Лекция по сопромату

2(1 +μ)

E

Зона сдвига

F	F	τ	τ

F

F

Рис. 12.3. Равномерное распределение касательных напряжений по площадипоперечногосеченияприсдвиге

При сдвиге возникает угловая деформация γ, которая характеризует изменение прямых углов (рис. 12.4).

аa’

αγ = α + β

	β	b’
о		b
Рис. 12.4. Угловаядеформациякакизменениепрямогоугла
Закон Гука при сдвиге выражается формулой
		τ =Gγ ,				(12.2)

где G = – модуль сдвига (механическая характеристика

материала, зависящая от модуля упругости и коэффициента Пуассона).

101

При чистом сдвиге величина поперечной силы неизменна, поэтому условие прочности записывается без обозначения максимальных напряжений, как это было при растяжении-сжатии или изгибе.

	Q	≤[τ] .	(12.3)
	A

Сдвиг является одним из видов деформации элементов узловых соединений, в которых две или более части конструкции соединяются в единое целое. Достаточно распространёнными являются заклёпочные, болтовые и сварные соединения.

12.2. Расчёт заклёпочных (болтовых) соединений

Заклёпочные или болтовые соединения проектируются по нормам, в которых предусмотрен выбор диаметра заклёпки d, расстояния между заклёпками, взаимного расположения заклёпок в зависимости от толщины соединяемых элементов. Предполагается, что поперечная сила распределяется между заклёпками равномерно. Тогда условие прочности на сдвиг принимает вид

	4Q	≤[τ] ,	(12.4)
	πd 2 nn
	ср

где п – число заклёпок; пср – число срезов одной заклёпки. Число пср определяется по формуле

nср = nл −1 ,

(12.5)

где пл – число соединяемых листов (рис. 12.5).

Заклёпка работает не только на сдвиг (срез). Боковая поверхность заклёпки испытывает сжимающее давление листа, эта деформация заклёпки по боковой поверхности называется смятием. Действительное распределение нормальных напряжений по цилиндрической поверхности заклёпки имеет сложный ха-

102

рактер. Для упрощения расчёта принимается фиктивная площадь смятия с равномерным распределением нормальных напряжений (рис. 12.6).

F F

Число срезов пср		Число листов пл

Рис. 12.5. Заклёпочноесоединение

F	σсм	F
			t
	t
			d
Фиктивная площадь смятия

Рис. 12.6. Фиктивнаяплощадьсмятиязаклёпки

В соответствии со схемой на рис. 12.6 площадь смятия одной заклёпки равна Аз = d t . При составлении условия прочно-

сти на смятие для всего соединения учитывается минимальная площадь смятия, которая зависит от минимальной толщины листов tmin , воспринимающих нагрузку.

F

≤[σ] .

(12.6)

n d tmin см

103

Таким образом, расчёт заклёпочных и болтовых соедине-

ний производится по двум условиям прочности: условию прочностинасдвиг(12.4) иусловиюпрочностина смятие(12.6).

Вопросы для самопроверки

1.Какой тип поперечного сечения при плоском изгибе является наиболее экономичным по расходу материала?

2.Является ли заклёпка стержнем?

3.Каковы виды деформации заклёпки?

104

ЛЕКЦИЯ 13. СВАРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ. КРУЧЕНИЕ

Пример 16. Определить необходимое количество заклёпок для соединения, представленного на рис. 13.1. Диаметр заклёпок d = 20 мм. Допускаемое напряжение на сдвиг [τ] = 100 МПа, допускаемое напряжение на смятие [σ]см = 280 МПа.

10	8
F	8	F = 500 кН
10	8
	Рис. 13.1. Схемазаклёпочногосоединения

Из условия прочности на сдвиг (12.4) количество заклёпок определяется по формуле

n =

4Q

.

(13.1)

πd 2n

[τ]

ср

Учитывая, что Q = F, nср = 4, количество заклёпок равно:

n

=

4 500 10−3

=

3,9 = 4 .

π 22 10−4 4 100

Из условия прочности на смятие (12.6) количество заклё-

пок определяется по формуле

F

n =

.

(13.2)

dt

min

[σ]

см

Учитывая, что tmin = 20 мм, количество заклёпок равно:

n =

500 10−3

= 4,46 =5 .

2 10−2 2 10−2 280

Из двух значений п окончательно принимается большее:

п = 5.

105

13.1. Расчёт сварных соединений

По отношению к оси действия силы сварные швы разделяются на торцевые и фланговые (рис. 13.2).

F

F

Фланговые швы Торцевой шов

Рис. 13.2. Видысварныхшвов

Рассчитываются только фланговые швы. Поперечное сечение сварного шва принимается в виде прямоугольного треугольника с равными катетами. Площадь сдвига (среза) флангового шва показана на рис. 13.3.

