Лекция по сопромату

4) Внутренние усилия определяются из уравнений статики. Последовательность метода сечений показана на рис. 5.1.

Рассматривается стержень, загруженный продольной внешней нагрузкой, которая вызывает деформациюрастяжения или сжатия.

1

II часть

Fn

2

II часть

Fn

Fj

I часть

Мысленное

Fj

сечение

F1

Fi

Fn

Первая часть отброшена

II часть

3

II часть

Fj

4

Fn

N

N

Fj

Действие отброшенной

x

Уравнение статики

части заменяется силой N

∑Fx = 0

Рис. 5.1. Последовательностьметода сечений

Многие материалы не одинаково работают на растяжение и на сжатие, поэтому при вычислении продольной силы необходимо знать не только величину силы, но и её знак. Причём этот знак не связан с направлением оси х, знак продольной силы должен характеризовать вид деформации – растяжение или сжатие. Принято, что растягивающая сила положительна, а сжимающая сила отрицательна, как показано на рис. 5.2.

41

N	N	N	N
+	+	–	–

Рис. 5.2. Правилознаков дляпродольныхсил

Как видно на рис. 5.2, растягивающая (положительная) продольная сила направлена от сечения, а сжимающая (отрицательная) продольная сила направлена в сторону сечения. Важно подчеркнуть, что принятое правило знаков для продольных сил не связано с правилами знаков, установленных в теоретической механике при составлении уравнений равновесия. Растягивающая продольная сила в уравнении статики может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от принятого направления оси х. Некоторые особенности определения продольных сил выявляются на примерах.

Пример 4. Рассчитана конструкция, показанная на рис. 5.3.

R	F1 = 10 кН			F2 = 30 кН F3 = 40 кН				F4 = 10 кН
	I			II		III		IV

Рис. 5.3. Расчётнаясхема стержнясосевойнагрузкой

Конструкция имеет четыре участка, которые образуют точки приложения сил и крайние сечения. На каждом участке продольная сила определяется методом сечений, сечения по участкам показаны на рис. 5.3 волнистыми линиями.

Участок I. Рассматривается равновесие правой отсечённой части, левая часть отброшена, чтобы не вычислять реакцию R.

В соответствии с расчётной схемой (рис. 5.4) составляется уравнение равновесия.

42

∑Fx =0 −N1 + F1 −F2 + F3 −F4 =0 .

Отсюда

		N1 = F1 −F2 + F3 − F4 .						(5.2)
N1	F1		F2	F3			F4	x

Рис. 5.4. Расчётнаясхема первогоучастка

После подстановки численных значений сил получается N1 =10 кН. Расчётная схема второго участка показана на рис. 5.5.

N2			F2	F3		F4	x

Рис. 5.5. Расчётнаясхемавторогоучастка

Уравнение статики:

∑Fx =0 −N2 −F2 + F3 − F4 =0 .

Отсюда
	N2 = −F2 + F3 −F4 .			(5.3)
Численное значение: N2 = 0 кН.
Третий участок (рис. 5.6).
N3	F3		F4	x

Рис. 5.6. Расчётнаясхема третьегоучастка

43

∑Fx =0 −N3 + F3 −F4 =0 .
	N3 = F3 −F4 .		(5.4)
	N3 = 30 кН.
Четвёртый участок (рис. 5.7).
N4		F4	x
Рис. 5.7. Расчётнаясхема четвёртогоучастка
	∑Fx =0 −N4 −F4 =0 .
	N4 = −F4 .		(5.5)
	N4 = – 10 кН.

На расчётных схемах участков продольная сила направлена от сечения, т. е. принимается положительной. Расчёт показал, что на четвёртом участке продольная сила отрицательна, т. е. сжимающая. Анализ выражений (5.2) – (5.5) показывает, что знаки сил Fi соответствуют правилу знаков, принятому для продольной силы. Силы, направленные от сечения, в этих выражениях положительны, а силы, направленные в сторону сечения,

отрицательны. Тогда составление уравнений статики ( ∑Fx = 0 )

является излишним. Проще сразу составлять выражение для определения продольной силы.

N = ∑n	Fxi ,	(5.6)
i=1

где n – количество сил F i, действующих на отсечённую часть. Формула (5.6) выражает общее правило определения про-

дольных сил: продольная сила равна сумме проекций на ось

х всех сил, действующих на отсечённую часть конструкции;

44

проекции сил входят в сумму со знаками, соответствующими правилу знаков для продольных сил.

Результаты определения продольных сил оформляются в виде графика. В сопротивлении материалов графики внутренних усилий или других величин называются эпюрами (в именительном падеже – эпюра). По результатам примера 4 получается эпюра, представленная на рис. 5.8. Эпюра строится как обычный график на продольной оси конструкции. Ось конструкции может быть ломаной, тогда эпюра строится на ломаной оси. Знаки усилий проставляются внутри графика. Заголовок эпюры проставляется рядом с эпюрой – эп. N (кН). В заголовке указывается размерность продольных сил.

Таким образом, эпюра продольных сил – это график,

показывающий, как изменяется продольная сила по длине конструкции.

