Лекция по сопромату

При подстановке (13.9) в (13.7) получается:

M x = ∫A Gρ ddxϕρdA M x =G ddxϕ∫A ρ2dA M x =GJρ ddxϕ ,

где Jρ– полярный момент инерции.

			Jρ = ∫ρ2dA .			(13.10)
				A
Дальнейшие преобразования:
dϕ	=	Mx	(13.9) : τ =Gρ			Mx	.
dx
		GJρ				GJρ
Отсюда				M xρ
			τ=		.	(13.11)
				Jρ

По своей структуре формула (13.11) аналогична формуле (11.1), по которой определяются нормальные напряжения при чистом изгибе. В связи с этим подобны и дальнейшие преобразования.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 13.8.

эп. τ

ρmax

τmax

Рис. 13.8. Эпюракасательныхнапряженийприкручении

111

На эпюре касательных напряжений видно, что максимальные напряжения возникают в точках внешнего контура поперечного сечения.

τmax	=	Mx	,	(13.12)
		Wρ

где Wρ – полярный момент сопротивления.

W	=	Jρ		.	(13.13)
ρ		ρ	max

Вопросы для самопроверки

1.Какая разница между теоретической и конструктивной длиной сварного шва?

2.По какому принципу теоретическая длина сварного шва разделяется на конструктивные длины швов?

3.Как направлены касательные напряжения в точке при кручении стержня с круглым поперечным сечением?

112

ЛЕКЦИЯ 14. ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ.

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ КРУЧЕНИИ

14.1. Условие прочности при кручении

По условию прочности должно выполняться условие

τmax ≤[τ] или с учётом (13.12)

	M	x		≤[τ].	(14.1)
	Wρ max

Если диаметр сечения постоянен по длине стержня, то условие прочности записывается в виде

M max

x ≤[τ] . (14.2)

Wρ

Максимальный крутящий момент определяется с помощью эпюры крутящих моментов.

Пример 18. Определить диаметр вала (вал – стержень с круглым поперечным сечением), представленного на рис. 14.1.

M к3 = 70 кНм

M к2 =80 кНм

M к3 = 70 кНм

d

I

c

II

b III

a

0,6

м

0,8

м

0,5

м

50

40

эп. Mx (кНм)

30

Рис. 14.1. Расчётнаясхемавала

113

Допускаемое касательное напряжение – [τ] = 80 МПа. Вал имеет постоянный по длине диаметр, поэтому исполь-

зуется условие прочности (14.2). Для определения M xmax стро-

ится эпюра крутящих моментов. Моменты на каждом участке определяются по формуле (13.6).

Участок I. Рассматривается равновесие левой отсечённой части (правая часть может быть рассмотрена после определения реактивного момента на опоре), изображённой на рис. 14.2.

Направление
взгляда	Мх(1) = Мк1 = 50кНм

М1к

Рис. 14.2. Расчётнаясхема первогоучастка

Участок II. Рассматривается равновесие левой отсечённой части, изображённой на рис. 14.3.

Мк2	Направление		Мх(2) = Мк1 − Мк2 =
	взгляда		= 50 −80 = −30 кНм

М1к

Рис. 14.3. Расчётнаясхемавторогоучастка

Участок III (рис. 14.4).

		Мк2				Мх(3) = Мк1 −
			3	Направление
			Мк	взгляда		− Мк2 + Мк3 =
Мк1						= 50 −80 +70 =
						= 40кНм

Рис. 14.4. Расчётнаясхема третьегоучастка

114

Результаты расчётов на отдельных участках оформляются в виде эпюры, представленной на рис. 14.1. Эпюра показывает,

что M xmax = 50кНм.

Из условия прочности (14.2) вычисляется требуемый полярный момент сопротивления.

W =	M max	=	50 10−3	10	6	3
	x
						= 625 см .
ρ	[τ]		80

Если сечение вала – сплошное, то полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле

W	=	πD3	.	(14.3)
ρ		16

Отсюда вычисляется диаметр.

D = 3 16πWρ = 3 16 π625 = 14,71 см.

Если сечение – трубчатое, то полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле

W =	πD3	4	),	(14.4)
		(1−α
ρ	16

где α = d ; D – наружный диаметр трубчатого сечения; d – внут-

D

ренний диаметр трубчатого сечения (рис. 14.5).

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 14.5. На эпюре видно, что напряжения действуют только в пределах толщины стенки трубчатого сечения.

Диаметр трубчатого сечения вычисляется по формуле, следующей из выражения (14.4).

D = 3 16Wρ .

π(1−α4 )

115

d

D

эп. τ

Рис. 14.5. Трубчатоесечениевала

При α = 0,8 диаметр равен:

16 625

D = 3 π(1−0,84 ) = 17,53 см.

Для сравнения расхода материала при сплошном и трубчатом сечениях используются величины площадей поперечных сечений. Сплошное сечение имеет площадь Асп = 169,95 см2, трубчатое сечение – Атр = 86,93 см2. Сравнение площадей поперечных сечений показывает, что трубчатое сечение даёт значительную экономию материала.

