dN )
					τ
	y	τпр	x
		dT
		dx

y

by z

Рис. 11.4. Напряжения и внутренние усилия, действующие на бесконечно малыйэлементбалки

Рассматривается равновесие элемента, заштрихованного на рис. 11.4. В поперечных сечениях элемента действуют нормаль-

93

ные и касательные напряжения, в продольном сечении – только касательные напряжения. Нормальные напряжения приводятся

к продольным силам: N* = ∫σdA* , (N* +dN*) = ∫ (σ+dσ)dA* .

A*

A*

Верхний индекс «*» обозначает принадлежность к так называемой «отсечённой части сечения» (линия с координатой у отсекает от всего поперечного сечения заштрихованную часть). Распределение касательных напряжений по площади продольного сечения принимается равномерным, поэтому сила dT = τпрbydx

(by – ширина поперечного сечения как геометрическое место точек с координатой у). Указанные силы входят в уравнение ста-

	тики	∑Fx = 0 ,			из которого следует:	dT = dN* или
	τпрbydx = ∫ dσdA* .				Вместо σ подставляется	формула (11.1):
			A*
	τпрbydx =		dM z	∫ ydA* . Интеграл представляет собой статический
			Jz
				A*

момент отсечённой части сечения относительно оси z – S*z . То-

гда касательные напряжения равны τпр =	dM z		Sz*	или с исполь-
	dx		Jzby
					Q	S*
зованием формулы (8.4) получается формула τпр =					y	z	. Полу-
					J zby

ченная формула определяет касательные напряжения в продольном сечении. Чтобы определить касательные напряжения в поперечном сечении, рассматривается равновесие элемента, показанного на рис. 11.5.

Силы, действующие на элемент, равны: dT = τпрbydx , dQy = τbydy . Сумма моментов этих сил относительно точки а равна нулю dTdy −dQydx = 0 или τпрbydxdy = τbydxdy . Отсюда

94

τпр = τ.

(11.6)

Формула (11.6) выражает закон парности касательных на-

пряжений: касательные напряжения на двух взаимно пер-

пендикулярных площадках одинаковы.

		dQy
a•
			τ
			dT

τпр by

dx

dy

Рис. 11.5. Силы, действующиена бесконечномалыйэлемент

Всоответствии с формулой (11.6) касательные напряжения

вплоскости поперечного сечения равны:

	Qy Sz*
τ =		.	(11.7)
	J zby

Выражение (11.7) называется формулой Журавского. Общий характер эпюры касательных напряжений показан

на рис. 11.6.

y	эп. τ
	z
	τmax

Рис. 11.6. Эпюракасательныхнапряжений

95

Сравнение эпюр нормальных (см. рис. 11.3) и касательных напряжений показывает, что максимальные нормальные напряжения возникают в крайних точках сечения, где касательные напряжения равны нулю. И наоборот, максимальные касательные напряжения возникают в точках, лежащих на нейтральной оси z, где нормальные напряжения равны нулю. Поэтому проверку прочности можно производить отдельно по нормальным и касательным напряжениям:

	σmax ≤[σ],	(11.8)
	τmax ≤[τ].

Для большинства видов поперечных сечений условие прочности по касательным напряжениям выполняется автоматически, если удовлетворяется условие прочности по нормальным напряжениям. Таким образом, при поперечном изгибе вместо условий (11.8) в практических расчётах используется условие прочности по нормальным напряжениям (11.4).

Вопросы для самопроверки

1.Почему нормальные напряжения при чистом и поперечном изгибе определяются одинаково?

2.На каком законе основан вывод формулы Журавского?

3.Почему касательные напряжения в большинстве случаев не используются для оценки прочности при поперечном изгибе?

4.Какова последовательность определения максимальных нормальных напряжений в конструкции при поперечном изгибе?

96

ЛЕКЦИЯ 12. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ.

СДВИГ, РАСЧЁТ ЗАКЛЁПОЧНЫХ И БОЛТОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ

Пример 15. Определить геометрические параметры для заданных типов сечений. Балка представлена на рис. 12.1.

q = 30 кн/м

2 м	2 м
33,75	30
	эп. Mz
	(кнм)
Рис. 12.1. Расчётнаясхема балкииэпюраизгибающихмоментов

Материал – малоуглеродистая сталь, допускаемые нормальные напряжения [σ] = 160 МПа, допускаемые касательные напряжения [τ] = 80 МПа.

Требуемый момент сопротивления вычисляется из условия прочности (11.5).