R

F1 = 10 кН

F2 = 30 кН F3 = 40 кН

F4 = 10 кН

I

II

III

30

IV

10

+

эп. N (кН)

–

10

Рис. 5.8. Эпюра продольныхсил

Эпюра показывает, что при достаточно сложной нагрузке некоторые участки могут не деформироваться (второй участок). Вертикальные скачки на эпюре возникают в сечениях с приложенными сосредоточенными силами. Величина скачка равна приложенной силе.

45

Существует ряд стержневых конструкций, в которых для каждого стержня продольная сила и площадь сечения постоянны (например, фермы или конструкции с подвесками). В таких простых случаях продольные силы определяются не по формуле (5.6), а из уравнений равновесия.

Вопросы для самопроверки

1.Какой виддеформации называется растяжением-сжатием?

2.Чему равняется продольная сила по методу сечений?

3.Что показывает эпюра продольных сил?

46

= 60 МПа.

ЛЕКЦИЯ 6. ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

6.1. Определение напряжений от заданной нагрузки

Для оценки прочности конструкции определяются максимальные напряжения. В соответствии с формулой (5.1) максимальные нормальные напряжения равны:

	N	(6.1)
σmax =	.
	A max

Если по длине стержня площадь поперечного сечения не изменяется (A = const), то максимальные нормальные напряжения определяются по формуле

σmax =	Nmax	.	(6.2)
	A

Пример 5. Рассчитан стержень, представленный в примере 4. Пусть площадь поперечного сечения по всей длине стержня равна А = 5 см2 (в сопротивлении материалов геометрические характеристики поперечных сечений измеряются в смn, где n = 2, …, 4). Тогда максимальные напряжения определяются по формуле (6.2). На эп. N показано (см. рис. 5.8), что максимальная продольная сила равна Nmax = 30 кН. В результате вычисле-

ний напряжения должны измеряться в МПа (МПа = МН/м2), поэтому килоньютоны (кН) должны переводиться в меганьютоны (МН), а сантиметры квадратные переводятся в метры квадратные. Для перевода размерностей используется число «десять» в соответствующей степени, как показано в следующем примере вычислений.

σ = 30 10−3

max 5 10−4

Если стержень имеет переменную площадь поперечного сечения, то для определения максимальных напряжений строится эпюра нормальных напряжений по длине стержня.

47

Пусть по участкам площади поперечных сечений равны: А1 = 2 см2; А2 = 2 см2; А3 = 8 см2; А4 = 4 см2. Такой стержень на-

зывается ступенчатым. Напряжения вычисляются по формуле (5.1) ( σ = N / A ). Результаты вычислений показаны на эпюре нормальных напряжений (рис. 6.1).

F1

F2

F3

F4

А1

А2

А3

А4

I

II

III

IV

50

37,5

+

эп. σ(МПа)

–

25

Рис. 6.1. Эпюра нормальныхнапряжений

Эпюра напряжений показывает, что в общем случае при переменной площади поперечного сечения максимальные напряжения могут действовать не в том сечении, где действует максимальная продольная сила.

Формула (6.1) позволяет определять максимальные нормальные напряжения, действующие на площадках поперечного сечения. Необходимо проверить, не возникают ли в наклонных сечениях напряжения большие, чем напряжения в поперечных сечениях. Для такой проверки исследуются напряжения в точке, действующие по различным сечениям. Комплекс напряжений

в точке называется напряжённым состоянием в точке.

48

6.2. Напряжённое состояние в точке при растяжении-сжатии

Рассматривается элемент стержня с нормальными напряжениями на торцевых поперечных сечениях (рис. 6.2).

α

σ			σ

Рис. 6.2. Элементстержняприрастяжении

В пределах элемента проводится наклонное сечение, как показано на рис. 6.2. Отсечённая часть элемента с наклонным сечением показана на рис. 6.3.

	σα	p	σ
p	α	A	D А
	τα

Рис. 6.3. Напряженияв точкеА понаклонномусечению

На рис. 6.3 полное напряжение p в точке А направлено вдоль стержня, как и нормальное напряжение в поперечном сечении. Только это направление полных напряжений по наклонному сечению обеспечивает выполнение уравнения равновесия

∑Fx = 0 pAα −σA = 0 , где А – площадь поперечного сечения, Aα – площадь наклонного сечения. Так как Aα = A / cos α , из уравнения равновесия следует:

49

p = σcos α.

Тогда после проецирования р на нормальное и касательное направления наклонного сечения напряжения σα, τα выражаются через σ по формулам

σα = σcos2 α,		(6.3)
τα =	σsin 2α.	(6.4)
	2

Формула (6.3) показывает, что σαmax = σ, т. е. наибольшие напряжения в точке действуют на площадках поперечного сечения. Формула (6.4) показывает, что ταmax = σ/ 2 и максимальные

касательные напряжения действуют на площадках наклонного сечения при углеα = 45о.

Таким образом, исследование напряжённого состояния в точке показывает, что для расчёта на прочность достаточно определить максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении.

Величина максимальных напряжений от нагрузки сама по себе не позволяет оценить прочность конструкции. Эта величина должна сравниваться с максимальными напряжениями, которые выдерживает материал. Чтобы определить напряжения, характеризующие прочность материала, проводятся экспериментальные испытания образцов материала с помощью специальных машин, растягивающих или сжимающих образцы.

6.3. Основные механические характеристики материала

Впроцессе передачи растягивающей нагрузки на образец

спомощью испытательной машины производятся измерения сил

50