5.4 Взаимное положение прямой линии и плоскости

 

 

Прямая линия относительно плоскости может занимать два положения: принадлежать плоскости или пересекать ее.

Частными случаями пересечения могут быть: параллельность – пересечение прямой с плоскостью в бесконечности и перпендикулярность – пересечение прямой с плоскостью под углом 90^о. При определении взаимного положения прямой линии с плоскостью используется следующие положения, известные из геометрии:

- через одну точку пространства можно провести бесчисленное количество прямых линий;

- две точки однозначно определяют положение прямой линии;

- если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая линия принадлежит этой плоскости;

- прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости;

- если прямая линия перпендикулярна к двум непараллельным прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;

- через одну прямую линию можно провести бесчисленное количество плоскостей;

- две плоскости пересекаются по единственной прямой линии.

Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения прямой линии и плоскости, то прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой вспомогательной прямой. Указанный прием определения взаимного положения прямой линии и плоскости заключается в следующем:

- через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения этой плоскости с данной плоскости;

- устанавливают взаимное положение плоскостей. Найденное положение определяет взаимное положение данных прямой и плоскости.

5.4.1 Прямая параллельная плоскости

 

 

Для того чтобы прямая была параллельна данной плоскости, необходимо, чтобы она была параллельна какой-либо прямой линии, лежащей в этой плоскости. В плоскости можно провести неограниченное число прямых линий параллельных плоскости.

Если задана плоскость (АВС) и точка D, то, чтобы провести через

точку D прямую линию DЕ параллельно данной плоскости (рисунок 54, а), необходимо провести ее проекции параллельно одноименным проекциям одной из сторон треугольника АВС либо прямой линии, лежащей в этой плоскости. На рисунке 54, а D₂Е₂  А₂В₂ и D₁Е₁  А₁В₁, следовательно, DЕ  (АВС). На рисунке 54, б показана прямая линия, параллельная плоскости, заданной следами:

l  а, а    а  .

а) б)

 

Рисунок 54

 

Если плоскость является проецирующей, то любая одноименно проецирующая прямая параллельна этой плоскости, потому что в плоскости всегда можно найти одноименно проецирующую прямую. На рисунке 55 изображены плоскости:   ₂,   ₁,   ₃. Этим плоскостям будут параллельны прямые а   (а  ₂); b   (b  ₁); с   (с  ₃). Любая прямая l, у которой l₂   (l₁ – произвольно), будет параллельна плоскости .

Аналогично d₁    d  ; е₃    е  .

а) б) в)

 

Рисунок 55