Лекция по сопромату

нии слева, сечение на бесконечно малом расстоянии справа. В сечениях слева и справа действуют вычисленные поперечные силы, обозначенные соответственно Qyлев и Qyправ . Указанные на

рис. 8.8 силы удовлетворяют уравнению ∑Fy = 0 .

			F1 = 15
Qyлев =18,75				Qyправ = 3, 75
		c
	dx

Рис. 8.8. Равновесиебесконечномалогоэлемента ссилойF1

В примерах 10, 11 показана последовательность вычисления изгибающих моментов и поперечных сил в некоторых конкретных сечениях. Однако для расчётов на прочность требуется знать распределение усилий по длине всей конструкции, т. е. необходимо иметь эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Изгибающие моменты и поперечные силы возникают от одной и той же нагрузки, поэтому между ними существует взаимозависимость, которая используется при построении эпюр.

8.2. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой

Рассматривается равновесие бесконечно малого элемента, показанного на рис. 8.9.

Бесконечно малый элемент балки загружен распределённой нагрузкой q положительного направления (вверх), в правом сечении внутренние усилия отличаются от усилий в левом сечении на величину дифференциалов dQy , dM z . Уравнение статики

∑Fy = 0 имеет вид Qy + qdx – (Qy +dQy ) = 0. Отсюда

71

			dQy
					= q .		(8.3)
				dx
y	M z	q				(M z + dM z )
	Qy
		dx			с• (Qy + dQy )

Рис. 8.9. Бесконечномалыйэлемент, вырезанныйизбалки

Уравнение ∑Mc = 0 записывается в виде

(M z +dM z ) – M z – Qy dx – qdx(dx/2) = 0.

Из полученного уравнения отбрасывается последний член, имеющий больший порядок малости ( dx2 ). Тогда получается:

dM z	= Qy .	(8.4)
dx

Формула (8.4) устанавливает дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой: попе-

речная сила равна производной от изгибающего момента по координате сечения х.

Вопросы для самопроверки

1.Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении при плоском изгибе?

2.Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении по методу сечений?

3.Как вычисляется поперечная сила по методу сечений?

4.Какова дифференциальная зависимость между изгибающим моментом и распределённой нагрузкой?

72

ЛЕКЦИЯ 9. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК

9.1. Построение эпюр изгибающих моментов

ипоперечных сил

Впримерах 10, 11 вычислены моменты и поперечные силы

вотдельных сечениях. Для построения эпюр необходимо иметь не числа, а функции внутренних усилий на каждом участке. При растяжении-сжатии продольная сила постоянна в пределах участка, если нагрузка состоит из сосредоточенных сил. Это обстоятельство упрощает построение эпюр продольных сил. При изгибе под действием распределённой нагрузки и момент, и поперечная сила изменяются в пределах участка в зависимости от координаты сечения х. Поэтому построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил сопровождается получением функ-

ций M z(i) (x), Q(yi) (x) на каждом (i-м) участке с помощью формул

(8.1), (8.2). Последовательность построения эпюр показана в примере 12.

Пример 12. Рассчитана балка, показанная на рис. 9.1. Построение эпюр производится в следующей последовательности.

1. Вычисляются реакцииопор.

Вертикальные реакции определяются из уравнений ∑M A = 0, ∑MB = 0 . Уравнение ∑Fy = 0 используется в качестве проверки вычислений.

∑M A = 0 F 1+q 2 2,8 + M −VB 6 = 0 VB =14,1(6) кН.

∑MB = 0 F 5 +q 2 3, 2 −M −VA 6 = 0 VA = 25,8(3) кН.

∑Fy = 0 VA +VB −F −2 q = 0 40 −40 = 0.

2.Разделение конструкции на участки соответствует приложенной нагрузке (рис. 9.1).