Площадь среза шва

h l

0,7h

Рис. 13.3. Площадьсрезафланговогошва

106

Согласно схеме, показанной на рис. 13.3, площадь среза шва равна:

A = 0,7hl т ,	(13.3)
ср

где h – высота сварного шва; l т – теоретическая длина шва. Условие прочности сварного соединения с учётом (13.3)

имеет вид

	Q	≤[τ] ,	(13.4)
	0,7hlт
		э

где [τ]э– допускаемые касательные напряжения материала элек-

трода.

Пример 17. Определить длину накладки l сварного соединения, показанного на рис. 13.4. Допускаемые напряжения материала электрода [τ]э= 110 МПа.

l

F = 300 кН

lшк

5 5

Накладка

F

Рис. 13.4. Схемасварногосоединениявстык

На рис. 13.4 показано, что длина накладки равна двум кон-

структивным длинам одного шва: l = 2lшк . Швы расположены на

одинаковом расстоянии от оси, по которой действует сила F, поэтому теоретическая длина шва равномерно разделяется на че-

тыре конструктивных шва: lшк = l т +1 см. Один сантиметр добав-

4

ляется на каждый конструктивный шов для компенсации воз-

107

можных недостатков в качестве сварки. Теоретическая длина шва определяется из условия прочности (13.4)

lт =

Q

.

(13.5)

0,7h[τ]э

Согласно схеме на рис. 13.4 высота шва равна h = 5 мм, поперечная сила равна Q = F = 300 кН. Тогда вычисления по формуле (13.5) дают следующий результат:

	l т =		300 10−3	102 = 77,92 78 см.
		0, 7	5 10−3 110

Далее производятся вычисления по приведённым выше

формулам: lк	=	78	+1 = 20, 5 см; l = 2 20,5 =41 см.
ш	4

13.2.Кручение стержней

скруглым поперечным сечением

При кручении стержня в поперечном сечении возникает одно внутреннее усилие – крутящий момент M x . Внешняя на-

грузка также представляет собой моменты Mкотносительно

продольной оси х. Крутящие моменты как внутренние усилия определяются методом сечений. Процедура метода сечений сводится к формуле

M x = ∑Mкi .	(13.6)
i

Формула (13.6) читается следующим образом: крутящий

момент в сечении равен сумме внешних моментов относительно оси х, действующихна отсечённую часть конструкции.

Под знак суммы внешние моменты входят по принятому правилу знаков: если смотреть на отсечённую часть со сторо-

108

ны внешней нормали к сечению, то моменты, направленные против часовой стрелки, являются положительными.

Сформулированное правило знаков показано на рис. 13.5. Определение крутящих моментов оформляется в виде

эпюры крутящих моментов (см. пример 18).

Мк1

Мк2

Мк3

Мк1	Сечение

Направление

взгляда

Мк3 Мк2

Рис. 13.5. Правилознаковдлякрутящихмоментов

Интегральная зависимость (2.6) ( M x = ∫(τy z −τz y)dA )

A

неудобна для получения алгебраической формулы, выражающей касательные напряжения через крутящий

момент, поэтому для круглого сечения ис-	τ
пользуется другая интегральная зависи-		dA
мость, составленная в полярной системе
координат (рис. 13.6).	•	ρ
На рис. 13.6 показано, что при кру-
чении стержня с круглым поперечным се-
чением касательные напряжения направ-
лены перпендикулярно радиальной коор-	Рис. 13.6.	Касательное
динате ρ. В этом случае дифференциал
крутящего момента равен:	напряжение
		109

dM x =τρdA .
Тогда крутящий момент определяется по формуле
M x = ∫τρdA .	(13.7)
A

Для взятия интеграла используется допущение о плоском сечении: круглое поперечное сечение при кручении повора-

чивается относительно оси х на угол ϕ, оставаясь плоским.

На основе этого допущения рассматривается равновесие бесконечно малого элемента стержня длиной dx (рис. 13.7).

		dx
		а
	Угловая	γ	b	Угол поворота
			dϕ	сечения
	деформация	c
			ρ о

Рис. 13.7. Деформацияприкручениикруглогостержня

На уровне бесконечно малых величин дугу окружности bc можно считать прямолинейной. Тогда из рассмотрения треугольника abc следует: bc = ab γ = γ dx . Из рассмотрения тре-

угольника obc следует: bc = ρ dϕ. Получается уравнение

γ dx =ρ dϕ.

(13.8)

По закону Гука при сдвиге (12.2) ( τ = Gγ) с учётом (13.8) касательные напряжения равны:

τ =Gρ	dϕ	.	(13.9)
	dx

110