Лекция по сопромату

ЛЕКЦИЯ 15. ВИДЫ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ

ВТОЧКЕ

15.1.Плоское напряжённое состояние в точке

Для всех рассмотренных видов деформации условие прочности записывается через напряжения, действующие на площадках поперечного сечения. Но через точку можно провести бесчисленное множество наклонных площадок, на каждой из которых действуют нормальные и касательные напряжения. Необходимо установить зависимость напряжений на наклонных площадках от напряжений, действующих на площадках поперечного сечения. Эта зависимость позволяет сформулировать условия, при которых напряжения на наклонных площадках принимают большие значения, чем напряжения в поперечном сечении. Тогда прочность оценивается по напряжениям, действующим на наклонных площадках.

Рассматривается бесконечно малый элемент конструкции, вырезанный вокруг точки поперечными и продольными сечениями (рис. 15.1). Для общности выводов учитываются напряжения σy , которых нет в рассмотренных видах деформации.

	v		у
			σy
Площадка попе-							u
речного сечения		τ					α
	τ					σx		х
σx
					τ
			τ			Площадка про-
			σy			дольного сечения

Рис. 15.1. Напряженияв точкеприплоском напряжённом состоянии

121

Касательные напряжения, действующие на взаимно перпендикулярных площадках, соответствуют закону парности касательных напряжений, сформулированному ранее (11.6). Совокупность напряжений вокруг точки называется напряжённым состоянием. Описать напряжённое состояние – значит получить формулы, выражающие напряжения на наклонных площадках (соответствующих осям u, v) через напряжения, действующие на площадках поперечного и продольного сечений. Формально задача о плоском напряжённом состоянии аналогична задаче о зависимости между моментами инерции при повороте осей координат на угол α. С целью сохранения аналогии принято то же обозначение повёрнутых осей координат (u, v). Дальнейшие выкладки проводятся в матричной форме.

Формулы преобразования координат при повороте осей (4.1) в матричном виде записываются следующим образом:

u

cos α

sin α z

,

(15.1)

=

−sin

α

v

cos α y

где

cos α

sin

α

–

матрица

линейного преобразования

H =

−sin α

cos α

координат при повороте осей.

Исходная

матрица

плоского

напряжённого

состояния

в точке имеет вид

σ

τ

S0

x

(15.2)

=

.

τ

σy

Матрица плоского напряжённого состояния в точке при

повороте осей имеет вид

Sα

σ

u

τ

α

(15.3)

=

.

τα

σv

По правилам линейного преобразования матриц

122

Sα = H *S0 H ,

(15.4)

где Н* – транспонированная матрица Н.

Преобразования по правилу перемножения матриц дают следующие результаты:

σu = σx cos2 α +σy sin2 α−τsin(2α) ,			(15.5)
σv = σx sin2 α+σy cos2 α+ τsin(2α) ,			(15.6)
τα =	σx −σy	sin(2α) +τcos(2α) .	(15.7)
2

Выражения (15.5) – (15.7) по своей структуре аналогичны формулам (4.2) – (4.4), определяющим зависимость между моментами инерции при повороте осей координат. Задача определения экстремальных значений нормальных напряжений решается по следующей схеме.

1) Определяется положение главных площадок. Главны-

ми называются площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.

τα =0	tg(2α) = −			2τ		.	(15.8)
		σ
			x	−σ	y

Угол α, определяющий положение главных площадок, вычисляется с помощью функции arctg(–2τ /(σх – σу)).

2) При известной величине α главные напряжения вычис-

ляются по формулам (15.5), (15.6). Главные напряжения – это

экстремальные (max, min) нормальные напряжения, действующие на главных площадках.

Главные напряжения в терминах теории матриц – это собственные значения матрицы S0 (15.2). Тогда главные напряже-

ния можно определить из уравнения
	(σx −σ)	τ		= 0	(σx	−σ)(σy	−σ) −τ2	=0
	τ	(σy −σ)

123

или	σ2 −(σx +σy )σ+σxσy −τ2											= 0 .
Отсюда			σx +σy
σ		=		±	1	(σ	x	−σ	y	)	2	+4τ	2	.	(15.9)
1,2			2		2

Значения главных напряжений, вычисленные по формулам (15.5), (15.6), должны совпадать со значениями, вычисленными по формуле (15.9).

Максимальные касательные напряжения определяются по схеме исследования функции τα(15.7) на экстремум.

∂τα =(σx −σy )cos(2α) −2τsin(2α) =0 .
∂α
Отсюда	σx −σy .
tg(2α) =		(15.10)
	2τ

Из выражения (15.7) с помощью формулы (15.10) исключаются sin(2α), cos(2α). Получается формула для вычисления

максимальных касательных напряжений:
		ταmax = 1	(σx −σy )2 +4τ2 .				(15.11)
2
Формулы (15.9), (15.11) позволяют проанализировать ус-
ловия прочности для простых видов деформации.
Растяжение-сжатие.			Исходные	напряжения равны:
σx =σ =	N	, σy =0, τ =0 . При подстановке			этих		напряжений
	A
в формулы (15.9), (15.11)			получается:	σ =σ, σ			= 0, τmax =	σ	.
						2
				1			α	2

Подстановка исходных напряжений в формулу (15.10) даёт следующий результат: tg(2α) = ∞ 2α = 90D α = 45D . Получен-

124

ные максимальные напряжения при растяжении-сжатии совпадают с результатами (6.3), (6.4) лекции 6.

