5.4.3 Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

 

 

Прямая линия перпендикулярна плоскости, когда она перпендикулярна двум любым пересекающимся прямым этой плоскости, в частности, горизонтали и фронтали плоскости.

Чтобы построить в проекциях прямую линию, перпендикулярную плоскости, необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла. Напомним ее: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину.

На рисунке 59 через точку А проведена прямая l, перпендикулярная к плоскости (a  b). Для этого в плоскости  определены горизонталь h_ и фронталь f_ , и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: l₁  h_1; l₂  f_2.. Прямая l и плоскость  взаимно перпендикулярны. Из чертежа следует, что прямая l перпендикулярна к прямой h_ , так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h_) параллельна плоскости проекций (₁).

Рисунок 59 Рисунок 60

 

Точно так же очевидно, что прямая l перпендикулярна к прямой f_.

Таким образом, если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На рисунке 60 эта же задача решена для случая, когда плоскость  задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра нет необходимости проведения горизонтали и фронтали, так как их функции выполняют следы плоскости h_о и f_о. Как видно из чертежа, достаточно провести из точки А₁ и А₂ проекции l₁  h_о; l₂  f_о.

Перпендикуляр к проецирующей плоскости параллелен той плоскости проекций, которой перпендикулярна проецирующая плоскость.

На рисунке 61, а показана прямая DK, перпендикулярная к горизонтально-проецируещей плоскости (АВС). Очевидно, эта линия является горизонталью.

На рисунке 61, б изображена прямая NK, перпендикулярная к фронтально-проецирующей плоскости , заданной следами. Она является фронталью.

На рисунке 61, в изображена прямая АВ, перпендикулярная к профильно-проецирующей плоскости .

а) б) в)

 

Рисунок 61

 

В заключение решим задачу. Через данную точку Е прямой АВ перпендикулярно ей провести прямую, пересекающую данную прямую (рисунок 62).

 

 

Рисунок 62

На чертеже через точку Е проводим плоскость  (h  f), перпендикулярную прямой АВ. Определим точку F пересечения прямой СD с этой плоскостью. Для этого через прямую СD проведем секущую вспомогательную горизонтально - проецирующую плоскость . Определим линию пересечения плоскости  с плоскостью . Такая прямая линия пересекается с прямой СD в точке F. Прямая ЕF является искомой прямой линией.

 

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть параллельна некоторой плоскости?

2. 2.     Какие линии уровня плоскости вы знаете?

3. 3.     Что такое линия ската?

4. 4.     Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?

5. Какие плоскости можно провести через фронтально-проецирующую и горизонтально-проецирующую прямые?

6. Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую линию общего положения?

7. Как относительно друг друга могут быть расположены в пространстве прямая и плоскость?

8. 8.     Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?

9. 9.     Как располагается проекция перпендикуляра к плоскости?

10. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью?

11. Как определить видимость в случае пересечения прямой линии и плоскости?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Взаимное положение двух плоскостей

 

 

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися. При определении взаимного положения плоскостей используются сведения, известные из геометрии:

- три точки, не принадлежащие одной прямой линии, определяют плоскость;

- если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти плоскости параллельны между собой;

• -  если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

 

 

6.1 Параллельные плоскости

 

 

Если плоскости параллельны, то всегда в каждой плоскости можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую.

Плоскости, изображенные на рисунке 63 параллельны, так как пересе -

 

Рисунок 63

кающиеся прямые DE и EK плоскости, заданной треугольником DEK, соответственно параллельны пересекающимся прямым АВ и ВС плоскости, заданной треугольником АВС (АВ  DE и ВС  EK).

Если две параллельные плоскости заданы следами (рисунок 64, а), то их одноименные следы параллельны: f_  f_ и h_  h_, поскольку две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью (₂ или ₁) по параллельным прямым.

Если одна из взаимно параллельных плоскостей проецирующая, то и другая плоскость также одноименно проецирующая. Если    и   ₂, то   ₂ и f_  f_ (рисунок 64, б).

а) б)

 

Рисунок 64