Лекция по сопромату

y1	y2
	a

dA

z2

y2

y1

z1

z2

b

z1

Рис. 2.3. Координатыточкив двухсистемахкоординат

На рис. 2.3 изображена бесконечно малая площадка поперечного сечения с площадью dA. Зависимость между координа-

тами выражается	простыми		формулами: z2 = z1 −a; y2 = y1 −b .
Тогда статический момент относительно z2				выражается через
статический моментотносительно оси z1 :
Sz2 = ∫y2dA Sz2 = ∫( y1 −b)dA Sz2 = ∫y1dA −b∫dA
A	A		A	A
	Sz	2	= Sz −bA .	(2.13)
			1
Аналогично получается формула для Sy2 .
	Sy = Sy −aA .			(2.14)
	2		1

В формуле (2.13) величину b можно подобрать так, что статический момент Sz2 будет равен нулю. Вводится определе-

ние: ось, относительно которой статический момент равен

21

нулю, называется центральной (т. е. проходит через центр тяжести сечения).

Координата центра тяжести определяется по формуле, которая следует из условия

Sz	2	= 0 Sz −bA = 0 .	(2.15)
Отсюда		1
		b = yc = Sz / A.	(2.16)
		1

В выражении (2.16) расстояние между горизонтальными осями b заменено обозначением координаты центра тяжести ус.

Аналогично получается:

a = zc = Sy / A .	(2.17)
1

Выражения (2.16), (2.17) показывают, что для вычисления координат центра тяжести выбираются произвольные оси координат z1, y1, относительно произвольных осей вычисляются статические моменты, и эти моменты делятся на площадь.

Если поперечное сечение представляет собой сложную фигуру, то вычисление статических моментов – не такая простая задача, как вычисление площадей.

2.4. Вычисление статических моментов сложных фигур

Любая величина, вычисляемая через определённый интеграл, может определяться как сумма интегралов, вычисленных по отдельным областям, составляющим сложную фигуру. Тогда статический момент всей фигуры равен сумме статических моментов простых фигур, на которые разделяется сложная фигура поперечного сечения. Статические моменты простых фигур вычисляются по формулам, которые следуют из выражений

(2.16), (2.17):

S z = yc A ,

(2.18)

22

S y = zc A .

(2.19)

Формулы (2.18), (2.19) показывают, что статический мо-

мент можно вычислить как произведение площади и соответствующей координаты центра тяжести. Таким образом,

простой фигурой при вычислении статических моментов является фигура, для которой известно, как вычислять площадь и координаты центра тяжести. Для облегчения рас-

чётов геометрические характеристики простых фигур представлены в таблице, имеющейся в учебниках и справочниках по сопротивлению материалов.

Теперь можно сформировать процедуру вычисления статических моментов сложной фигуры.

1)Сложная фигура разделяется на n простых фигур.

2)Выбирается произвольная система координат z, y.

3)Вычисляются площади простых фигур Ai.

4)Вычисляются координаты центра тяжести простых фи-

гур zci , yci .

5) Вычисляются статические моменты сложной фигуры по формулам:

n
S z = ∑ yci Ai ;	(2.20)
i=1
n
S y = ∑ zci Ai .	(2.21)
i=1

2.5. Вычисление координат центра тяжести сложной фигуры

После подстановки формул (2.20), (2.21) в выражения

(2.16), (2.17) получается:

n	n
zc = ∑zci Ai / ∑ Ai ;		(2.22)
i=1	i=1
		23

n

yc = ∑ y

i=1

n

сi Ai / ∑ Ai . (2.23)

i=1

Порядок использования формул (2.22), (2.23) представлен в примере 1.

Вопросы для самопроверки

1.К каким уравнениям сводится математическая задача сопротивления материалов?

2.Почему геометрические характеристики плоских сечений, кроме площади, называют моментами?

3.Чему равен статический момент относительно центральной оси?

4.С чего начинается вычисление координат центра тяжести любой фигуры?

24

ЛЕКЦИЯ 3. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ФИГУР

Пример 1. Сложная фигура показана на рис. 3.1.

5 см			4 см

7 см

Полуокружность

Рис. 3.1. Схемасложнойфигуры

Сложная фигура разделяется на простые фигуры, как показано на рис. 3.2. Простые фигуры нумеруются. Произвольные оси координат выбираются так, чтобы было удобно вычислять координаты центров тяжести простых фигур (см. рис. 3.2).

Во избежание ошибок по невнимательности координаты центров тяжести и площади простых фигур заносятся в таблицу.

25

	у
5 см		4 см
		2
		zc2
		• •
	• z c1
	•	c2
1	1	y
	y
	c
	c3	zc3
	y
	••

7 см

z

3

Полуокружность

Рис. 3.2. Разделениесложнойфигурына простые

Координаты центров тяжести и площади простых фигур

	Фигура № 1			Фигура № 2			Фигура № 3
zc1	(см)	–1,(6)	z	c2	(см)	2	z	(см)	–0,5
							c3
yc1 (см)		2,(3)	yc2 (см)			3,5	yc3 (см)		–1,91
A1(см2)		17,5	A2 (см2)			28	A3 (см2)		31,81

Вычисление координат и площадей производится по формулам, приведённым в справочных таблицах простых фигур.

