Лекция по сопромату

а

F1 = 20 кН

F2 = 10 кН

F3 = 50 кН

b

Ra

Rb

А

2А

0,4 м

0,3 м

0,4 м

0,5 м

I

II

III

IV

26,087

6,087

+

эп. N (кН)

13,913

23,913

Рис. 7.3. Эпюра продольныхсил встатическинеопределимом стержне

Для вычисления двух неизвестных реакций требуется составить ещё одно уравнение – уравнение совместности перемещений. Анализ деформирования данной конструкции достаточно прост: как бы ни деформировался стержень, опорные сечения a, b остаются неподвижными, т. е. взаимное перемещение опорных сечений равно нулю – ub–a = 0. Это и есть уравнение совместности перемещений.

Перемещение ub–a определяется как сумма абсолютных деформаций участков ( l) (см. пример 7)

ub−a = l1 + l2 + l3 + l4 = 0.

Абсолютные деформации участков ( li) переписываются с помощью формулы (7.12).

N1l1 + N2l2 + N3l3 + N4l4 = 0 . EA1 EA2 EA3 EA4

61

Для решения полученного уравнения продольные силы выражаются через реакцию Ra . N1 = −Ra . N2 = −Ra −F1 .

N3 = −Ra −F1 −F2 .

N4 = −Ra −F1 − F2 + F3 . Пусть материал

стержня одинаков на всех участках. Соотношение площадей поперечных сечений указано на расчётной схеме (см. рис. 7.3): А1 = А2 = А; А3 = А4 = 2А. После подстановки Ni в уравнении со-

вместности перемещений остаётся одно неизвестное Ra , которое равно Ra = –6,087 кН. Тогда продольные силы равны:

N1 = 6,087 кН; N2 = –13,913 кН; N3 = –23,913 кН; N4 = 26,087 кН.

Вычисленные продольные силы показаны на эпюре

(см. рис. 7.3).

Пример 9. Расчётная схема конструкции показана на рис. 7.4.

2 м

a

2А	А
	F = 300 кН
α	1
	2
	b

2 м	1 м	1,5 м	1 м

Рис. 7.4. Расчётнаясхема конструкциисопорнымиподвесками

Требуется определить усилия в стержнях 1, 2. Стержень ab – абсолютно жёсткий. Это значит, что под действием нагрузки деформируются (в данном примере удлиняются) только стержни 1, 2. По методу сечений стержни 1, 2 мысленно разре-

62

заются, верхняя часть отбрасывается и заменяется продольными силами в стержнях, как показано на рис. 7.5.

2 м

a

Va Ha 2 м

2А				А
N1		N2		F = 300 кН
α
					b
1 м		1,5 м		1 м

Рис. 7.5. Расчётнаясхема нижнейотсечённойчастиконструкции

Для определения продольных сил N1, N2 возможно составить одно уравнение статики ∑Ma = 0 или

N1 3sin α+ N2 4,5 − F 5,5 = 0 .

В другие уравнения статики входят реакции опоры а (см. рис. 7.5), поэтому для решения поставленной задачи эти уравнения непригодны.

При составлении уравнения совместности перемещений учитывается, что стержень ab поворачивается относительно опоры а за счёт деформирования стержней 1, 2. Деформированное состояние конструкции показано на рис. 7.6. Перемещение шарниров c, d до положения соответственно e, f принято по прямой, хотя при повороте стержня ab точки c, d перемещаются по дуге окружности. Однако угол поворота стержня ab при упругих деформациях стержней 1, 2 очень мал, поэтому дуги окружности

63

можно заменить отрезками прямых практически без потери точности. Тогда условие совместности перемещений выражается в том, что отрезки ce и df подчиняются правилу пропорции:

ce3 = 4,5df .

На рис. 7.6 показано, что df = l2. Отрезок се выражается через l1: ce = l1 / sinα. Это выражение получено на основе допущения о том, что при малых упругих деформациях первоначально заданные углы не изменяются (в примере угол α). Допущение о неизменяемости углов позволяет изображать удлинения стержней на заданных направлениях стержней, как показано на рис. 7.6. Другой способ изображения схемы деформации с повёрнутыми осями стержней приводит к путанице и ошибкам.

α		l1
а	c	d	b
		α
		l2
	e	f
3 м
		1,5 м

Рис. 7.6. Схемадеформированиясперемещениямишарнирныхузлов

Уравнение совместности перемещений с учётом полученных выражений для отрезков ce и df принимает вид

64

	l1 / 3sinα =		l2 / 4,5
или
	N1l1	=	N2l2	.
	E2A3sin α		4,5EA

После вычисления l1, l2, sinα получается: N1 = 1,06N2. Полученное уравнение совместности перемещений, выраженное через продольные силы, решается совместно с уравнением статики. Получается N1 = 238,6 кН; N2 = 225,1 кН.

Расчёт, представленный в примерах 8, 9, показывает, что в статически неопределимых системах распределение внутренних усилий зависит от заданного соотношения жёсткостей элементов ( Ei Ai – жёсткость при растяжении-сжатии i-го элемента).

Вопросы для самопроверки

1.При каких деформациях справедлива формула для вычисления перемещений?

2.Как определяется направление перемещения?

3.Что показывает эпюра перемещений?

4.Какие системы называются статически неопределимыми?

5.Каков общий принцип составления уравнений совместности перемещений?

6.Какие упрощающие допущения используются при составлении уравнений совместности перемещений?

7.Сколько необходимо составить уравнений совместности перемещений?

8.От каких факторов зависит распределение внутренних усилий в статически неопределимой системе?

