2. 5.4.2 Пересечение прямой линии с плоскостью

 

 

Если прямая линия не параллельна плоскости, то она пересекается с плоскостью. Построение точки пересечения прямой линии с плоскостью является одной из основных позиционных задач начертательной геометрии. Позиционными называют задачи, связанные с решением на комплексном чертеже вопросов взаимного расположения геометрических образов. Прямая линия, пересекающая плоскость, имеет с ней единственную общую собственную точку.

В решении задачи используют проецирующую плоскость как секущую вспомогательную плоскость. Рассмотрим схему решения задачи на определение точки пересечения прямой l (АВ) с плоскостью  (DEF). Задача решается в следующей последовательности (рисунок 56):

1. 1.   Через прямую l (АВ) проводим проецирующую плоскость (горизонтально – либо фронтально-проецирующую), т.е.   l    ₁.

2. 2.  Определяем линию пересечения заданной плоскости  с вспомогательной плоскостью ; она определяется по точкам M и N пересечения прямых линий DE и EF плоскости  с плоскостью :

M = DE  ; N = EF  ; MN =   .

3. 3.   Определяем точку K пересечения данной прямой l (AB)с линией пересечения плоскостей  и , то есть K = MN  l. Точка K, общая для прямой l и плоскости , является искомой точкой пересечения прямой линии с плоскостью.

 

Рисунок 56

 

Рассмотрим решение этой задачи на комплексном чертеже (рисунок 57). Пусть дана плоскость общего положения  (АВС) и прямая a. Определим

точку пересечения прямой линии с плоскостью.

 

Рисунок 57

Проведем горизонтально-проецирующую плоскость :   a и построим линию 12 пересечения плоскостей – заданной и вспомогательной. Обе прямые линии a и 12 инциндентны плоскости , следовательно, их горизонтальные проекции совпадают.

В пересечении 1₂2₂ с a₂ отметим точку K₂, а затем найдем K₁. Точка K есть точка пересечения прямой линии a с плоскостью  (АВС).

Видимость прямой линии и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 1 и 3, а видимость относительно фронтальной плоскости проекций – с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

Определим видимые и невидимые (относительно плоскостей проекций) отрезки прямой линии a, применяя способ «конкурирующих» точек – точек принадлежащих их общему проецирующему лучу. Если смотреть по направлению проецирующего луча, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций (наиболее близко расположена к наблюдателю).

На горизонтально-проецирующем луче 13 находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым линиям АВ и a. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника АВС, а точка 3 – прямой a. По фронтальным проекциям 1₂ и 3₂ этих точек устанавливаем, что одна из них (точка 1) выше, чем другая (точка 3). Следовательно, на участке К3 прямая линия a (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций ₁) находится за плоскостью треугольника АВС и закрыта этим треугольником. Условно горизонтальная проекция a₁ прямой линии a на участке К₁3₁ показана штриховой линией.

Чтобы определить видимость во фронтальной проекции, воспользуемся лучом 45. Здесь точка 4 принадлежит стороне ВС треугольника АВС, а точка 5 – прямой a. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 4 ближе к нам, чем другая точка 5. Поэтому на участке К₂4₂ прямая линия закрыта треугольником и является невидимой. Фронтальная проекция a₂ на этом участке показана штриховой линией.

Алгоритм построения точки пересечения прямой а с плоскостью (АВС) может быть записана в виде:

  а,   П₁; 12    (АВС); К   а; К а  (АВС).

На рисунке 58 дано решение этой задачи, когда плоскость  задана следами. Проведем горизонтально-проецирующую плоскость :   a и определим линию пересечения АВ заданной и вспомогательной плоскостей. На ней, в ее пересечении (А₂В₂  а₂ = К₂) с прямой линией а, расположена точка К. Вначале находим К₂, а уже затем К₁.

Рисунок 58