Поперечный изгиб. Исходные напряжения равны:

σx = σ =

M

z

y

, σy = 0, τ =

Qy Sz*

.

Jz

Jzby

При подстановке этих напряжений в формулы (15.9),

(15.11) получается:

= σ

± 1 σ2 +4τ2

σ

.

(15.12)

1,2

2

2

1

ταmax =

σ2 +4τ2 .

(15.13)

2

В точках поперечного сечения с координатой

ymax

напря-

жения равны: σ =

M z

, τ = 0 .

Тогда σ1

= σ, ταmax =

σ

.

В

точках

Wz

2

Q

y

(S* )

max

с координатой у = 0 напряжения равны: σ = 0, τ =

z

. То-

Jzby

гда σ1 = τ, ταmax = τ. Установленные величины главных напряже-

ний и максимальных касательных напряжений характерны для большинства типов сечений (кроме тонкостенных сечений). Эти величины показывают, что проверка прочности по нормальным напряжениям, действующим на площадках поперечного сечения, достаточна.

Сдвиг и кручение. Исходными являются только касательные напряжения τ, нормальные напряжения равны нулю: σх = 0,

σу = 0. Тогда σ1 = τ, τmaxα = τ. Следовательно, проверка прочно-

сти по касательным напряжениям, действующим в плоскости поперечного сечения, достаточна для обеспечения прочности всей конструкции.

125

Вопросы для самопроверки

1.Какие площадки, проходящие через точку, называются главными?

2.Какие напряжения называютсяглавными напряжениями?

3.Каков главный итог изучения плоского напряжённого состояния при простых видах деформации?

126

ЛЕКЦИЯ 16. СВОДКА СХЕМ ДЕКАРТА

ДЛЯ ПРОСТЫХ ВИДОВ ДЕФОРМАЦИИ

16.1. Подведение итогов за семестр

Рассмотрены четыре вида деформации (рис. 16.1–16.4). Сводка формул дана по схеме Р. Декарта для каждого вида деформации, начиная с математической модели (первый пункт схемы Р. Декарта). Общая математическая задача представлена во второй лекции.

Растяжение-сжатие

Математическая задача

	Схемы
				Схемы			Длина			поперечногоРазмеры	сечения
	нагрузок			опор			стержня
		Расчётная схема конструкции
				Метод сечений

Внутреннее усилие

Продольная сила N = ∑Fxi i

Напряжения

Интегральное выражение

N = ∫σdA

A

Рис. 16.1. Схема Р. Декарта для деформации «растяжение-сжатие» (см. такжес. 128)

127

Алгебраическая задача

		Эксперимент
Допущение о плоском сечении

Нормальные напряжения

σ = NA

Закон Гука σ = Еε Линейная относительная деформация

ε = l/l

Удлинение l = Nl EA

Арифметическая задача

Эксперимент

Условие прочности

N

≤[σ]

A max

Допускаемое напряжение [σ]

Варианты расчётов

Проектировоч-

Определение

Проверочный

ный расчёт

грузоподъёмно-

расчёт

A ≥

N

сти

N

≤[σ]

N ≤ A[σ]

[σ]

A max

Рис. 16.1. Окончание

128

Схема на рис. 16.1 не отражает особенностей решения статически неопределимых задач. Учёт этих особенностей усложняет схему, которая теряет наглядность.

Схема поперечного изгиба представлена на рис. 16.2.

Поперечный изгиб

Математическая задача

	Схемы
				Схемы		Длина			поперечногоРазмеры	сечения
	нагрузок			Метод сечений
				опор		стержня
	Расчётная схема конструкции

Внутренние усилия

Поперечная сила Q = ∑Fyi i

Изгибающий момент M z = ∑M 0(i)

i

Напряжения

Интегральные выражения

M z = ∫σydA	Qy = ∫τydA
A	A

Рис. 16.2. Схема Р. Декарта для деформации «поперечный изгиб» (см. так-

жес. 130)

129

Алгебраическая задача

Допущение о плоском сечении

Эксперимент

Напряжения

σ =

M

z

y

,

τ =

Qy Sz

Закон Гука σ = Еε

Jz

J z by

Максимальные напряжения в сечении

σ

max

=

M z

Wz

Арифметическая задача

Эксперимент

Условие прочности

M z

≤[σ]

Wz

max

Допускаемое напряжение [σ]

Рис. 16.2. Окончание

Деформации сдвига и кручения представляются по упрощённой схеме Р. Декарта для экономии места в тексте

(рис. 16.3, 16.4).

130