Например, для полукруга		y	с3		= 2D / 3π, A = πD2	/ 8 , где D –
					3

диаметр.

26

Данныеиз таблицы подставляются в формулы (2.22), (2.23).

zc =	(−1, (6))17,5 +2 28 +(−0,5)31,81		= 0,14136 .
		17,5 +28 +31,81
y		= 2,(3)17,5 +3,5 28 +(−1,91)31,81 =1.
	c	17,5 +28 +31,81

Таким образом, координаты центра тяжести определены, т. е. определено положение начала координат центральных осей.

3.1. Вычисление моментов инерции простых фигур

Интегрирование при использовании формул (2.10) – (2.12) является достаточно простым математическим действием, если дифференциал площади dA без затруднений выражается через дифференциалы аргументов dz, dy. Например, для прямоугольника, показанного нарис. 3.3, dA = bdy.

Формула (2.10) принимает вид

J z =	h / 2
	∫ by2dy .
	−h / 2

После взятия интеграла получается Jz = bh3 .

12

Аналогично J y = hb3 .

12

Для контроля правильности вычислений следует обратить внимание на то, что в формулах (2.10), (2.11) подынтегральные функции положительны (координата в квадрате), следовательно, моменты инерции Jz, Jy всегда положительны. Центробежный момент инерции вычисляется как интеграл по площади от

	y
		dy
		dy		z
h		y

b

Рис. 3.3. Прямоугольник

27

произведения координат (формула (2.12)), поэтому центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Ноль получается, если интеграл по площади с положительным произведением координат (первый

итретий квадранты системы координат) равен интегралу по площади с отрицательным произведением (второй и четвёртый квадранты). Для центральных осей координат равенство интегралов упрощается до равенства площадей в положительных

иотрицательных квадрантах произведения координат, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, т. е. из анализа фор-

мулы (2.12) следует, что центробежный момент инерции сим-

метричных фигур относительно центральных осей симмет-

рии равен нулю. В соответствии с этим правилом для прямо-

угольника, изображённого на рис. 3.3, J zy = 0.

Аналогичное интегрирование проведено для других простых фигур, и результаты сведены в таблицу геометрических характеристик.

Если фигура сложная, то возможен способ суммирования моментов инерции простых фигур по аналогии с вычислением статических моментов сложных фигур. Но для сложения моментов инерции необходимо знать зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей.

3.2. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Рассматривается фигура, представленная на рис. 2.3. Используется следующая форма зависимости между координатами: z1 = z2 +a, y1 = y2 +b . Тогда в процессе подстановки полу-

чается следующая зависимость:

Jz1 = ∫y12dA Jz1 = ∫( y2 +b)2 dA

A A

28

Jz1 = ∫y22dA +2b∫y2dA +b2 ∫dA

A						A		A
J	= J			z 2	+2bS		+b2 A .
	z1						z 2
Если ось z2 – центральная, то Sz2 = 0 . Тогда окончательно
получается:						+b2 A .
	Jz = J z							(3.1)
					0
В выражении (3.1) обозначение z1 заменяется обозначени-
ем z; аналогично z2 → z0			(z0 – обозначение центральной оси).
Аналогично получаются формулы
	J	y	= J		y	+a2 A .		(3.2)
						0
	Jz y		= Jz 0 y 0 +abA .					(3.3)

В формулах (3.1), (3.2) a, b – это расстояния между центральными и нецентральными осями. Из формул (3.1), (3.2) следует, что при удалении оси от центра тяжести момент инерции увеличивается. Центробежный момент инерции в соответствии с выражением (3.3) при удалении осей от центра тяжести увеличивается, если произведение ab положительно, и уменьшается, если произведение ab отрицательно.

3.3. Вычисление моментов инерции сложных фигур относительно центральных осей

Принцип суммирования моментов инерции реализуется

вследующей последовательности.

1)Определяются координаты центра тяжести сложной фи-

гуры (zc, yc) и проводятся центральные оси всего сечения (z0, y0) (см. пример 1).

2)Обозначаются центральные оси каждой фигуры (z0i, y0i).

29

3) Вычисляются расстояния (ai, bi) между центральными осями сложной фигуры и центральными осями каждой простой фигуры. Формулы для вычисления расстояний выводятся при рассмотрении рис. 3.4.

y

zci

zc

y0i

y0

•

ai

Простая фигура

•	z0i

i
b	z0
ci
y
c
y

z

Рис. 3.4. Координатыцентров тяжестиирасстояниямеждуосями

На рис. 3.4 показано, как соотносятся расстояния между центральными осями и координатами центров тяжести.

ai = zci − zc ; bi		= yci − yc .				(3.4)
4) Вычисляются моменты		инерции				относительно цен-
тральных осей простых фигур Jz	0i	, J y	, Jz	0i	y	. Формулы для вы-
		0i			0i

числения моментов инерции выбираются из таблицы геометрических характеристик простых фигур.

5) Вычисляются моменты инерции сложной фигуры по формулам, полученным с помощью выражений (3.1), (3.2), (3.3).

30