73

F = 20 кН

q = 10 кН/м

М = 9 кНм

c

I

II

d

III

e

IV f

V

VA 1 м

0,8 м

2 м

1 м

1,2 м VB

Рис. 9.1. Расчётнаясхема балки

3. Определяются внутренние усилия на каждом участке. Для составления функций отдельно оформляются расчётные схемы каждого участка. Положение поперечного сечения обо-

				значается координатой х.
		(1)		Участок I. На расчётной
	A		M z	схеме участка (рис. 9.2) опора от-
				брасывается и заменяется реакци-
	VA	x		ей VA.	Координата х обозначается
			Q(1)	стрелкой,		направление	стрелки
			y	показывает		направление	оси х,
	Рис. 9.2. Расчётнаясхема участка I			т. е. х = 0 в точке А. Пределы из-
				менения х:		0 ≤ x ≤1 .
		По формуле (8.1) получается:
			M z(1)	=VA x .
		При х = 0 M z(1) = 0, при х = 1 м			M z(1) = 25,8(3) кНм.

По формуле (8.2) получается: Q(y1) =VA = 25,8(3) кН.

Участок II. После мысленного рассечения балки на втором участке рассматривается левая отсечённая часть, показанная на рис. 9.3.

74

		F					M z(2)
	1 м	c	х			Qy(2)
VA
	Рис. 9.3. Расчётнаясхема участка II
В соответствии с расчётной схемой M z(2)							=VA (1+ x) − Fx .
При х = 0 (точка с)		M z(2) = 25,8(3)				кНм;	при х = 0,8 м

M z(2) = 30,5 кНм.

Поперечная сила равна Q(y2) = VA – F = 5,8(3) кН.

Участок III. Схема участка показана на рис. 9.4. Изгибающий

момент равен M z(3) =VA		(1,8 + x) − F(0,8 + x) −			qx2		. При х= 0 (точка d)
				2
M z(3) = 30,5 кНм; при х= 2 м (точкае) M z(3) = 22,166 кНм.
			F	q			M z(3)
VA				d
	1 м		0,8 м	х			Qy(3)

Рис. 9.4. Расчётнаясхема участка III

Поперечная сила равна Q(y3) =VA − F −qx . При х = 0

Q(y3) = 5,8(3) кН; при х = 2 м Q(y3) = –14,1(6) кН. Сравнение зна-

чений поперечной силы в крайних сечениях участка показывает, что поперечная сила меняет знак. В соответствии с форму-

75

лой (8.4) поперечная сила является производной от момента, следовательно, на участке смены знака поперечной силы изгибающий момент имеет экстремальное значение. Точка экстремума

определяется из уравнения Q(y3) = 0 или VA − F −qx = 0 . Отсюда х = 0,58(3) м. Это значение х подставляется в функцию момента и вычисляется экстремальное значение: max M z(3) = 32,2 кНм.

Участок IV. Расчётная схема участка показана на рис. 9.5. В отличие от первых трёх участков усилия на четвёртом участке определяются из расчёта правой части балки, потому что правая отсечённая часть проще левой. Изгибающий момент равен

M z(4)	=VB (1,2 + x) − M . При х = 0 (точка		f) M z(4) = 8 кНм; при
х =	1 м (точка е) M z(4) =	22,166 кНм. Моменты в		точке е
(см. рис. 9.1), вычисленные		по функциям	моментов	третьего

и четвёртого участков, совпали.

(4)				М
M z
Qy(4)
			f
		х		1,2 м	VB

Рис. 9.5. Расчётнаясхема участка IV

Поперечная сила равна

M z(5)

Q(5)y

х VB

Рис. 9.6. Расчётнаясхема участка V

Q(y4) = –VB = –14,1(6) кН.

Участок V. Расчётная схема участка показана на рис. 9.6.

M z(5) =VB x .

При х = 0 (точка В) M z(5) =

=0. При х = 1,2 м (точка f) M z(5) =

=17 кНм.

76

Qy(5) = –VB = –14,1(6) кН.