14.2. Перемещения при кручении валов

Перемещениями при кручении являются углы поворота φ поперечных сечений. Для определения углов поворота рассмат-

ривается соотношение dϕ = M x , полученное при выводе форму-

dx GJρ

лы (13.11). Из этого соотношения следует:

dϕ =	M xdx	ϕ = ∫l	M x	dx .
	GJρ
		0 GJρ

116

Интеграл берётся по длине участка l. Если на участке крутящий момент и жёсткость при кручении ( GJρ) постоянны, то

угол поворота определяется по формуле

ϕ=	M xl	.	(14.5)
	GJρ

По своей структуре формула (14.5) аналогична формуле (6.12), по которой вычисляется удлинение участка при растяже- нии-сжатии. В связи с этим определение углов поворота при кручении полностью повторяет особенности вычисления перемещений при растяжении-сжатии.

Пример 19. Построить эпюру углов поворота для вала, рас-

считанного в примере 18. Модуль сдвига равен G =8 104 МПа. Сечение – трубчатое; полярный момент инерции вычисляется по формуле

Jρ =	πD4	(1−α4 ) =	π 17,534	(1−0,84 ) = 5479,6 см4.
	32		32

Для сравнения приводится полярный момент инерции сплошного сечения.

Jρ = πD4 = π 14, 714 = 4596, 7 см4. 32 32

Сравнение полярных моментов инерции показывает, что при одинаковых максимальных напряжениях жёсткость трубчатого сечения больше, чем жёсткость сплошного сечения.

Для построения эпюры ϕ углы поворота крайних сечений участков определяются относительно опорного сечения а (см. рис. 14.1). Угол поворота опорного сечения равен нулю: ϕа = 0. Угол поворота сечения b относительно сечения а вычис-

ляется по формуле (14.5).

117

ϕ

=

M (3)l

=

40 10−3 0,5

= 46

10−4 рад.

b−а

x 3

GJρ

8

104

5479, 6 10−8

Угол поворота сечения с относительно сечения а:

ϕ

=

M (2)l

+ϕ

=

−30 10−3 0,8

+46

10−4

=−9 10−4 .

x

2

GJρ

8 104

5479,6 10−8

c−a

b−a

Угол поворота сечения d относительно сечения а:

ϕ	=	M (1)l		+ϕ	=	50 10−3 0,6	−9	10−4	=59 10−4 .
		x	1
		GJρ				8 104 5479,6 10−8
d −a				c−a

Вычисленные значения углов откладываются на эпюре

(рис. 14.6).

M к1 = 50 кНм

M к2 =80 кНм

M к3 = 70 кНм

d

I

c

II

b

III

a

59

0,6

м

0,8 м

0,5

м

46

9

эп. ϕ (10

−4

рад)

Рис. 14.6. Эпюрауглов поворота поперечныхсечений

14.3.Статически неопределимые системы, работающие на кручение

Вал, показанный на рис. 14.7, является статически неопре-

делимым, т. к. уравнение статики одно ( ∑M x(i) = 0 ), а неизвест-

i

ных опорных моментов ( Mка, Mкb ) – два.

118

M ак			Mк2 =80 кНм			Mк3 = 70 кНм				M bк
	a	I		c	II			d III	b
		0,6 м			0,8 м			0,5 м

Рис. 14.7. Статическинеопределимыйвал

Опорные сечения вала жёстко защемлены, т. е. не поворачиваются. Тогда физический смысл уравнения совместности перемещений состоит в том, что взаимный угол поворота опорных сечений равен нулю.

ϕb−a = 0 .

(14.6)

С использованием формулы (14.5) уравнение (14.6) принимает вид

M (1)l		+	M (	2)l		+	M (3)l		= 0 .	(14.7)
x	1		x		2		x	3
GJρ			GJρ				GJρ

Моменты на участках выражаются через момент Mкa :

M x(1) = M ак; M x(2) = M ак −Mк2 ; M x(3) = M ак −M к2 + Mк3 . (14.8)

После подстановки (14.8) в (14.7) получается:

Mка 0, 6 +(Mка −Mк2 )0,8 +(Mка −Mк2 +Mк3 )0,5 =0 .

Отсюда M ка = 6 кН. По выражениям (14.8) вычисляются

моменты на участках вала, и строится эпюра крутящих момен-

тов (рис. 14.8).

119

Mка

M 2

=80 кНм

M 3

= 70 кНм

M

b

к

к

III b

к

a

I

c

II

d

0,6

м

6

0,8 м

0,5 м

. Мх

эп

4

74

Рис. 14.8. Эпюракрутящихмоментов

Вопросы для самопроверки

1.Каков порядок определения максимальных касательных напряжений в конструкции при кручении?

2.Какой тип поперечного сечения является наиболее экономичным по расходуматериала при кручении?

3.Какие перемещения возникают при кручении валов?

4.Какой физический смысл имеет уравнение совместности перемещений при кручении валасдвумяопорами-защемлениями?

120