6.2 Взаимное пересечение двух плоскостей

 

 

Если плоскости не параллельны, то они пересекаются. В этом случае возникает задача о построении проекций линии пересечения. Прямую линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум общим точкам. Для этого определяют точки пересечения любых двух прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или точки пересечения прямой на каждой из плоскостей с другой плоскостью. Рассмотрим сначала частный случай (рисунок 65, а), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (  ₁, f_о  х). В этом случае линия пересечения l, принадлежащая плоскости , будет также параллельна плоскости ₁, т. е будет являться горизонталью пересекающихся плоскостей (l  h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (  ₂, f _  х, рисунок 65, б), то линия пересечения l , принадлежащая плоскости , будет параллельна плоскости ₂ (l  f – фронталь пересекающихся плоскостей).

а) б)

 

Рисунок 65

 

В общем случае линия пересечения плоскостей определяется при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Удобно выбирать в качестве вспомогательных плоскостей две фронтально – или две горизонтально-проецирующие плоскости, параллельные между собой, в том числе и плоскости уровня. В этом случае прямые пересечения вспомогательных плоскостей с каждой из заданных плоскостей будут параллельны между собой.

Рассмотрим, как построить линию пересечения двух плоскостей общего положения (АВС  DEF), и установим видимость этих треугольников относительно плоскостей проекций (рисунок 66).

План решения задач на взаимное пересечение включает:

- определение вида заданных плоскостей;

- выбор вспомогательных секущих плоскостей;

- нахождение точек линии пересечения (дважды применив решение задачи на пересечение прямой с плоскостью).

Рисунок 66

 

В заданных плоскостях выделяем две прямые линии АВ и EF и находим точки пересечения их с другой плоскостью, используя фронтально-проецирующие плоскости АВ   и EF  ¹. Находим точку пересечения прямой АВ с плоскостью DEF, т.е. точку М (М₁, М₂) искомой линии пересечения плоскостей: АВ   (  ₂);   DEF = 12 (1₂2₂; 1₁2₁); 1₁2₁  А₁В₁ = М_1;

М₁М₂  А₁А₂; М₁М₂  А₂В₂ = М₂; М (М₁, М₂).

Аналогично находим вторую точку N (N₁, N₂) линии пересечения прямой EF с плоскостью АВС: EF  ¹ (¹ ₂); ¹  АВС = 34(3₂4₂; 3₁4₁);

3₁4₁  E₁F₁ = N₁; N₁N₂  А₁А₂; N₁N₂  E₂F₂ = N₂; N (N₁, N₂).

Соединив точки М и N прямой линией, получаем искомую линию пересечения МN (М₁N₁; М₂N₂) заданных плоскостей: АВС  DEF = МN.

Для определения видимости пересекающихся плоскостей относительно фронтальной плоскости проекций используем фронтально-конкурирующие точки 1 и 5 (1  DF; 5  АВ). Построив горизонтальные проекции этих точек (1₁ и 5₁), устанавливаем, что точка 5₁ ближе к зрителю, чем точка 1₁. Следовательно, спереди виден отрезок АМ (А₂М₂) от точки А до точки пересечения прямой с плоскостью. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что отрезок DE оказывается видимым, отрезок DF – частично закрытым треугольником АВС.

Для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций возьмем точки 6 и 7 (6  EF; 7  АС). Найдя фронтальные проекции этих точек (6₂ и 7₂), устанавливаем, что точка 6 при направлении проецирования, перпендикулярном _1, расположена ближе к зрителю, следовательно, она видима. Видимой будет прилегающая к точке N часть отрезка EF (до точки его пересечения с плоскостью АВС – Е₁N₁). Отрезок DE оказывается видимым, а АВ – частично закрытым треугольником DEF.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения, заданных следами, показано на рисунке 67. Точка А инциндентна следам обеих плоскостей  и , следовательно, инциндентна линии их пересечения. Точно так же точка В инциндентна этой линии. Соединим на комплексном чертеже одноименные проекции точек А и В, получив проекции линии пересечения плоскостей.

Рисунок 67

 

Если какие-либо одноименные следы плоскостей не пересекаются в пределах чертежа (рисунок 68), можно рассечь обе заданные плоскости  и  вспомогательной плоскостью. Построив линии пересечения плоскостей заданных и вспомогательной, определим общую для заданных плоскостей точку. В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами f_о и f_о; секущая вспомогательная плоскость  пересекает заданные плоскости по прямым линиям – горизонталям 12, которые пересекаются в точке А. Вторая секущая горизонтальная плоскость  пересекает заданные плоскости также по горизонталям (34), они в свою очередь пересекаются в точке В. Прямая проходящая через точки А и В является линией пересечения заданных плоскостей.

Рисунок 68