65

ЛЕКЦИЯ 8. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ

ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

8.1. Плоский изгиб

Изгиб стержня возникает в том случае, когда нагрузка действует поперёк оси стержня в одной из координатных плоскостей. Для определённости принимается, что нагрузка действует в плоскости XY, как показано на рис. 8.1.

	y
	Qy
M z
	z	Плоскость действия
x		нагрузки (XY)

Рис. 8.1. Плоскостьдействиянагрузкиприплоском изгибе

При нагрузке в плоскости XY в поперечном сечении действуют два внутренних усилия: изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy (см. рис. 8.1). Эти внутренние усилия определяются методом сечений. Изгибающий момент Mz определяется из

уравнения ∑M0 = 0 , где индекс «0» обозначает центр тяжести

поперечного сечения, в котором определяется изгибающий момент. Как и продольную силу, изгибающий момент можно вычислить по формуле, которая выводится из уравнения статики

( ∑M0 = 0 ).

66

M z = ∑M0(i) .	(8.1)
i

Согласно формуле (8.1) изгибающий момент в сечении

равен сумме моментов относительно сечения всех внешних сил, действующих на отсечённую часть конструкции. Для составления суммы моментов в формуле (8.1) принято следую-

щее правило знаков: изгибающий момент является положи-

тельным, если он изгибает отсечённую часть так, что сжи-

маются верхние волокна. Правило знаков показано на рис. 8.2.

+

+

Сжимаются верхние волокна

Рис. 8.2. Правилознаков дляизгибающегомомента

Вычисление момента показано в примере 10. Пример 10. Расчётная схема представлена на рис. 8.3.

	F1 = 15 кН				F2	= 20 кН
							М = 10 кНм
		с					d
				е
	1 м		1 м				2 м
VA = 18,75 кН							VB = 16,25 кН

Рис. 8.3. Расчётнаясхема балки

67

Определить изгибающие моменты в сечениях с и d. Для определения момента в сечении с балка рассекается по этому сечению. Рассматривается равновесие левой части, показанной на рис. 8.4. На расчётной схеме отсечённой части опоры отбрасываются и заменяются реакциями.

		c			M zc
						При изгибе сжимаются
VA	1 м					верхние волокна

Рис. 8.4. Расчётнаясхема левойотсечённойчасти

По формуле (8.1) момент в сечении с равен:

M zc =VA 1 =18,75 кНм.

Момент от VA принят положительным потому, что при изгибе консоли сжимаются верхние волокна, как показано на рис. 8.4. Этот же момент можно вычислить, рассматривая равновесие правой части, представленной на рис. 8.5.

		M zc			F2		M
				с			VB
				1 м		2 м
		Рис. 8.5. Расчётнаясхема правойотсечённойчасти
	Исходя из расчётной схемы правой части, момент M zc ра-
вен	M c =V 3 −M − F 1 =18,75					кНм. Эта величина совпадает
	z	B		2

с величиной момента, полученной при рассмотрении равновесия

68

левой части. В практических расчётах рассматривается та часть конструкции, которая проще при вычислениях.

Вычисление момента M zc показано с отдельным изобра-

жением отсечённых частей конструкции. Однако для составления суммы моментов по формуле (8.1) необязательно каждый раз рисовать расчётную схему отсечённой части, достаточно учесть силы справа или слева от сечения, используя расчётную схему конструкции. Например, при вычисления момента в сече-

нии d ( M d ) силы слева – это VA, F1. Тогда	M d =V		A	2 −F 1 .
z	z			1
При подстановке численных значений VA	и F1	получается

M zd = 22,5 кНм. Нагрузка справа от сечения d – это VB и М. По

формуле (8.1) получается M d =V 2 −M = 22,5 кНм.
z B
Поперечная сила Qy определяется из уравнения статики
∑Fy = 0 . Отсюда получается формула для вычисления попе-
речной силы:
Qy = ∑Fy(i) .	(8.2)

i

В соответствии с формулой (8.2) поперечная сила в сече-

нии равна сумме проекций на ось у всех сил, действующих на отсечённую часть конструкции; проекции сил входят в сумму по правилу знаков, принятому для поперечных сил.

Правило знаков: если поперечная сила стремится по-

вернуть сечение по часовой стрелке – она положительна.

Иллюстрация правила знаков показана на рис. 8.6.

Qy

+

Qy

Поворот сечения по часовой стрелке

Рис. 8.6. Правилознаков дляпоперечныхсил

69

Пример 11. Определить поперечные силы в сечениях с и е (см. рис. 8.3). Для сил слева от сечения е по формуле (8.2) полу-

чается Qye = VA – F1 = 18,75 – 15 = 3,75 кН. Знаки для сил VA и F1 поясняются на рис. 8.7.

Поворот сечения е по часовой стрелке Знак «+»

	F1
VA		е

Поворот сечения е против часовой стрелки Знак «–»

Рис. 8.7. Знакипроекцийсил, действующихна левуючасть

Если рассматривать правую часть от сечения е, то получа-

ется: Qye = F2 – VB = 20 – 16,25 = 3,75 кН.

Для сечения с при рассмотрении левой части (см. рис. 8.4) получается Qyc = VA = 18,75 кН. При рассмотрении правой части

(см. рис. 8.5) получается Qyc = F2 – VB = 3,75 кН. Значения попе-

речных сил при рассмотрении равновесия левой и правой частей не совпадают. Этот результат не является ошибочным, т. к. в сечении c приложена сосредоточенная сила F1. Эта внешняя сила уравновешивается поперечными силами, действующими в сечениях бесконечно малого элемента, вырезанного в окрестности сечения c (рис. 8.8).

Бесконечно малый элемент на рис. 8.8 фактически имеет три сечения: сечение с, сечение на бесконечно малом расстоя-

70