Лекция по сопромату

ЛЕКЦИЯ 10. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ РАМ

Правила согласования эпюр изгибающих моментов и поперечных сил используются для упрощения всей последовательности построения эпюр. Внутренние усилия вычисляются только в крайних точках участков, затем они отмечаются на эпюре в качестве ординат. Ординаты соединяются между собой по приведённым выше правилам. Функции момента и поперечной силы требуется определить, если на участке с распределённой нагрузкой имеется экстремальное значение изгибающего момента.

Пример 13. Расчётная схема балки показана на рис. 10.1.

				q = 20 кН/м			F = 15 кН
			I c	x2	II			d	III
			1 м		2 м				2 м	VB
VA

Рис. 10.1. Расчётнаясхема балки

Реакции равны: VA = 30 кН; VB = 25 кН.

Моменты на шарнирных опорах равны нулю. Момент в сечении с, при рассмотрении левой от сечения с части балки,

равен M z(c) =VA 1 = 30 кНм. Поперечная сила на первом участке равна Qy(1) =VA =30 кН. Момент в сечении d при рассмотрении

правой части равен M z(d ) =VB 2 =50 кНм. В сечении d приложена сосредоточенная сила, поэтому справа от сечения d поперечная сила равна Qy(3) = −VB = −25 кН. Поперечная сила слева от

сечения d определяется из рассмотрения равновесия левой части: Qyd (лев) =VA −q 2 =30 −40 = −10 кН. Сравнение сил Qy(1)

81

и Qyd (лев) показывает, что на участке II поперечная сила меняет

знак, следовательно, на втором участке изгибающий момент

принимает экстремальное значение. Для определения этого зна-

чения необходимо составить функции

M z(2) и

Qy(2) . Расчётная

схема участка отдельно не оформляется. На расчётной схеме

конструкции показано сечение в пределах второго участка с ко-

ординатой х2 (см. рис. 10.1). Направление возрастания х2 пока-

зывает, что рассматривается равновесие левой отсечённой части

(х2 = 0 в точке с). Функции равны:

M

(2) =V

(1+ x ) −

qx2

Q(2)

=V

−qx .

A

2 ;

A

z

2

2

y

2

Q(2)

Из условия

= 0 следует x =V

A

/ q =30 / 20 =1,5 м. То-

y

2

гда момент равен max M z(2) = 52,5 кНм.

Вычисленные значения моментов откладываются на эпюре

в соответствующих точках (рис. 10.2).

q = 20 кН/м

F = 15 кН

I

c

II

d

III

VA

1 м

2 м

2 м

VB

52,5

50

30

M z

30

кНм

+

Qy

10

кН

25

Рис. 10.2. Эпюрымоментов ипоперечныхсил

82

На участках I, III ординаты моментов соединяются прямыми линиями согласно правилу 1. На участке II две ординаты по краям и третья ордината максимального момента соединяются параболой согласно правилу 3. Поперечные силы на участках I, III постоянны по правилу 1. На участке II поперечная сила изменяется по правилу 3. В сечении d скачок на эпюре поперечных сил соответствует правилу 4.

10.1. Построение эпюр внутренних усилий в рамах

Рама – это конструкция, состоящая из двух или более стержней, соединённых между собой под некоторым углом с помощью шарниров или жёстких узлов (рис. 10.3). Возможны рамы с криволинейными стержнями, но в данном курсе они не рассматриваются.

Жёсткий узел Шарнирный

узел

Рис. 10.3. Схемарамы

В отличие от балки в поперечных сечениях рамы возникают три внутренних усилия: изгибающий момент, поперечная сила, продольная сила. Изгибающий момент определяется по формуле (8.1), поперечная сила – по формуле (8.2), продольная сила – по формуле (5.6). Правила знаков для поперечных и продольных сил остаются без изменений. Правило знаков для изги-

83

бающих моментов на вертикальных участках рамы формально можно оставить без изменения, развернув вертикальный участок до горизонтального положения. Однако на практике применяется более простой вариант – на схеме рамы знаком «плюс» отмечаются волокна, которые сжимает положительный момент.

Пример 14. Расчётная схема рамы показана на рис. 10.4.

3 м

F1 = 10 кН				F2 = 50 кН		q = 8 кН/м
d	e	f			h
II	c	III	g	IV	k
1 м					V
		I
Ha	а				b
	Va	2 м		2 м		Vb
		Рис. 10.4. Расчётнаясхемарамы

Реакции равны: Ha = 24 кН; Va = 46,5 кН; Vb = 13,5 кН. Правило знаков для изгибающих моментов показано на

эпюре моментов (рис. 10.5). Для построения эпюры моменты вычислены в намеченных крайних сечениях участков. M z(a) = 0 ;

M (c) =−H	a	3 =−72 кНм.	M (d ) = 0 ;	M (e) = −F 1= –10 кНм.
z			z	z	1

M z( f ) =−Ha 3 −F1 1 =−82 кНм.

В сечении g при рассмотрении левой части рамы момент

равен M z(g) = −H a 3 − F1 3 +Va 2 = −9 кНм. При рассмотрении правой части рамы момент в сечении g получается таким же.

84

M z( g ) =Vb 2 −q 3 1,5 = −9 кНм.

Моменты в сечениях h и k равны:

M z(h) = M zk = −q 3 1,5 = −36 кНм.

Момент на опоре b равен нулю – M z(b) = 0 .