W =	M zmax	=	33, 75 10−3	10	6	=	211	3
								см .
z	[σ]		160
1. Тип сечения		–	прямоугольник.				Отношение сторон:

b = h/3. Момент сопротивления выражается через высоту сечения h – Wz = bh2/6 Wz = h3/18. Отсюда h = 3 18Wz . При подста-

97

новке значения Wz получается h = 3 18 211 =15, 6 см. Ширина

сечения равна b = 15,6/3 = 5,2 см. Площадь поперечного сечения равна A = bh = 81,12 см2. Для вычисления максимальных касательных напряжений определяются геометрические характеристики: момент инерции Jz = bh3/12 = 1645,1136 см4, статический

момент половины сечения	S* = A* y* =		bh		h	=158,2 см3. Макси-
	z	c	2	4
мальные касательные напряжения		при			Qmax = 45 кН равны

τmax =8,3 МПа, т. е. τmax <[τ] .

y

t = 0,05h z h

b = h/3

2. Коробчатое сечение

(рис. 12.2).

Для вычисления параметра h предварительно определяется момент инерции.

	Jz =	bh3	−	(b −2t)(h −2t)3
		12		12

или Jz = 0,0136h4 . Далее определяется момент сопротивления при ymax = h / 2 .

Рис. 12.2. Коробчатоесечение W = 0, 0136h4 2 = 0, 0272h3 .

z	h
При известной величине Wz вычисляется высота сечения
h = 3 211/ 0, 0272 =19,8 см.

Площадь сечения равна А = 48,35 см2. Для определения максимальных касательных напряжений вычисляются геометрические характеристики, входящие в формулу Журавского (11.7). Момент инерции равен Jz = 2090,257 см4. Статический момент

Sz* =

bh h

h

(b −2t )

1

h

=140, 046 см3. Ширина

равен

−

−t

−t

2 4

2

2

2

98

сечения на уровне оси z – by = 2t = 1,98 см. Максимальные касательные напряжения равны:

	τmax =	45 10−3	140, 046 10−6		=15, 23 МПа < [τ].
		2090, 257	10−8	1,98 10−2

3. Круглое сечение. Момент сопротивления круглого сече-

ния равен Wz = πd 3 . Диаметр сечения вычисляется по формуле

32

d = 3

32Wz

= 3

32 211

=12,9 см. Площадь сечения

равна A =

π

π

=

πd 2

=

π 12, 92

=130, 7 см2. Статический момент половины сече-

4

4

ния Sz* =

πd 2

2d

=

d 3

=178,89 см3. Момент инерции круглого се-

3π

8

12

чения Jz

=

πd 4

=1359,342 см4. Ширина сечения by

= d =12,9 см.

64

Максимальные касательные напряжения равны:

τmax

=

45 10−3 178,89 10−6

= 4, 6 МПа < [τ].

1359,342 10−8 12, 9 10−2

4. Двутавр № 22. По сортаменту определяются геометрические характеристики: Wz = 232 см3, А = 30,6 см2, by = 5,4 мм, Sz = 131 см3, Jz = 2550 см4. Максимальные касательные напряжения равны:

	τmax =	45 10−3		131 10−6		= 42,81 МПа < [τ].
		2550	10−8		5, 4 10−3

Приведённый расчёт четырёх типов поперечного сечения показывает, что условие прочности по касательным напряжени-

99

ям выполняется с большим запасом. Расход материала оценивается по площади поперечного сечения. Наименьшую площадь имеет двутавровое сечение, т. е. двутавр при плоском изгибе является наиболее экономичным типом сечения. Естественно, что стенка двутавра устанавливается в плоскости действия нагрузки.

12.1. Чистый сдвиг

При чистом сдвиге в поперечном сечении действует одно внутреннее усилие – поперечная сила Qy. Поперечная сила связана с касательными напряжениями зависимостью (2.2)

Qy = ∫τydA . В дальнейшем изложении индекс у опускается.

A

Под действием поперечной силы сечение деформируется в своей плоскости, т. е. допущение о плоских сечениях, строго говоря, при сдвиге является некорректным. Однако это допущение используется для упрощения расчётов. Тогда зависимость (2.2) приводится к виду

τ=	Q	.	(12.1)
	A

Согласно формуле (12.1) касательные напряжения распределяются по площади сечения равномерно (рис. 12.3).

Принятая формула (12.1) не соответствует закону парности касательных напряжений – на гранях, загруженных силами, и противоположных гранях касательные напряжения отсутствуют, следовательно, в плоскости поперечного сечения в точках контура, примыкающего к этим внешним граням, касательные напряжения также должны равняться нулю. Нарушение закона парности касательных напряжений допускается в связи с тем, что оно распространяется на узкие полоски сечения, примыкающие к контуру. На большей части поперечного сечения равномерное распределение напряжений соответствует истинному распределению.

100