Результаты расчётов на каждом участке оформляются в виде эпюры изгибающих моментов и эпюры поперечных сил (рис. 9.7). На эпюре моментов знаки не проставляются, ординаты положительных моментов откладываются сверху от оси стержня (на сжатых волокнах). На эпюре поперечных сил положительные значения откладываются сверху от оси стержня.

F = 20 кН

q = 10 кН/м

М = 9 кНм

c

I

II d

III

e

IV f

V

VA 1 м

0,8 м

2 м

1 м

1,2 м VB

	M zmax = 32,2
	30,5
25,83	22,166	17
	8
		эп. M z
		(кНм)

25,83

	+		5,83
								эп. Qy
		0,58(3) м						(кН)
							–
						14,166

Рис. 9.7. Эпюрыизгибающихмоментов ипоперечныхсил

77

						Пример 12 показывает, что под-
			M z			робное использование процедуры мето-
						да сечений – это трудоёмкий процесс.
						Практическое построение эпюр внут-
			Qy			ренних усилий не связано с рас-
						смотренным	подробным построением
	Рис. 9.8. Правило согласо-					расчётных схем каждого участка. Уп-
	ванияэпюр№1					рощённое построение эпюр основано на
						нескольких правилах, следующих из
дифференциальных зависимостей (8.3) и (8.4) (рис. 9.8–9.10).
	1. Если на участке нет распределённой нагрузки, то попе-
						речная сила постоянна, а изгибающий
						момент изменяется по наклонной пря-
			M z			мой линии.
						2. Если момент на участке не из-
			Qy			меняется, то поперечная сила равна
						нулю.
Рис. 9.9. Правило согласо-						3. Если на участке расположена
	ванияэпюр№2					равномерно	распределённая нагрузка,

то момент изменяется по квадратичной параболе с экстремумом или без него, а поперечная сила – по наклонной прямой линии.

q

M z

Qy

Рис. 9.10. Правило согласованияэпюр№3

4. В сечении с приложенной сосредоточенной силой на эпюре поперечных сил возникает скачок на величину приложенной силы (в примере 12 сечения a, b, c). Скачок на эпюре может быть со сменой знака поперечной силы (рис. 9.11) или без смены знака. Бесконечно малый элемент с приложенной сосредоточенной силой, вырезанный из балки, должен уравновешиваться приложенными слева и справа поперечными силами, как показано на рис. 9.11.

78

F

∑Fy

= 0 Qyлев +Qyправ = F

Qyлев

Qy

F

прав

Qyлев

Qyправ

Qy

dx

Рис. 9.11. Скачокна эпюрепоперечныхсил

5. В сечении с приложенным сосредоточенным моментом на эпюре изгибающих моментов возникает скачок на величину приложенного момента (в примере 12 сечение f). Скачок может быть со сменой знака моментов или без смены знака, как показано на рис. 9.12 (рассмотрен скачок на эпюре моментов в примере 12).

	М = 9			∑M f = 0 M zлев − M zправ − M = 0
					М = 9
	17
8		M z		M zлев =8		M zправ =17

Рис. 9.12. Скачокна эпюреизгибающихмоментов

6. На линейных участках эпюры моментов поперечную силу можно вычислить в соответствии с формулой (8.4) как тангенс угла наклона прямой, изображающей эпюру моментов. Это правило используется для проверки вычислений.

79

			α			30,5	В примере 12 на втором уча-
							стке эпюра моментов имеет вид,
25,83						M z	показанный на рис. 9.13.
							Поперечная сила равна:
			0,8 м				Qy( 2) = tg(α) =	30,5 −25,83	=5,83 .
							0,8
Рис. 9.13. Эпюра моментов на							Вычисленное значение попе-
участкеII							речной силы совпадает с результа-

том в примере 12.

Вопросы для самопроверки

1.Какие правила согласования используются при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил?

2.Как определяется величина усилия в сечении со скачком на эпюре?

80