Полученные значения моментов откладываются на оси рамы в виде ординат в соответствии со своим знаком. Ординаты соединяются между собой в пределах каждого участка по правилам согласования эпюр: на участках I–IV прямые линии, на участке V парабола.

d	II	e	f	III	72	g	IV	36	h
	–								k
		10				9	–
						–			36
		82		–				–	V
		I
		а							b
						эп. M z (кНм)

Рис. 10.5. Эпюраизгибающихмоментов

На рис. 10.5 показано, что ординаты моментов в узловых сечениях откладываются чуть в стороне от точки узла. Этот графический приём подчёркивает, что моменты действуют не в точке узла, а в сечениях стержней, сходящихся в узле.

85

После построения эпюры моментов проверяется равновесие узлов рамы (рис. 10.6). Для этого вырезается узел, и в сечениях узла проставляются изгибающие моменты, взятые с эпюры. Сумма моментов, действующих на узел, должна равняться нулю.

M z(e) =10 M z( f ) = 82

M zc = 72

M z(c) + M z(e) − M z( f ) = 0

M z(h) = 36

M z(k ) = 36

M z(h) − M z(k ) = 0

Рис. 10.6. Равновесие узлов поддействием моментов

В соответствии с правилом 1 поперечные силы на участках I–IV постоянны:Q(1)y = −Ha = −24 кН; Qy(2) = −F1 = −10 кН; Q(3)y =

=Va − F1 = 36,5 кН; Qy(4) = −Vb = −13,5кН. На участке V нагрузка

соответствует правилу 3, поэтому поперечная сила изменяется прямолинейно. Достаточно вычислить поперечные силы в крайних сечениях b и k: Qy(b) = 0; Qy(k ) = q 3 = 24 кН. С помощью вы-

численных значений строится эпюра поперечных сил (рис. 10.7). Продольные силы определяются по формуле (5.6) с учётом того, что ось х может изменять направление в соответствии с направлением стержней. В пределах участка продольная сила

остаётся постоянной.

Определение продольных сил по участкам даёт следующие результаты: N1 = −Va = −46,5 кН; N2 = 0 ; N3 = N4 = −Ha =

= –24 кН; N5 = −Vb = −13,5 кН.

Эпюра продольных сил представлена на рис. 10.8.

86

	36,5	+
	II
			IV	24
10		III	13,5	+
				V
	I	–
		24

эп. Qy (кН)

Рис. 10.7. Эпюрапоперечныхсил

	24	–
	II
		13,5
	III	IV
46,5	–	V –
	I

эп. N (кН)

Рис. 10.8. Эпюрапродольныхсил

Вырезанные узлы рамы загружены соответствующими поперечными и продольными силами. Эти силы должны удовле-

творять уравнениям статики: ∑Fx = 0; ∑Fy = 0 . Если к узлам приложены сосредоточенные силы, они также учитываются.

87

Направление поперечных и продольных сил в сечениях узлов на рис. 10.9 соответствует знакам этих сил на эпюрах

(см. рис. 10.8).

y

у

Qy(2) =10

N4

= 24

N3 = 24 x

х

Qy(3) = 36,5

Qy(4) =13,5

Qy(k ) = 24

N1 = 46,5

Qy(1) = 24

N5 =13,5

∑Fy = N1 −Qy(2) −Qy(3) = 0

∑Fy = N5 −Qy(4) = 0

∑F

= Q(1)

− N

3

= 0

∑F

x

= Q

(k ) − N

4

= 0

x

y

y

Рис. 10.9. Равновесие узлов рамы под действием поперечных и продольныхсил

Вопросы для самопроверки

1.Как устанавливается правило знаков при построении эпюр изгибающих моментов в рамах?

2.Сколько внутренних усилий действует в стержнях рамы?

3.Как проверяется равновесие узлов рамы?

88

ЛЕКЦИЯ 11. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

11.1. Напряжения при чистом изгибе

Чистым изгибом называется плоский изгиб, при котором в поперечном сечении возникает только изгибающий момент M z (поперечная сила равна нулю).

Простейшие варианты нагрузки, вызывающие чистый изгиб, показаны на рис. 11.1.

М

a F

F a

М	Fa
эп. M z	эп. M z

Рис. 11.1. Простейшиевариантычистогоизгиба конструкций

Изгибающий момент Mz выражается через нормальные напряжения по формуле (2.4) M z = ∫σydA . Для определения

A

функции напряжений σ используется допущение о плоских сечениях – при чистом изгибе поперечное сечение поворачивается в плоскости действия нагрузки ХУ на определённый угол, оставаясь плоским. Принятое допущение справедливо для сечений, симметричных относительно оси у, т. е. в расчёт сразу закладываются главные оси координат z, y. Соответствующая допущению деформация бесконечно малого элемента балки показана на рис. 11.2.

Для определения нормальных напряжений σ используется закон Гука σ = Еε. Относительная продольная деформация ε оп-

89

ределяется на основе анализа схемы деформации бесконечно малого элемента длиной dx (рис. 11.2). При изгибе стержень делится по длине на две части – растянутую и сжатую. Эти части разделяет нейтральный продольный слой, длина которого при изгибе не изменяется. Положение растянутого слоя ab определяется координатой у, удлинение слоя ab равно dx, как показано на рис. 11.2. Вырезанный фрагмент в круге показывает зависимость удлинения растянутого слоя dx от его координаты у: dx = = ytg(dϕ) . Так как угол dϕ мал, то tg(dϕ) = dϕ. Тогда удлинение

слоя ab равно dx = ydϕ. Теперь можно получить выражение для относительной продольной деформации: ε = dx/dx = y ddxϕ.

	a	dx	b
				x
w	a	Растянутый слой
				w + dw
	ϕ	у
			b	dx
	dx
	у	x		x
		Нейтральный слой dϕ ϕ
	dϕ

Рис. 11.2. Схема деформации бесконечно малого элемента при чистом изгибе

При известной относительной деформации по закону Гука

определяются нормальные напряжения: σ = Ey dϕ . Тогда изги- dx

90